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第3讲 导数的基础内容
考点一 切线的斜率与倾斜角
【例1-1】（24-25高二下·广东惠州·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知曲线上一点，则曲线C在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·湖北·期中）点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·天津红桥·期中）曲线在点处切线的倾斜角为 ．
考点二 切线方程
【例2-1】（24-25高一下·广东广州·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式】
1．（广东省珠海市第一中学等五校2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）函数的图象在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象上过点的切线方程为 ．
4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）过点可作曲线的切线的条数最多为 .
考点三 单调性
【例3-1】（24-25高二下·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．
【例3-2】（24-25高二下·福建·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．、
C．、 D．
2．（24-25高二下·河南商丘·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
考点四 极值
【例4-1】（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【例4-3】（24-25高二下·四川成都·期中）函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式】
1．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在等比数列中，是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·广东·阶段练习）函数的极大值是 ．
考点五 最值
【例5-1】（广东省珠海市第一中学等五校2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）函数的最小值为 ．
【例5-2】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数在处取得极值．
(1)求实数a，b的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）函数在上的最小值为 ．
2．（24-25高二下·福建·期中）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
3．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
考点六 综合运用
【例6】（24-25高二下·云南昭通·期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．有一个零点
B．的单调递增区间为
C．在上的最大值为7
D．有两个极值点
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁·期中）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值
2．（24-25高二下·重庆·期中）（多选）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
3．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
单选题
1．（安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试数学试题（B））曲线在点处的切线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．， B． C． D．
3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极小值
B．函数在处取得极大值
C．函数在上单调递增
D．函数的递减区间为
4．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5（24-25高二下·河北沧州·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程不可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
多选题
9．（24-25高二下·山东·期中）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高二下·福建·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数恰有3个极值点
B．函数的单调递增区间为
C．函数的单调递减区间为
D．是函数的极小值点
11．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．是的极小值点 D．是的极大值点
填空题
12．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 .
13．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
14．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
解答题
15．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最值．
16．（2025·江西萍乡·三模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在区间上的值域.
17．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线过点．
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值．
18．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
19．（2025·陕西）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值．
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第3讲 导数的基础内容
考点一 切线的斜率与倾斜角
【例1-1】（24-25高二下·广东惠州·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，故．
设切线的倾斜角为，则，又，所以，
故选：．
【例1-2】（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以．
所以函数的图象在点处的切线的斜率为.
故选：C.
【变式】
1．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知曲线上一点，则曲线C在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意：.所以在点处的切线斜率为，
又倾斜角的取值范围是，所以切线的倾斜角为，选：C
2．（24-25高二下·湖北·期中）点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得：，即，
结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，故选：B
3．（24-25高二下·天津红桥·期中）曲线在点处切线的倾斜角为 ．
【答案】
【解析】因为，则，即切线斜率，所以切线的倾斜角.故答案为：.
考点二 切线方程
【例2-1】（24-25高一下·广东广州·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数求导得：，则，所以所求切线方程为，即.
故选：C
【例2-2】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，
对函数求导可得，
则切点处的斜率为，所以切线方程为，
因为切线过点，代入切线方程，可得，
整理得，则所求切线方程为.
故选：D.
【例2-3】（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意设切点坐标，，
切线斜率：，，化简可得：，解得：或，
所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条，故选：C
【变式】
1．（广东省珠海市第一中学等五校2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）函数的图象在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，因为，所以，所以切线方程为，即.
故选：C．
2．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知函数的定义域为，
设切点坐标为，则可得，
此时切线斜率为，因此切线方程为，
代入点可得，即，
解得，即切点坐标为.
故选：C
3．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象上过点的切线方程为 ．
【答案】或
【解析】由得．设切点为，则，
所以切线的方程为，
又切线过点，所以，
又，得，所以或，
当时，切线方程为，当时，切线方程为．
故答案为：或
4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）过点可作曲线的切线的条数最多为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为．
因为，所以，则切线斜率为，
所以切线方程为．
又点在切线上，所以，解得，
故过点可作条切线与曲线相切．
故答案为：.
考点三 单调性
【例3-1】（24-25高二下·江西南昌·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】B
【解析】因为，.
所以对函数求导得：.
令，则，解得.
又，所以.
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
【例3-2】（24-25高二下·福建·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为（），所以（），
由.所以的减区间是.故选：A.
【变式】
1．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．、
C．、 D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，，
由可得，即，解得，
因此，函数的增区间为.
故选：A.
2．（24-25高二下·河南商丘·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知函数的定义域为，，
令，得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
3．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误.
对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误.
对于C，，满足在上单调递增，故C正确.
对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误.
故选：C.
考点四 极值
【例4-1】（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，令，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
于是有极小值.
故选：D
【例4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
此时，当时，；当时，，
因此是的极值点，所以.
故选：B
【例4-3】（24-25高二下·四川成都·期中）函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设的零点从左到右依次为，
则当或时，；当或时，，
则在和上单调递减，在和上单调递增，
则的极小值点为，，极大值点为，
故函数的极值点个数为.
故选：C
【变式】
1．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在等比数列中，是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】由可得，
依题意是方程的两根，则，，
又数列是等比数列，设公比为，
则，，
故，，故.
故选：A.
2．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图知上，上且仅有，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点为.
故选：D
3．（24-25高二下·广东·阶段练习）函数的极大值是 ．
【答案】
【解析】求函数的极大值，即求的极小值，，
当时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，则，
故答案为：
考点五 最值
【例5-1】（广东省珠海市第一中学等五校2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】，令得．
当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以的最大值为．
故答案为：
【例5-2】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数在处取得极值．
(1)求实数a，b的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为59，最小值
【解析】（1），则，
因函数在处取得极值，
则，得，
经检验，符合题意;
（2）由（1）可知，，
得或，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
，，，，
则在区间上的最大值为59和最小值.
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）函数在上的最小值为 ．
【答案】/
【解析】得
，在上，，
所以当时，；
可得的增区间为，
当时，，
可得的减区间为，
又，
所以在上的最小值为.
故答案为：.
2．（24-25高二下·福建·期中）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【解析】（1）由题意知，，即切点为，
由已知，则，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2），得或.
当时，，所以函数在区间上单调递增，
当时，，所以函数在区间上单调递减.
所以函数的极小值点为，极小值为，
因为，，故在区间上的最大值为，最小值为.
3．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为，最小值为.
【解析】（1）函数的定义域为R，求导得，
由在处取得极值，得，解得，
则，由，得或；
由，得，则为的极小值点，符合题意
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因此，而，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
考点六 综合运用
【例6】（24-25高二下·云南昭通·期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．有一个零点
B．的单调递增区间为
C．在上的最大值为7
D．有两个极值点
【答案】ACD
【解析】由题设，则或有，有，
所以在和上单调递增，在上单调递减，B错；
且，，时趋向于，时趋向于，
所以在存在唯一零点，在定义域上有两个极值点，A、D对；
又，，显然在上的最大值为7，C对；
故选：ACD
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁·期中）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值
【答案】ABC
【解析】
根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确；
根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误；
故选：ABC．
2．（24-25高二下·重庆·期中）（多选）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】由图知，
当时，；当时，；当时，；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为．
故选：BCD.
3．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
单选题
1．（安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试数学试题（B））曲线在点处的切线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，当时，，
因曲线在点处的切线与直线垂直，故，
解得.
故选：B
2．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】C
【解析】定义域为，
，则，
则得；得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为
故选：C
3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极小值
B．函数在处取得极大值
C．函数在上单调递增
D．函数的递减区间为
【答案】B
【解析】由函数的导函数的图象可知，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，
在处取得极小值，
故选：B.
4．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】函数的定义域为，求导得，
函数在上单调递减，而，
所以函数有唯一零点，即零点个数为1.
故选：C
5（24-25高二下·河北沧州·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递减，可排除AC；
当时，，所以在上单调递增，可排除B；
当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确.
故选：D.
6．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程不可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意的导数为，
设切点为，则切线斜率为，
所以切线方程为，又切线过点，
所以或或，
所以代入切线方程整理得切线方程为或或.
故选：B
7．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，
所以，
所以当或时，；当或时，．
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选：D
8．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，其定义域为：，
由，故是奇函数，
由，得，
，故在上单调递减，
所以，故或，
故选：D
多选题
9．（24-25高二下·山东·期中）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】设切点，因为，则，
则切线方程为，又，
所以，又切线过点，
所以，整理得到，
即，所以或，
当时，切线方程为，即，
当时，切线方程为，即，
故选：BD.
10．（24-25高二下·福建·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数恰有3个极值点
B．函数的单调递增区间为
C．函数的单调递减区间为
D．是函数的极小值点
【答案】CD
【解析】根据导数正负得到，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，故A，B错误，C，D正确.
故选：CD.
11．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．是的极小值点 D．是的极大值点
【答案】AC
【解析】对于A,当时，故在上单调递增，A正确，
对于B, 当时，故在上单调递增，B错误，
对于C, 当时，故在上单调递增，当时，故在上单调递减，故是的极小值点，C正确，D错误，
故选：AC
填空题
12．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【解析】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为.
故答案为：
13．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
【答案】（写成，，，同样给分）
【解析】因为，，
令，得，解得，
所以的单调递减区间是.
故答案为：
14．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
解答题
15．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增．
(2)最小值为，最大值为．
【解析】（1）的定义域为，
，
令，得，
，的变化情况如下表所示：
x 1
0
单调递减 1 单调递增
所以，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为
由于，，
所以的最大值为．
综上，的最小值为，的最大值为．
16．（2025·江西萍乡·三模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在区间上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）依题意，，故，，
故所求切线方程为，即.
（2）由（1）知，
而，令，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
而，，，则，
故在区间上的值域为.
17．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线过点．
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由已知得，
则，又，
所以图象在点处的切线方程为，
将点代入得，解得.
（2）所以，定义域为,
所以，
令，则，
易得在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为.
18．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得，
令，得，解得．
所以的单调递增区间为
（2）令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
0 2
0 0
单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数有且仅有三个零点，
得方程有且仅有三个不等的实数根，
所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，
故．
19．（2025·陕西）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）当时，，
，
，，
所求切线方程为，即．
（2）当时，，其定义域为，
，
函数和在区间上都是增函数，
函数在区间上单调递增，
令，即，
，显然，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
当且仅当时等号成立，此时，解得，
当时，，在单调递增，，
所以当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
，符合题意，
实数的值为1．
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