资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
05 二次函数的应用
知识点1：二次函数的应用
1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细审题，理清题意；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式．
(1)求，的值．
(2)当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？
3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场．
(1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积；
(2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式 ．
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表）
飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 …
飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 …
素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系．
任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离；
任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
6．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．

(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
【题型1 图形问题】
1．为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计）
2．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
3．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为．
(1)围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
(2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由．
4．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？
5．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米．
(1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
(2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？
【题型2 图形运动问题】
6．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？
(1)用含的式子表示：
___________，___________，___________．
(2)写出关于的函数解析式及的取值范围．
7．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式．
8．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为.
(1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当为时，的值时多少？
(3)当取何值时，面积最大，最大是多少？
9．如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？
10．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)填空： ， （用含的代数式表示）；
(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？
【题型3 拱桥问题】
11．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行）
12．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？
13．陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若安装的门的上端和窑洞相接，底边在x轴上，求门的面积．
14．周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离．
15．开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过．
【题型4 销售问题】
16．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
(1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
17．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
(1)涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
(2)当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
18．禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价（元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式；
(2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？
19．某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？
20．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）．
（元/千克） 7 8 9
（千克） 4300 4200 4100
(1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？
(3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？
【题型5 投球问题】
21．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米．
(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）；
(2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？
22．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
23．打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？
(2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功．
24．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：.
x 0 1 2 3 4
y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2
(1)求出铅球的运动轨迹的解析式；
(2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离；
(3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少．
25．为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表：
1 2 4 6 7 …
2.25 3 2.25 …
(1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度；
(3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分．
【题型6 喷水问题】
26．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为．
【问题解决】
(1)求a的值；
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度．
27．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．
28．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离．
(1)求水流所在抛物线的函数表达式；
(2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到；
②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？
29．学科实践：
任务背景
“碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景区不仅是一条岸绿水清、鸟语花香的生态走廊，更是一条展现厚重城市底蕴的文化长廊、一条展现城水相融、人水相亲的幸福长廊．
研究素材
图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，已知高为米，喷出水柱可以近似得看作一条抛物线，该抛物线最高点距离地面米，距离的水平距离为米．
参考数据：，，，．
问题解决
(1)以水平地面为轴，以喷水装置所在直线为轴，在图2中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
(2)求该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离（精确到1米）．
(3)若给该喷灌设备安装一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以点为圆心的圆，求喷洒区域的面积（精确到1平方米）？
30．某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)点，点的坐标分别为________、__________；
(2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？
【题型7 增长率问题】
31．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
32．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
33．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
34．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）
35．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元．
(1)求与的关系式；
(2)当时，求今年的总产值为多少万元？
【题型8 其他问题】
36．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析：
1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表：
0.1 0.3
2 6
水面高度与体积近似地满足一次函数关系．
2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
请解答下列问题：
(1)求1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式；
(2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式．
37．“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围）
(2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？
38．如图，某汽车停车棚的棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（）与距离停车棚支柱的水平距离（）近似满足函数．立柱的长为，棚顶的外端的竖直高度为，到立柱的水平距离为．一厢式货车的截面看作矩形，长为，高为，试判断货车能否完全停在车棚内．
39．“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
(1)建立模型
①收集数据
t/秒 0 4 8 12 16 20 24
s/米 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系；
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象；
⑤求函数解析式
请根据上述数据求出s关于t的函数解析式；
(2)应用模型
列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米．
40．汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：）
汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示：
原速度x（） 0 20 40 60 80 …
制动距离（） 0 2 8 18 32 …
(1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式；
(2)当行驶速度为时，求刹车距离S；
(3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少．
【拓展训练一 二次函数的存在性问题】
41．如图，抛物线经过点，，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．
42．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由．
43．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与直线交于两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求拖物线的函数表达式；
(2)连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线关系式．
(2)抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
(3)点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
【拓展训练二 二次函数的含参式应用题】
46．“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研．
调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据：
销售单价x/元 … …
日销售数量y/个 … …
建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________．
问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值．
47．如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量与时间t（天）的关系是 天数为整数．
(1)试求销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
48．某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表：
销售单价（元/千克）
日销售量（千克）
注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）
(1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）；
(2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元；
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________．
49．某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
(1)当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
(2)求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
(3)该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
50．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
(1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
(2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【拓展训练三 二次函数的倍角计算问题】
51．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
52．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．
①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标．
53．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【拓展训练四 二次函数的面积问题】
54．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值．
(3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由．
55．如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
56．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标．
(2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【拓展训练五 二次函数的新定义问题】
57．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．
58．定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”．
(1)若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式；
(2)在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积；
(3)若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值．
59．定义：抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”．
理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号）
① ② ③
应用：（2）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式．
拓展：（3）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．
①若“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，求点的纵坐标；
②已知点，，若是等腰三角形，直接写出的值．
1．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（ ）
A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20
2．我们知道，两个一次函数的图像有一个交点，交点坐标就是相对应的二元一次方程组的解，反之我们还可以通过图像法求得二元一次方程组的解．比如：一次函数与反比例的图象交点横坐标可由方程求得，那么请你推断：方程中m的范围比较合理的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；
③铅球落地时的水平距离为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
5．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40；
②与之间的函数关系式为；
③小球运动的时间为6；
④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（ ）
A．该重物在秒时，速度为3米/秒
B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同
C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒
D．当秒时，该重物下降距离为米
7．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．
8．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ．
9．如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为 ．
10．甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ．
11．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ．
12．如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
13．某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元．
(1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大；
(2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围．
14．某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系．
(1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义．
(2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险．
15．某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示．
(1)每件商品在第50天出售时的利润是______元；
(2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
(3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？
16．某文体超市销售一种哪吒网红儿童玩具，每件成本为10元，物价部门规定每件利润率不得超过60%，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中为整数）．当每件售价为12元时，每天的销售量为100件；当每件售价为14元时，每天的销售量为90件．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？
(3)该超市销售这种儿童玩具能否每天获利元，若可以，请求出每件儿童玩具的售价为多少元，若不能，则说明理由．
17．镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
发射时间 …
离地面的高度 …
已知镁球到达最高处后再过会燃烧完．
(1)与之间的函数关系是___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）．
求与之间的函数关系式．
(2)直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处．
(3)已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了个镁球，第个镁球燃烧完时，第个镁球在第个镁球下方，且这个镁球与地面的高度差为，求这个镁球发射时间相隔多少秒．
18．在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．
(1)如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式；
(2)如图，在（）的条件下，连接，线段与抛物线交于点，与交于点，求线段的长；
(3)用含的式子表示顶点坐标；
若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
05 二次函数的应用
知识点1：二次函数的应用
1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细审题，理清题意；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
【答案】(1)作图见解析，
(2)能通过
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法．
（1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出，然后作出判断即可．
【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：当时，，
能通过．
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式．
(1)求，的值．
(2)当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可．
【详解】（1）解：图像过点，．
解得；
（2）解：把，代入得：
，
，
当时，y有最大值，最大值为．
答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场．
(1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积；
(2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键．
（1）根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，
答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为；
（2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，
根据题意得，，
小明围成的养鸡场的最大面积为，
∴，
答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大．
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式 ．
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
【答案】(1)；
(2)70元时，最大总利润是6000元；
(3)．
【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值；
（3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：，
∵函数图象经过点和，
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）解：由题意可得出：
，
自变量取值范围：．
∵，．
∴函数图象开口向下，对称轴是直线．
∵，此时y随x的增大而增大，
∴当时，；
故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元；
（3）解：由，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
又∵；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用函数增减性得出是解题关键．
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离（单位：）与相对应的飞行高度（单位：）的数据（如表）
飞行水平距离（单位：） 0 20 40 60 80 100 …
飞行高度（单位：） 0 40 64 72 64 40 …
素材2：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度（单位：）与水平飞行距离（单位：）满足二次函数关系．
任务1：请求出关于的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离；
任务2：在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
【答案】任务1：，航模的最远飞行距离为；任务2：发射平台相对于安全线的最低高度为
【分析】本题主要查了二次函数的实际应用：
任务1：根据题意可得顶点为．故可设抛物线为，再把代入解答，即可求解；
任务1：设发射平台相对于安全线的高度为，可得飞机相对于安全线的飞行高度为：，再由当时，，即可求解．
【详解】任务一：解：由题意，根据所给表格数据，可得抛物线的对称轴是直线，
∴顶点为．
故可设抛物线为，
又抛物线过，
∴，
∴，
∴所求抛物线为，
又令，
∴，
∴（舍去）或，
故航模的最远飞行距离为；
任务2：设发射平台相对于安全线的高度为，
飞机相对于安全线的飞行高度为：，
当时，，
∴，解得，
∴发射平台相对于安全线的最低高度为．
6．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．

(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．
【答案】(1)
(2)米
(3)
【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可；
对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案；
对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围．
【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是．
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点O，
∴将代入得，，解得，
∴；
（2）解： 由题意可得米，
将代入，
解得，
∴6根钢柱总长
(米)；
（3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为．
∴抛物线解析式为.
∵抛物线经过点，
∴，
解得．
当时，．
∵抛物线与钢柱有交点，
∴．
将代入， 可得，，
∴，
∴．
【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键．
【题型1 图形问题】
1．为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计）
【答案】矩形菜地的面积最大为平方米
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米，
面积，
∵
解得：，
，对称轴，
当时，最大（平方米），
答：矩形菜地的面积最大为平方米．
2．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)此时x的值为2
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为，
，
解得或，
经检验，时，，不符合题意，舍去，
，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为13m，
，
根据题意得：，
，
当时，y取最大值，最大值为48，
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为
3．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为．
(1)围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
(2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25
(2)围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），二次函数的实际应用（图形问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式或方程是解题的关键．
（2）根据题意设未知数列一元二次方程，判断此方程有解，然后再解方程即可；
（3）先列函数关系式，将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：围成的矩形花圃的面积能为．
∵平行于墙的边，
而，且，
∴．
由题意，得．
解得（舍去）或．
答：围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25．
（2）解：设围成的矩形花圃的面积为．
由题意，得．
∵，且，
∴当时，S取得最大值800．
答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20．
4．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．
(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？
【答案】(1)，；
(2)当，时面积等于；
(3)当x为时，矩形的面积最大，最大值为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，得出，根据面积公式列式计算，即可作答．
（2）把代入进行计算，即可作答．
（3）结合二次函数的图象性质，因为，则函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，∵，且篱笆长为以及宽建造一扇门，
∴，
∴，
∵墙的长度不超过44，
∴，
即；
（2）解：依题意，，
，（舍）
当，时面积等于；
（3）解：∵，
∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，
则在取值范围之内，
把代入，解得，
答：当x为时，最大值为．
5．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米．
(1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；
(2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？
【答案】(1)
(2)能，
(3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解；
（2）由题意易得，然后进行求解方程即可；
（3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：依题意得：，整理得：，
解得：；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴当时，围成的菜地面积为81平方米．
（3）解：∵墙的最大可用长度为15米，
∴，即，
解得，
根据题意得：，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为105，
∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米．
【题型2 图形运动问题】
6．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？
(1)用含的式子表示：
___________，___________，___________．
(2)写出关于的函数解析式及的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）根据题意直接列式即可作答；
（2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答．
【详解】（1）解：根据题意有：，，
∵，，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，，
∴根据题意有：，
∵，，
∴，
故关于的函数解析式为．
7．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
，，
∴重叠部分也是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴．
8．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为.
(1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当为时，的值时多少？
(3)当取何值时，面积最大，最大是多少？
【答案】(1)；
(2)或；
(3)当时，面积最大，最大值为．
【分析】（1）根据题意得出，，则即可；
（2）当时，列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可；
本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得：，，则，
∴；
（2）当时，
∴，解得，，
∴的值为或；
（3），
∴当时，面积最大，最大值为．
9．如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？
(2)当t为何值时，的面积为？
(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)1
(2)2或1.5
(3)点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理：
（1）根据题意可得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解；
（3）根据四边形的面积为，进而求出四边形的面积最小值．
【详解】（1）解： 根据题意得：，
∵P、Q两点的距离为，且，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）；，
即当t为1时，P、Q两点的距离为；
（2）解：根据题意得：，
∵的面积为
∴，
解得：或1.5，
即当t为2或1.5时，的面积为；
（3）解：根据题意得：，
∴的面积为，
∴四边形的面积为，
∵，
∴当时，四边形的面积取得最大值，最大值为．
即点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是．
10．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)填空： ， （用含的代数式表示）；
(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)；
(3)的最大面积是．
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键．
（1）根据题意表示出、的长即可；
（2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，，
∴，
即；
（3）解：由（2）知，，
∴，
∵，当时，随的增大而增大，
而，
∴当时，，
即的最大面积是．
【题型3 拱桥问题】
11．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行）
【答案】(1)
(2)6米
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是：
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：当时，，
解得，，
∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞．
12．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？
【答案】(1)
(2)横梁PQ的长度是9米
【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量，
对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案；
对于（2），令，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米，
∴点（米）.
根据题意得，顶点E的坐标为，
∴可设抛物线的函数表达式为：，
把点代入函数表达式可得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：由题意知，点P的纵坐标为，
当时，，
解得，，
∴，
∴横梁的长度是9米．
13．陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若安装的门的上端和窑洞相接，底边在x轴上，求门的面积．
【答案】(1)
(2)4平方米
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数图形的性质是解题的关键．
（1）根据题意得到顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）设点的坐标为，则点，由对称性可得，，由此列式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：设点的坐标为，则点，
由对称性可得，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴米，
∴门的面积为4平方米．
14．周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离．
【答案】(1)
(2)米或米
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）将代入解得，，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
设抛物线的函数表达式为，
将点代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：将代入得，
解得，，
当时，（米），
当时，（米），
∴吊床上该处离右边树的距离为米或米．
15．开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过．
【答案】(1)
(2)不超过
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先分析题干的条件，得抛物线的顶点的坐标为，且过点，故设抛物线的解析式为．然后运用待定系数法进行求解，即可作答．
（2）理解题意，则把代入，得出，再求出，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为，且过点，
设抛物线的解析式为．
将代入解析式，得．
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：该瓜农站直行走的横向距离不超过，理由如下：
令，
即，
解得，
瓜农站直行走的横向距离是．
，
瓜农站直行走的横向距离不超过．
【题型4 销售问题】
16．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
(1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当每个毛绒玩具的售价定为54元，每天最大利润是1248元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，
对于（1），先表示出上涨的价格，进而得出销售量与售价的关系式；
对于（2），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据自变量取值范围讨论极值即可．
【详解】（1）解：根据题意，得；
（2）解：设总利润为w，根据题意，得，且，
∵，，
∴抛物线的开口向下，
当时，函数值y随着x的增大而增大，
当时，（元）．
所以每个毛绒玩具售价定为54元，每天销售玩具所获得利润最大，最大利润是1248元．
17．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
(1)涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
(2)当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值．
（1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可；
（2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可．
【详解】（1）解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件，
故答案为：；
（2）解：设每日获的利润为元，
由题意可得：
，
整理得：，
，
当时，最大，最大值为720，
当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元．
18．禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下：
售价（元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式；
(2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数求最值的方法是解题的关键．
（1）根据变量变化规律判断函数类型，并利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）根据“每天的利润=（售价进价）日销售量”将每天的利润表示出来，并确定当x为何值时每天的利润取最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设，
把，代入得：，
解得：，
；
（2）设每天获得的利润为元，
由题意得，
，当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元．
19．某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设y与x的关系式为，再运用待定系数法求出，即可作答．
（2）先整理得，，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设y与x的关系式为，
把与代入，
得：，
解得：，
∵求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得：，
∵每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，，
答：该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元．
20．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）．
（元/千克） 7 8 9
（千克） 4300 4200 4100
(1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？
(3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？
【答案】(1)
(2)28元；48400元
(3)当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可；
（2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解；
（3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解．
【详解】（1）解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为，
当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：；
（2）解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，
∴每件利润为元，且销售量为，
∴，
∵，
∴函数有最大值，
∴当时，利润最大，最大利润为元；
（3）解：∵，日获利不低于43500元，
∴当时，，
整理得，，
∴，
解得，，
∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克，
∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元．
【题型5 投球问题】
21．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米．
(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）；
(2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？
【答案】(1)
(2)前移动
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可；
（2）求出时，即可解得．
【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为．
故可设抛物线的解析式为，
又抛物线过，
，
，
解析式为；
（2）当时，
即
（舍），，
，
应将布幔向前移动．
22．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键．
（1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为；
（2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙．
【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
23．打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？
(2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功．
【答案】(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是
(2)这次乒乓球击打不成功
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是将二次函数由一般式化为顶点式．
（1）通过将二次函数表达式化为顶点式，再求出最大值；
（2）求出当时的函数值与比较后得出结论．
【详解】（1）解：，
∵二次项系数为，∴抛物线的开口向下，
∴当时，有最大值．
（2）∵乒乓球桌的标准长度为，
∴球桌正中间，
当时，，
∴这次乒乓球击打不成功．
24．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：.
x 0 1 2 3 4
y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2
(1)求出铅球的运动轨迹的解析式；
(2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离；
(3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少．
【答案】(1)
(2)所以G到F的距离
(3)增大，该男同学成绩增大
【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可；
（2）当时，，解方程求解即可；
（3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可．
本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入得：；
解得：，
∴，
（2）解：当时，
，
解得：，
，
所以G到F的距离
（3）由题意，变化后的二次函数表达式为，
将点代入得：；
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
，
所以该男同学成绩增加.
25．为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表：
1 2 4 6 7 …
2.25 3 2.25 …
(1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度；
(3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分．
【答案】(1)；
(2)米；
(3)小宇此次掷球不能得满分．
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值、自变量的值的计算是关键．
（1）根据表格得到顶点为，设函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）令，根据函数解析式求函数值即可；
（3）令，求自变量的取值即可．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线，
∴顶点为，
∴设函数表达式为，
又∵抛物线过，
∴．
∴，
∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为．
（2）解：由题意，结合（1），令，
∴，
∴实心球出手时的坐标为，
∴出手时的高度为米．
（3）解：由题意，令，
∴或（不合题意，舍去），
∴实心球从起点到落地点的水平距离为，
∴小宇此次掷球不能得满分．
【题型6 喷水问题】
26．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为．
【问题解决】
(1)求a的值；
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）将代入，求出相应的a的值即可；
（）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可；
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答．
【详解】（1）解：∵将代入中可得，，
解得，
∴a的值为．
（2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为，
将代入，可得，
解得．
答：喷水管要降低的高度为．
27．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不会喷射到护栏上，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键；
（1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解；
（2）将得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
该抛物线经过原点，
，解得．
该抛物线的函数表达式为
（2）水柱不会喷射到护栏上
理由如下：
当时，
，
水柱不会喷射到护栏上
28．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离．
(1)求水流所在抛物线的函数表达式；
(2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到；
②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？
【答案】(1)
(2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会．
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可；
（2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，，
将其分别代入得：
，解得，
水流所在抛物线的函数表达式为：；
（2）解：①令，则，
解得，，
高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；
②令，则，
，
不会被水流直接喷到．
29．学科实践：
任务背景
“碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景区不仅是一条岸绿水清、鸟语花香的生态走廊，更是一条展现厚重城市底蕴的文化长廊、一条展现城水相融、人水相亲的幸福长廊．
研究素材
图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，已知高为米，喷出水柱可以近似得看作一条抛物线，该抛物线最高点距离地面米，距离的水平距离为米．
参考数据：，，，．
问题解决
(1)以水平地面为轴，以喷水装置所在直线为轴，在图2中建立平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
(2)求该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离（精确到1米）．
(3)若给该喷灌设备安装一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以点为圆心的圆，求喷洒区域的面积（精确到1平方米）？
【答案】(1)坐标系见解析，
(2)该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离为米
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，求圆的面积，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键；
（1）根据题意建立平面直角坐标系，进而设抛物线解析式为，代入得，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）令，解方程，即可求解；
（3）根据圆的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
依题意，，
设抛物线解析式为，代入得，
解得：
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：当时，
解得：（舍去）或
答：该喷灌设备能够灌溉的点到喷灌装置的最大水平距离为米
（3）解：由（2）可得半径为米，
∴喷洒区域的面积为．
答：喷洒区域的面积为．
30．某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)点，点的坐标分别为________、__________；
(2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？
【答案】(1)，
(2)
(3)王师傅不会被淋湿，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由图可得点C、D的坐标；
（2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；
（3）求出时y的值，与1.85比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知抛物线顶点D坐标为，点C坐标为，
故答案为：，；
（2）解：由题意，可设抛物线的表达式为，
将点C的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为：；
（3）解：当时，，
．
答：王师傅不会被淋湿．
【题型7 增长率问题】
31．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键．
根据题意列出二次函数解析式即可．
【详解】解：由题意得，与的函数解析式为，
故选：D ．
32．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式．
【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元．
根据题意得：，
故选：B．
33．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域）
【答案】
【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
34．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元，
∴今年第二季度的专项教育投入为亿元，
故答案为：．
35．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元．
(1)求与的关系式；
(2)当时，求今年的总产值为多少万元？
【答案】(1)
(2)当时，今年的总产值为万元．
【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式；
（2）代入，求出y值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得：；
（2）当时，，
答：当时，今年的总产值为万元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有．
【题型8 其他问题】
36．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析：
1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表：
0.1 0.3
2 6
水面高度与体积近似地满足一次函数关系．
2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
请解答下列问题：
(1)求1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式；
(2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，解题的关键是：
（1）设1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式为，把，；，代入求解即可；
（2）把，代入求解即可．
【详解】（1）解：设1号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式为，
则，
解得，
∴；
（2）解：把，代入，得
，
解得，
∴．
37．“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
(1)野兔一次跳跃的最远水平距离为米，最大竖直高度为米，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围）
(2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？
【答案】(1)
(2)野兔不能成功越过木桩，野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出时，的值，再根据比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后设起跳点向前移动米，新抛物线为：，要求当时，即可求解；
【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，即为，
∴可设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
∵，
∴野兔不能成功越过木桩，
设起跳点向前移动米，新抛物线为：，
要求当时，即
化简得：，
解得：，
∴由题意得：野兔至少需要再向前走开始起跳才可成功越过木桩；
38．如图，某汽车停车棚的棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分．棚顶的竖直高度（）与距离停车棚支柱的水平距离（）近似满足函数．立柱的长为，棚顶的外端的竖直高度为，到立柱的水平距离为．一厢式货车的截面看作矩形，长为，高为，试判断货车能否完全停在车棚内．
【答案】货车能完全停在车棚内，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，的值，若此时的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，
∴
解得
∴抛物线的表达式为
当时，
∴货车能完全停在车棚内．
39．“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
(1)建立模型
①收集数据
t/秒 0 4 8 12 16 20 24
s/米 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系；
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象；
⑤求函数解析式
请根据上述数据求出s关于t的函数解析式；
(2)应用模型
列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米．
【答案】(1)③见解析；④二次；⑤
(2)列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米
【分析】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图象，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）③根据题意连线即可求解；
④根据曲线判断函数图象为二次函数图象；
⑤待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得当，时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：③根据题意连线如下：
④根据曲线的形状，可判断函数图象为二次函数图象，
故答案为：二次；
⑤设抛物线的解析式为，根据题意，得：
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：当，得，
解得．
当时，
；
当时，，
故（米），
答：列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米．
40．汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：）
汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示：
原速度x（） 0 20 40 60 80 …
制动距离（） 0 2 8 18 32 …
(1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式；
(2)当行驶速度为时，求刹车距离S；
(3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少．
【答案】(1)图见解析；
(2)刹车距离为
(3)汽车原速度为
【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键．
（1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式；
（2）根据题意确定，然后代入求解即可；
（3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可．
【详解】（1）解：图象如图所示：
∴设，将点，代入得：
，
解得
故．
（2）由题意：，
则
当时，．
故刹车距离为．
（3）疲劳驾驶下反应距离
由题意：，
解得
故汽车原速度为．
【拓展训练一 二次函数的存在性问题】
41．如图，抛物线经过点，，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，12
【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与坐标轴的交点以及四边形面积的最值问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据函数图象与坐标轴的交点坐标求出相关线段的长度，以及运用分割法求不规则图形的面积，并利用二次函数的性质求最值是解题的关键．
（1）已知抛物线经过点，，可将这两点的坐标代入抛物线方程，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）先求出点的坐标，设点的横坐标为，根据抛物线解析式表示出点的纵坐标．通过分割法，将四边形的面积表示为与的面积之和，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入得：
即
解得 ， ，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过作轴交于点，
对于，令，则，
∴．
设．
∵，，．
∴，设直线为，
∴，
解得，
∴，
∴
，
∴
∴当时，有最大值，此时，
∴．
42．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，，或
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意得：，，从而得到，即可求解；
（3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解．
【详解】（1）解：直线，当时，．
当时，．
，，
将，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：根据题意得：，，
∴，
，
开口向下，有最大值．
当时，l取最大值．
此时；
（3）解：分两种情况讨论：
①若点P在x轴上方时，如图1，

根据题意得：，，
∴，
，
，
解得：，，
②若点P在x轴下方，如图2，

，
解得：，（舍）
的值为或或．
43．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为时，的最大值为4
(3)点D的坐标是
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解．
【详解】（1）将，分别代入，
得
解这个方程组，得
所以二次函数的表达式为．
（2）设，
由，，可得直线的表达式为，
则，
∴
当时，，
故点D的坐标为时，的最大值为4．
（3）存在，理由如下：
如图，连接，交于点M，
设点，
若四边形为菱形，
则，，
∴，
∴，即，
解得，
∵点D在第一象限，
故当点D的坐标是时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键．
44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与直线交于两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求拖物线的函数表达式；
(2)连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或
【分析】本题主要考查了二次函数与几何图形，求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程，
（1）先求出点D的坐标，再将点A，D的坐标代入二次函数关系式，求出解即可；
（2）过点作轴交于点，先求出点B的坐标，进而求出，可得，再设点的坐标为，表示点的坐标，然后表示出，根据得出方程，求出解即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
点的坐标为．
将和代入，
得
解得
抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在点使得．
过点作轴交AD于点，
令，则，
解得，
点的坐标为，则，
，
．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
，即，
解得，
点的横坐标为或．
45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线关系式．
(2)抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
(3)点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、两点间的距离公式以及勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）待定系数法求解可得；
（2）求出，得，得出直线交y轴与，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立方程组，求解即可；
（3）过点C作平行于x轴，且，连接EF，AF．证明，得，得出，即的最小值为的长，过点F作轴，交x轴于点G．在中由勾股定理得，从而可得结论．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把，，代入，得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
∵，，
∴，
∵是以A为直角顶点的直角三角形．
∴，
∴直线交y轴与，
设直线的关系式为：，
把代入求得．
∴，
∴
解得 （舍）
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
如图，过点C作平行于x轴，且，连接，．
∵平行于x轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为的长．
过点F作轴，交x轴于点G．
在中，，
∴，
即的最小值为．
【拓展训练二 二次函数的含参式应用题】
46．“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研．
调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据：
销售单价x/元 … …
日销售数量y/个 … …
建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________．
问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值．
【答案】（1）一次，；（2）儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）2
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解．
（1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解；
（2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）设日销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量销售量求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】建立模型：
（1）解：一次，设这个一次函数解析式为，
则，解得：，
所以这个一次函数解析式为；
故答案为：一次，；
问题解决：
（2）设日销售利润为元．
根据题意得．
，当时，有最大值，最大值为．
答：儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元．
（3）设捐赠后，日销售利润为元，
根据题意得．
，
当时，
有最大值，最大值为．
的最大值为，
．
解得，．
当时，，，符合题意．
当时，，，不符合题意，舍去．
答：的值为2．
47．如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量与时间t（天）的关系是 天数为整数．
(1)试求销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)第10天时，最大日销售利润为1250元；
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练运用二次函数的性质是本题的关键．
（1）利用待定系数法求解析式；
（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数的中w的最大值，即可求解；
（3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间t的关系式，由二次函数的性质列出不等式组，可求解．
【详解】（1）解：当时，设销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为，
∴，
∴t，
∴pt+30，
当时，，
综上所述：；
（2）解：设日销售利润为w元，
当时，
，
∴当时，w有最大值为1250元，
当时，，
∴第10天时，最大日销售利润为1250元；
（3）解：∵，
∴a，
对称轴为．
∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,且由于t只取正整数，
∴，
∴；
48．某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表：
销售单价（元/千克）
日销售量（千克）
注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）
(1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）；
(2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元；
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________．
【答案】(1)
(2)当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键．
（1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解；
（2）建立与的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可．
（3）先求捐赠后的利润为元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
则解得：，，
，
（2）因为，
所以当时，有最大值，
最大值为，
所以当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元；
（3）因为，
整理得：，解得：，
所以，当时，捐赠后每天的剩余利润不低于1025元
故答案为：．
49．某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
(1)当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
(2)求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
(3)该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
【答案】(1)该玩具每天的销售额为600元
(2)销售该玩具每天的利润最大值为225元
(3)的值为2
【分析】（1）先求出时y的值，再根据“销售额＝销售量销售单价”计算即可；
（2）根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出w与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，结合x的范围即可求出w的最大值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为, 根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出z与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，可得时，，结合a的范围即可求出a的值．
【详解】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：


∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为,则
，
当时,达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
50．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
(1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
(2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【答案】(1)每顶头盔应降价20元；
(2)或4．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值．
【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，
依题意得：．
抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大，
，
解得：，
又∵，且为整数，
或．
【拓展训练三 二次函数的倍角计算问题】
51．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值；
(3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
52．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．
①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解；
（1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解；
②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线，
得：，
解得：，
该抛物线的表达式为：①；
（2）解：①令，得，
解得：，，
点，
设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为②，
如图1，过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
，
，
，
有最大值，当时，其最大值为，此时；
②，
顶点，
设直线与交于点，
当点在直线下方时，
，
点在的中垂线上，
线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为，
设中垂线的表达式为：，将点代入上式得，
解得：，
直线中垂线的表达式为：③，
设直线的解析式为，把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：④，
联立③④得：，
解得：，
点，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为：⑤，
联立①⑤得，
解得：，（舍去），
故点；
当点在直线上方时，
，
，
则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
即直线的表达式为：⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去，
故点；
综上所述，点的坐标为或．
53．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，2
(2)
(3)存在，点或
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等．
（1）由题意得：，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
【拓展训练四 二次函数的面积问题】
54．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值．
(3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键．
（1）运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论；
（3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：令，解得或，
∵，
∴，，
如图1，
设直线的函数表达式为，
∵直线经过点，，
∴
解得，
∴直线的函数表达式为，
由（1）得抛物线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，
∴线段有最大值为．
（3）解：如图2，作轴交BC于点E，
设直线的函数表达式为，
∵直线经过点，，
∴，
解得
∴直线的函数表达式为，
设，
令，解得，
则，
∴，
∴的面积，
∵的面积等于3，
∴，解得或．
55．如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可；
（）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解；
（）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为，
∵与轴交于点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为，
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
∴当时，的最大值为，当时，的最小值为，
∴的取值范围；
由抛物线的解析式，
当时，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵点是抛物线上一点，
∴，
当时，
解得或（舍去），
当时，
解得或（舍去），
∴的值为或．
56．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标．
(2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）先求得所在直线的表达式为．得出，根据求得，进而根据，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得解得
∴该抛物线的表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）存在．
设所在直线的表达式为，
将点，代入，得
解得
∴所在直线的表达式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即或．
解，得，；
解，得，，
∴点的坐标为或或或．
【拓展训练五 二次函数的新定义问题】
57．定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点，
G是的重心，
设交x轴于点H，
是的中线，
点的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
．
设直线的表达式为，
将与代入，
得，
解得，
所以直线的表达式为，
令，则，解得，
，
是的中线，
D为的中点，
，
．
58．定义：已知平面直角坐标系中有，两点（点在点左侧），，且轴，若抛物线经过，两点，则称抛物线是线段的“共弦抛物线”．
(1)若，，线段的一条“共弦抛物线”的顶点的纵坐标为，求这个抛物线的解析式；
(2)在（）的条件下，抛物线与轴相交于，两点，求的面积；
(3)若，线段的“共弦抛物线”和的顶点分别为点，，且点，距线段的距离之和为，求的值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)的面积为；
(3)的值为或．
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解一元二次方程，二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据，，线段的一条“共弦抛物线”，顶点的纵坐标为，则顶点坐标为，然后代入，求出的值即可；
（）由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，当时，，求出，，然后利用的面积为求解即可；
（）由线段的“共弦抛物线”和，则对称轴为直线
，故有，，抛物线的顶点坐标为，所以抛物线的顶点距线段线段的距离为，点距线段的距离为，从而得到抛物线的顶点为或，然后分当顶点为时，当顶点为时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵，，线段的一条“共弦抛物线”，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，且过点，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，
由（）得，这个抛物线的解析式为：，顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵线段的“共弦抛物线”和，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点距线段线段的距离为，
∴点距线段的距离为，
∴抛物线的顶点为或，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
当顶点为时，，
将代入得，，
解得：，
∴的值为或．
59．定义：抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”．
理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号）
① ② ③
应用：（2）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式．
拓展：（3）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．
①若“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，求点的纵坐标；
②已知点，，若是等腰三角形，直接写出的值．
【答案】（1）①③；（2）；（3）①；②3或4
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）分别求出抛物线与轴的交点坐标，顶点坐标，根据新定义，进行求解即可；
（2）根据顶点坐标，得到对称轴，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）①根据平移，得到，同法（2）求出抛物线的解析式即可；②分，，，3种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
当时，则：，
∴，；
故①是“至美抛物线”；
∵，
∴，
故②不是“至美抛物线”；
∵，
∴，
当时，则：，
∴，；
故③是“至美抛物线”；
故答案为：①③；
（2）抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴交于，两点，，
点的坐标为，点的坐标为，，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，
抛物线的解析式为．
（3）①“至美抛物线”的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，且为整数，
，
点的坐标为，点的坐标为，
“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，
，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，
抛物线的解析式为，
∴当时，，
点的坐标为；
②抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
当时，，解得，
为整数，
不符合题意，舍去；
当时，，解得，
为整数，
不符合题意，舍去；
当时，，解得或．
综上所述，的值为3或4．
1．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（ ）
A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20
【答案】B
【分析】此题考查了求二次函数的应用．
根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）．
【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2．
∵，
∴弹起的最高高度（米）是5．
故选：B．
2．我们知道，两个一次函数的图像有一个交点，交点坐标就是相对应的二元一次方程组的解，反之我们还可以通过图像法求得二元一次方程组的解．比如：一次函数与反比例的图象交点横坐标可由方程求得，那么请你推断：方程中m的范围比较合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点和方程解的关系这一知识点．解题关键在于将方程的解转化为两个函数图象交点横坐标，通过代入区间端点值比较函数值大小来确定交点横坐标所在取值范围．本题可通过构造函数，利用函数图象交点来确定方程解的范围．方程的解可看作是函数与图象交点横坐标的取值范围，可通过代入区间端点值判断函数值大小关系来确定范围．
【详解】解：当时，对于，；
对于，，此时．
当时，对于，；
对于，，此时． 说明当时，两个函数图象有交点，即方程的解在这个区间内．故A项合理；
当时，，；当时，无意义，且在内，对于，其值在 ，对于，两个函数图象无交点，故B项不合理；
当时，无意义，当时，， ，在这个区间内，，，两个函数图象无交点．故C不合理；
当时，，；当时，， ，在这个区间内，，，两个函数图象无交点．故D不合理；
∴方程中的范围是，
故选：A．
【点睛】
3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论；
①该男生推铅球出手时，铅球的高度为；
②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为；
③铅球落地时的水平距离为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可．
【详解】解：将代入，
得，
解得，，
∴这名男生铅球推出的水平距离为，
故③正确，符合题意；
∵，
∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为，
故②正确，符合题意；
当时，，
故①错误，不符合题意；
故选：C．
4．“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间．
【详解】解：∵，，
∴当秒时，水火箭达到最高点．
故选：B．
5．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40；
②与之间的函数关系式为；
③小球运动的时间为6；
④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（ ）
A．1

展开更多......

收起↑