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第5讲 导数中的综合应用
考点一 导数在实际生活中的应用
【例1】（24-25高二下·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（ ）
A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2
【答案】A
【解析】设该容器底面矩形的短边长为，则另一边长为，
此容器的高为，
于是，此容器的容积为：，其中，
即，得，（舍去），
因为在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减；所以，当时，函数有最大值，故选：A．
【变式】
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由题意得，商品的利润，
则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也时函数的最大值．
故选：B.
2．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（ ）万条时，该软件能获得最高收益.
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】设收益为元，由题意，
则，，
当时，，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益.
故选：C
3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则.
所以无盖方盒的容积为，.
所以，
令，解得；令，解得.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值即最大值，即当时方盒的容积最大.
故选：D
考点二 零点个数
【例2-1】（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】函数的定义域为，求导得，
函数在上单调递减，而，
所以函数有唯一零点，即零点个数为1.
故选：C
【例2-2】（2025·四川成都）函数有且只有一个零点，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得.
令，则，
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
且当时，；当时，，
因函数有且只有一个零点，
即函数的图象与直线有且只有一个交点，
故.故选：B.
【变式】
1．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，
求导得，
由，得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值，极小值，而，
因此函数在上有唯一零点0；在与分别有唯一零点，
所以所求零点个数为3.
故选：C
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，令函数，其定义域为，
，函数为奇函数，
依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点，
求导得，函数在上单调递减，
曲线在点处的切线方程为，令，
求导得，函数在上单调递减，
当时，；当时，，
即当时，；当时，；当时，，
作出的图象，如图：
观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点，
所以m的取值范围是.
故选：B.
3．（2025·海南）记函数的零点分别为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题可得，
注意到，
则，又注意到在R上单调递增，
则.
故选：A
4．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为.
对求导，可得：.
当时，在上，，即，所以在上单调递减，此时不可能有两个零点.
当时，令，即，因为，所以，解得（负根舍去）.
当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减.
所以在处取得极大值，也是最大值，.
因为当和时，，要使有两个零点，则，即.
因为，不等式两边同时除以得，即.
根据对数函数的单调性，在上单调递增，所以，两边同时平方可得，解得.
的取值范围是.
故选：D.
考点三 恒成立
【例3-1】（2025·广东广州 ）若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】依题，，则时，不等式恒成立，故只需考虑，此时有，
令，则，
易知在单调递减，在上单调递增，
所以，∴实数的最大值为.
故选：C.
【例3-2】（四川省广元市直属普通高中备课联盟2024-2025学年高二下学期教学质量联合检查数学试题）已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
令得，令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，.
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：B
【变式】
1．（重庆市部分学校2024-2025学年高二下学期5月联合考试数学试题）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ．
【答案】
【解析】，不等式
令，求导得，当时，；
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，解得，
所以a的最小值为.
故答案为：
2．（2025高三·全国·专题练习）关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】关于x的不等式恒成立，
所以恒成立，
所以即恒成立，
令，则恒成立，
所以在R上单调递增，又因为恒成立，
所以即恒成立，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以a的取值范围为.
故答案为：.
3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若存在，满足，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】定义函数
原问题等价于存在使得，所以在区间内的最大值大于 0，
令，解得
①当时，，故，且
令，解得，令，解得
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以的极大值也是最大值
故
构造函数
因，所以
故单调递增，且，故当时，，满足条件；
②当时，，所以函数在内单调递增，
所以当恒成立.故不满足条件，
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：
4．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数．
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
依题意，解得.
（2）因为的定义域为，
又，
所以恒成立 ，
令，
则 ，
令，则，所以在上单调递，
又，
所以，使得，即，，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
考点四 不等式的证明
【例4-1】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，．
(1)若，判断的单调性；
(2)若，求a的值；
(3)已知，．若，证明：．
【答案】(1)在上单调递增，在上递减
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意有：，因为，
令，解得：，所以当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．
若，则，即，
代入可得：，
令，（），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即，
当时，恒成立，即在上单调递增，
又，所以当，，不恒成立，故不成立.
综上所述；
（3）令，，
所以，令，
所以在上单调递增，因为，
所以在上存在唯一零点，令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，得证.
【变式】
1．（2025·福建南平 ）已知函数，其导函数为.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由题函数定义域为R，，令，
所以当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：由（1），
所以在上恒成立，
所以函数即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）函数，求导得，则，而，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，函数在上单调递增，
而，
则存在，使得，即，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
函数在上单调递减，则，于是；
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则，即，
因此，
所以.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）函数定义域为，
不等式，
令函数，依题意，对恒成立，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，不等式恒成立，则恒成立，
因此，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以当时，.
考点五 极值点偏移
【例5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1），则，
令，得，
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此．当时，，当时，，
作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点，
则，故的取值范围为．
（2）因为是函数的两个极值点，所以．
由（1）知，不妨设，
要证，即证，
只需证，显然．
由（1）知当时，单调递增，所以只需证，
而，所以即证．
设，
则，
当时，单调递减，所以当时，，
所以当时，，原不等式得证．
【变式】
1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）当时，，
曲线在处切线的斜率为，
又切线方程为，
即曲线在处的切线方程为；
（2）若有两个零点，
则，
得.
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，
故.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；
(3)如果，且，证明：．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）.
。
则的单调递增区间为，单调递减为；
（2）因的图象与的图象关于直线对称，
则.
构造函数，
则.
因，则，
则在上单调递增，则，
即当时，；
（3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，，
函数在处取得极大值，且，如图所示．
由，不妨设，则必有，
构造函数，
则，
所以在上单调递增，，
也即对恒成立．由，得，
所以，即，
又因为，且在上单调递减，所以，
即
法二：欲证，即证，由法一知，
故，
又因为在上单调递减，故只需证，
又因为，
故也即证，构造函数，
则等价于证明对恒成立．
由，则在上单调递增，
所以，即已证明对恒成立，
故原不等式成立．
法三：由，得，化简得，
不妨设，由法一知，．令，则，
代入，得，反解出，则，
故要证：，即证：，
又因为，等价于证明：，
构造函数，则，
令.
故在上单调递增，，
从而也在上单调递增，，即证成立，
也即原不等式成立．
3．（2024北京）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
【答案】证明见解析
【解析】法一：消参转化成无参数问题：
，
是方程的两根，也是方程的两根，
则是的两根，
设，，则，
从而，
由，，
得，化简的，
设，令，则，
所以，则，则，
故要证，即证，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以，则，
所以，即，
所以
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，
令，构造，
则，
所以在上单调递增，又，
，
，即
法三：直接换元构造新函数：
由已知，得，
设，
则，
则，
故，
要证，即证，
令，
则，
所以在上单调递增，又，
，所以，
所以
考点六 导数与数列综合
【例6】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对一切实数x，都有恒成立，求a的值；
(3)求证．对于任意的正整数n．都有．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，
又，所以，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
设，则，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，则，又，
故，即；
（3）由（2）可得，当时，，即，
所以，当时可得，
则令，可得，则，
所以
，
即.
【变式】
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设，讨论函数的零点个数；
(3)证明：，．
【答案】(1)递增区间是，递减区间是；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【解析】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，
当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点；
当时，，函数存在唯一零点；
当时，，函数无零点，即零点个数为0，
所以当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有0个零点.
（3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号，
取，则，
因此，
所以.
2．（2025·江西新余 ）函数，.
(1)方程有两解，，求证：；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：，定义域为，则
因为方程有两解，，所以，不妨设.
要证，即证，
①若，则.
②若，由知，
当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，有.
综合①②知，，所以只需证（*）.
又，，
两式相减，整理得，代入（*）式，得，
化简得，令，则只需证，
令，则需证当时，.
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，所以当时，，所以成立.
（2）由（1）知，故，
取，，，，则，
所以.
3．（24-25高二下·广东·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），则．
对于方程．
当，即时，，函数在上单调递减；
当，即时，方程有两不等根，
，且，
所以当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
（3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即当时，．
因为，所以，所以，
即，
所以，
，
，
…
，
累加可得
，
即，
所以．
单选题
1．（2024·陕西西安）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以当或时，
即在，上单调递增，
当时，即在上单调递减，
根据题意可得，即，解得.
故选：A
2．（2024·陕西）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】因为，由，得.令
令，则在上恒成立，
故函数在上单调递增，所以即，
由，得，所以.
当且仅当时，取“=”，
此时，由与图象可知使，此时.
所以，即有最大值为4.
故选：B.
3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，的定义域为，，
因为有两个极值点，所以，则①，
令，因为，所以，
将代入①整理可得，
所以，
令，则，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以.
故选：D
4．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）若，则一定错误的（ ）
A． B．
C． D．
【答案C
【解析】对于A，令，求导得，
函数在上递增，而，则，即，A正确；
对于B，函数，求导得，函数在上递减，
而，则，即，因此，B正确；
对于C，函数，求导得，函数在上递增，
则函数在上递增，，则存在使得，
当时，，函数在上递减，若，则，
此时，即，C错误；
对于D，函数，求导得，函数在上递增，
而，则，即，因此，D正确.
故选：C
5．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）对于函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．有3个零点
C．当时，
D．为函数的零点
【答案】C
【解析】因为的定义域为，，所以图象的对称中心为，故A正确；
对于函数，求导可得，
令，解得，可得下表：
x 1
0 0
极大值 极小值
则，，即可作图，
当时，则，，所以，
又因为当时，，单调递增，
所以，故B正确，C错误；
因为
，
即．
将代入解析式，
可得
，
故是的一个零点，故D正确．
故选：C．
6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于方程，当时，不成立，所以不是方程的解.
由题意关于x的方程存在三个不等的实数根，
等价于存在三个不等的实数根.
令，则，
所以在上，单调递减；
在上，单调递增.
时，；时，；时，，
函数图象如图，
令，则，
所以在上，单调递增；
在上，单调递减.
时，；时，；时，，
图像如图，
令，则，
由于在上恒成立，
所以在上，单调递减；
在上，单调递增，且.
从的函数图象可以看出，
当时，；当且时，.
函数大致图象如图，
则存在三个不等的实数根，.
故选：D.
7．（24-25高二下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，，，
且时，恒成立，时，恒成立，
而的图象为过定点的直线，
设与相切时，切点为，
则切线斜率，又在上，
故，，与联立得
，解得，
当时，切线斜率为不合要求，
当时，切线斜率为，满足要求，
故当时，图象恒在的上方，不合要求，
同一坐标系内，画出两函数图象，如下：
显然，当经过点时，，
当经过点时，，
不等式存在唯一的整数解，显然此整数解为-1，
需满足，即.
故选：A
8．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，令，得，
已知，当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
故当时，有最小值，而，
由此可知当时，，当时，，
若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知，
的最小值，
又，所以，，所以，所以，
即a的取值范围是．
故选：B.
多选题
9．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（ ）
A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212
C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50
【答案】BD
【解析】设，铁路上的运费为，
公路上的运费为，
则由到的总运费为.
则.
令，解得，(舍).
当时，，当时，.
故当时，取得最小值，，
即当在距离点为的点处修筑公路至时总运费最小，
此时，，点M到C的公路运费是50，
故选：BD
10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】A选项，，令得，
令，，则与有两个不同的交点，
，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，，
当时，恒成立，
要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确；
BC选项，因为，所以，
画出与的图象如下：
令得，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，B错误，C正确；
D选项，，故，
先证明，理由如下：
因为，不等式变形为，
即，令，
则，令，，
则恒成立，
故在上单调递减，
故，所以，结论得证，
故，
结合A选项，，D正确.
故选：
11．（24-25高二下·福建泉州·期中）设函数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若方程有唯一的解，则
C． D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，令，由复合函数单调性可知，的单调性相同，
对求导得，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
令，当从0的右边趋于0时，趋于负无穷，此时趋于0，
当趋于正无穷时，也趋于正无穷，注意到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当从0的右边趋于0时，此时趋于，
当趋于正无穷时，也趋于正无穷，，
所以若方程有唯一的解，则，故B正确；
对于C，要证，只需证明，
即只需证明，
令，求导得，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，故C正确；
对于D， 取，满足，但不成立，故D错误.
故选：ABC.
填空题
12．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，若函数（m为常数）有且仅有2个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，则，
原题意等价于与有2个不同的交点，
当时，则，可得，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0；
所以m的取值范围是.
故答案为：.
13．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为 .
【答案】1
【解析】令，该函数的定义域为，且，
对任意的，，则函数在处取得最小值，
又因为函数可导，所以函数在处取得极小值，
且，则，解得，
此时，则，
令，则，
故函数在上为增函数，
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数在处取得极小值，亦是最小值，合乎题意.
故.
故答案为：1.
14．（24-25高二下·山东日照·期中）已知，若恒成立，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为对于恒成立，
所以对于，恒成立，
设，所以.
当时，，函数单调递增，所以，此时，
则，
当时，当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
所以.
所以.
所以.
设，
所以，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以.
故，
综上可得的最大值为.
故答案为：
解答题
15．（四川省广元市直属普通高中备课联盟2024-2025学年高二下学期教学质量联合检查数学试题）已知函数．
(1)当时，求在点处切线方程；
(2)若在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由，则，
故，，
则切线方程，即.
（2）由在具有两个零点，
则具有两个零点，
设，
则，令则，
所以，，在单调递增，
，，在单调递减，
所以，又，，
因为的图象与有两个点，所以.
16．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数．
(1)判断在区间的单调性；
(2)求的最小值；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)在和单调递增，在和单调递减
(2)1
(3)证明见详解
【解析】（1）由题可得，
当时，，当时，，当时，，当时，，
所以在和单调递增，在和单调递减.
（2），令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（3）当时，令，
则，
因为，所以
由（2）知，故，
所以，故在上单调递减，
所以，所以．
17．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点，且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）当时，，
则，得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）（i），
又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根
则，解得，
经检验，当时，符合题意.
所以实数的取值范围为.
（ii）由（i）知，则，，
，
令，
则，
当时，，则单调递减
当时，，则单调递增
故当时，取得最小值，
所以，即的最小值为.
18（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数.
(1)若为增函数，求的取值范围；
(2)若有两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）为增函数，则恒成立，
设，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以是函数的极小值点，
故当，即恒成立，
所以当为增函数，的取值范围为.
（2），，，由（1）知当，
即时，有两个极值点，
故，设，则，
设，
则，
故在上单调递增，所以，
所以，又，
故，
所以，
又在上单调递减，
故，
所以.
19．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、；
当时，对任意的，，
此时函数的增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证.
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.
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第5讲 导数中的综合应用
考点一 导数在实际生活中的应用
【例1】（24-25高二下·云南昭通·期中）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架（接口处与损耗忽略不计），若制作的容器的底面的一边长比另一边长0.5m．则长方体容积的最大值为（ ）
A．1.8 B．2 C．1.4 D．2.2
【变式】
1．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知某物品进价为10元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价（元）之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（ ）万条时，该软件能获得最高收益.
A．17 B．18 C．19 D．20
3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ）
A．3 B．4 C． D．
考点二 零点个数
【例2-1】（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例2-2】（2025·四川成都）函数有且只有一个零点，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·海南）记函数的零点分别为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 恒成立
【例3-1】（2025·广东广州 ）若不等式（为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【例3-2】（四川省广元市直属普通高中备课联盟2024-2025学年高二下学期教学质量联合检查数学试题）已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（重庆市部分学校2024-2025学年高二下学期5月联合考试数学试题）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ．
3．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若存在，满足，则实数的取值范围为 .
4．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数．
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围．
考点四 不等式的证明
【例4-1】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，．
(1)若，判断的单调性；
(2)若，求a的值；
(3)已知，．若，证明：．
【变式】
1．（2025·福建南平 ）已知函数，其导函数为.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）设函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)证明：．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
考点五 极值点偏移
【例5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【变式】
1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；
(3)如果，且，证明：．
3．（2024北京）已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
考点六 导数与数列综合
【例6】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对一切实数x，都有恒成立，求a的值；
(3)求证．对于任意的正整数n．都有．
【变式】
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设，讨论函数的零点个数；
(3)证明：，．
2．（2025·江西新余 ）函数，.
(1)方程有两解，，求证：；
(2)证明：.
3．（24-25高二下·广东·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)求证：．
单选题
1．（2024·陕西西安）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）若，则一定错误的（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）对于函数，下列说法中不正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．有3个零点
C．当时，
D．为函数的零点
6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，设铁路，B、C之间距离为8，现将货物从运往，已知单位距离铁路费用为3，公路费用为5，如果在上点M处修筑公路至，可使运费由至最省．则下列正确的是（ ）
A．点M到B的距离为 B．由A至C运费最省时，运费是212
C．点M到C的距离为12 D．由点M到C的公路运费是50
10．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·福建泉州·期中）设函数，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若方程有唯一的解，则
C． D．若，则
填空题
12．（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，若函数（m为常数）有且仅有2个零点，则m的取值范围是 ．
13．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为 .
14．（24-25高二下·山东日照·期中）已知，若恒成立，则的最大值为 .
解答题
15．（四川省广元市直属普通高中备课联盟2024-2025学年高二下学期教学质量联合检查数学试题）已知函数．
(1)当时，求在点处切线方程；
(2)若在上有两个零点，求的取值范围．
16．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数．
(1)判断在区间的单调性；
(2)求的最小值；
(3)证明：当时，．
17．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点，且，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求的最小值．
18（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数.
(1)若为增函数，求的取值范围；
(2)若有两个极值点，证明：.
19．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
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