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选择性必修第二册模拟卷（基础）
考试内容：选择性必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由求导，可得，则.故选：D.
2．（23-24高二上·甘肃白银·期中）等比数列，是的前项和，，则为（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
【答案】A
【解析】由等比数列的性质可知：成等比数列，
所以，
解得：，
故选：A
3（24-25高二下·北京西城·期中）如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】依题意，，，得，
所以.
故选：B
4．（河北省部分校名校联考2025届高三年级全仿真预测数学试题）等比数列的公比为2，且满足，则的前10项和为（ ）
A．4 B．32 C．84 D．128
【答案】A
【解析】因为数列为等比数列，公比为2.
由得，则，
所以的前10项和为.
故选：A.
5．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．在处取得极小值
C．有2个极值点 D．有极大值，没有极小值
【答案】D
【解析】由图可知在上恒成立，则在上单调递增，A错误．
因为在上恒成立，在上恒成立，
所以在单调递增，在单调递减，
所以在处取得极大值，没有极小值，B和C错误，D正确．
故选：D
6．（24-25高二下·四川成都·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球
A．55 B．66 C．110 D．136
【答案】B
【解析】设“三角垛”每一层球的个数构成数列，
由题意可知，，，，，…，，
这11项加在一起，得.
故选：B
7．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得：
，累计可得：，
故选：D.
8．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，可得或，由题意可知，，得，
将代入，可得，
令，求导得，令，解得，.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此，时，取得极小值，即的最小值为.
故选：B.
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高二下·陕西·阶段练习）记为数列的前项和.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】当时，，解得，A正确.
当时，，所以，即，
则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确；
由上知，B错误；
，D正确.
故选：ACD
10．（24-25高二下·江西·阶段练习）等差数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当时，取得最大值 D．若，则数列的前36项和
【答案】ACD
【解析】在等差数列中，有，，
所以，故A正确；
又，故B错误．
当时，；当时，；
当时，，
故当或13时，取得最大值， C正确，
易得，
则，D正确．
故选：ACD.
11．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图像关于对称
C．直线是的一条切线
D．关于的不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对求导，可得.
令，即，解得或，此时函数单调递增.
令，即，解得，此时函数单调递减.
所以在上单调递减，A选项错误.
对于点，计算：
，.
则，满足，所以的图像关于对称，B选项正确.
设切点为，切线斜率.
若直线是的切线，则切线斜率，即，解方程可得.
当时，.
所以切线方程为，即，所以直线是的一条切线，C选项正确.
由前面分析可知在和上单调递增，在上单调递减.
.
因为，且在上单调递增，，即，解得或.
所以不等式的解集为，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（24-25高二下·河北邯郸·期中）在数列中，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，又，
所以，即，又，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以，所以．
故答案为：
13．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】对函数求导得：，
则，因为切线过点，
故切线方程为．
故答案为：.
14．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ．
【答案】/
【解析】由题意得，则，得或．
当时，令，
得或，单调递减，单调递增，
所以在处取得极小值，不符合题意；
当时，令，得或，
单调递增，单调递减，
在处取得极大值，符合题意．
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，，可得，
整理得，解得，数列的通项公式；
（2），
所以
.
故数列的前项和.
16．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）据题可得：，当时，，
两式子作差可得：
，
又，所以，
当时，，
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列；
（2）令，据（1）可知：.
所以； 则，
得： ，
，
两式相减可得：
所以 ，
综上所述，数列的前n项和.
17．（2025·重庆）已知函数.
(1)求函数的最值；
(2)对任意的且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小值，无最大值
(2)
【解析】（1）由，则求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得最小值，函数无最大值.
（2）不妨设，由，整理可得，
令，问题等价于函数在上单调递减恒成立，求的取值范围，
由，求导可得，
令，
易知当时，恒成立，当且仅当且时，等号成立，
所以函数在上单调递减恒成立时，.
18．（2025·湖南）已知非零等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；
(3)在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，
由，得，
当时，由，得，
得，得．
所以，所以．
（2）因为是和的等差中项，所以，又，
所以，得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即；
令，可知，
因为，
所以，
两式相减得，
所以．
（3）由（2）可得，由于，
所以．
因为，所以，
当时，，
综上，成立．
19．（2025·北京·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的倾斜角；
(2)若是函数的极值点，
（i）求实数的值；
（ii）设函数．证明：．
【答案】(1)；
(2)（i）1；（ii）证明见解析.
【解析】（1）由题设，则，故切线斜率，
所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为.
（2）（i）由题设，则，
由，则，故且，
令，则，
所以在上单调递减，且，
所以时，在上单调递增，
时，在上单调递减，
所以是函数的极值点，故；
（ii），则且，
当时，，此时，即证，
当时，，此时，即证，
综上，只需证明在且上恒成立，
令，，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，故得证.
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选择性必修第二册模拟卷（基础）
考试内容：选择性必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
2．（23-24高二上·甘肃白银·期中）等比数列，是的前项和，，则为（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
3（24-25高二下·北京西城·期中）如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（河北省部分校名校联考2025届高三年级全仿真预测数学试题）等比数列的公比为2，且满足，则的前10项和为（ ）
A．4 B．32 C．84 D．128
5．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减 B．在处取得极小值
C．有2个极值点 D．有极大值，没有极小值
6．（24-25高二下·四川成都·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球
A．55 B．66 C．110 D．136
7．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高二下·陕西·阶段练习）记为数列的前项和.若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高二下·江西·阶段练习）等差数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当时，取得最大值 D．若，则数列的前36项和
11．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图像关于对称
C．直线是的一条切线
D．关于的不等式的解集为
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（24-25高二下·河北邯郸·期中）在数列中，，，则 ．
13．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ．
14．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
17．（2025·重庆）已知函数.
(1)求函数的最值；
(2)对任意的且不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025·湖南）已知非零等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和；
(3)在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：．
19．（2025·北京·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在处的切线的倾斜角；
(2)若是函数的极值点，
（i）求实数的值；
（ii）设函数．证明：．
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