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第2讲 随机变量的分布列与统计案例
考点一 条件概率
【例1-1】（24-25高二下·天津·期中）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知，；所以.故选：C
【例1-2】．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】事件A包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个，
其中，事件B包含的基本事件有：
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”，
甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”，
乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个，
概率.故选：A.
【变式】
1．（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用事件表示“第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，
则，，
则，
故在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是.
故选：C.
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”，
则，
故选：C
3．（24-25高二下·江苏徐州·期中）缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，
则，，
所以，
即在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为.
故选：B
考点二 全概率
【例2】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04
【答案】B
【解析】设“解出第一问”为事件，“解出第二问”为事件，
由题意可得：，
则，
所以.
故选：B.
【变式】
1．（24-25高二下·北京东城·期中）某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2:3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为（ ）
A．0.8884 B．0.868 C．0.1325 D．0.112
【答案】B
【解析】由条件可知，该产品是第一车间生产的概率为，是第二车间生产的概率为，
所以该产品是一等品的概率.
故选：B
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A．86% B．87% C．88% D．89%
【答案】B
【解析】该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为.
故选：B
3．（24-25高二下·北京·期中）已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记“第一次取红球”，“第二次取黑球”，
则，，
所以第二次取出的是黑球的概率.
故选：D
4．（24-25高二下·河北·期中）饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子.已知甲、乙两箱中各有3盒肉馅饺子，7盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用事件表示“从甲箱中取出一盒肉馅饺子放入乙箱”，表示“从乙箱中随机取出一盒饺子，且取出的饺子是肉馅”，
则，，
则从乙箱取出的饺子是肉馅的概率是.
故选：A.
考点三 超几何分布
【例3】（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；
(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
随机变量的数学期望为.
【变式】
1．（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．
【答案】(1)分布列见解析；
(2).
【解析】（1）由题意，随机变量，则，，，
所以的分布列如下，
0 1 2
（2）记第一次从甲袋随机摸出1个球，摸出的是对应事件分别为，
第二次摸到的是3号球为事件，则，，
所以.
2．（24-25高二下·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球．
(1)求摸出的红球个数多于黄球的概率；
(2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由题意可知，从7个球中取3个球，基本事件总数，
设事件表示“取出的红球个数多于黄球”，表示“恰好取出3个红球”，
表示“恰好取出2个红球1个黄球”，则，彼此互斥，
且，，，
所以摸出的红球个数多于黄球的概率；
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为
所以.
3.（2025河南）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
（2）当时，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
则．
当时，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
则．
故．
4.（2025·山东）某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客甲 满意 不满意 满意 不满意
顾客乙 不满意 满意 满意 满意
顾客丙 满意 满意 满意 不满意
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，40
【解析】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，
可能的结果共有：（种）
三名顾客产生的反馈结果总共有：（种）
则，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
，，
（3）可能的取值为2、3、4、5、6
，
，
2 3 4 5 6
∵，∴．
考点四 二项分布
【例4】（24-25高二下·湖南长沙·期中）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值；
(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】（1）由题知，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
【变式】
1．（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%.
(1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ；
(2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差.
【答案】(1)证明见解析
(2)分布列见解析 数学期望为，方差为
【解析】（1）设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”，
事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”，
事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”，
则，
.
即 .
得.即，
所以
（2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为.
表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即.
则，.
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以的分布列为：
则，所以期望为，
方差为.
2．（24-25高二下·浙江·期中）某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为．
(1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望；
(2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；
(3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【解析】（1）方法一：记甲在第一个月的得分为，则的取值为4，5，6，7，8，
则，
，
，
，
，
所以甲第一个月得分的分布列为：
4 5 6 7 8
；
方法二：设甲的4节课中优秀的节数为，
则且
则；
（2）记事件为“甲、乙第二个月可以一起选择其他兴趣课”，
设甲在第一个月的得分为，
则，
设乙在第一个月的得分为，设乙的4节课中优秀的节数为，
则且，
所以，，
，
所以；
4 5 6 7 8
（3）记事件B为“乙在三个月后得分为21分”，
事件为“乙在第2个月的得8分”
乙得分为21分共有3种情况：
① 8+8+5，这种情况的概率，
② 8+7+6，这种情况的概率，
③ 7+7+7，这种情况的概率，
所以，
，
则.
考点五 独立重复试验
【例5-1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲以“”获胜即前3局中，甲胜2局输1局且第4局胜，
记“甲以“”获胜”，
因为各局比赛的结果相互独立，
所以．
故选：B
【例5-2】（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，
当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，
故小李成功完成三道工序的概率为；
（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，
有如下几种情况：
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；
两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；
故.
【变式】
1．（24-25高二下·山西·期中）甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为；
若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为；
若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为；
若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为，
所以甲赢的概率为，
所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为．
故选：D.
2．（24-25高二下·河南郑州·期中）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是．
(1)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；
进入低分组，答对4个问题，所以概率为：.
（2）X的可能取值有0，20，40，60，80，
，
，
，
所以分布列为：
X 0 20 40 60 80
P
所以.
3（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动.
(1)求程序运行2次小明获奖的概率；
(2)若，求小明获奖的概率；
(3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】（1）程序运行2次小明获奖的情况有，这两种，
其概率.
（2）当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖.
程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种，
其概率，
故当时，小明获奖的概率.
（3）当时，的所有可能取值为2，4，5，6.
由（1）可知，由（2）可知，
当时，包含，，，这四种情况，
其概率，
.
故X的分布列为
X 2 4 5 6
P
故.
考点六 正态分布
【例6-1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．变量服从正态分布 B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，，
对于A，变量服从正态分布，A错误；
对于B, ,故B错误，
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
【例6-2】（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于，随机变量服从正态分布，且，
所以随机变量的方差，故错误；
对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，，
所以，故正确；
对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积，
所以，故错误；
对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，，
即，所以D错误.
故选：.
【变式】
1．（2025·湖北武汉）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
【答案】C
【解析】由连续型随机变量服从正态分布，
可得，可得，所以正态密度曲线关于对称，
即，
由，可得在时增加较快，在时增加越来越慢，
所以无对称轴，故AB错误；
，
所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.
故选：C.
2．（24-25高二下·江苏南京·期中）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，故A错误；
在的概率为，则，
所以，故B正确；
由，所以，故C错误；
由，所以，故D错误．
故选：B
3．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）（多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，
所以，
所以，所以A正确，
对于B，由选项A可知在区间的概率为，则，
所以，所以，所以B正确，
对于C，由选项B可知，所以，所以C错误，
对于D，由题意得，所以D正确.
故选：ABD
考点七 （非）线性回归方程
【例7-1】（2025高三·全国·专题练习）党的二十大报告明确指出，“必须完整、准确、全面贯彻新发展理念，坚持社会主义市场经济改革方向，坚持高水平对外开放，加快构建以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一工作小组中的5名员工采取如下考核措施：
①在本季度末，从部门中另抽120人，每人1票，对这5名员工进行投票；
②在本季度末，统计这5名员工本季度创造的营业收入.
现将5人的得票数与本季度创造的营业收入（万元）情况用数对表示：，，，，.记本季度创造的营业收入（万元）关于所得票数的样本相关系数为，为确保小组员工均贯彻新发展理念，部门规定：若，则该工作小组通过考核.若该工作小组未通过考核，则需将本季度创造的营业收入最少的员工移出小组.
(1)判断该工作小组是否通过考核；
(2)求该工作小组在考核后关于的经验回归方程（精确到个位）；
(3)某员工获得31票，预测该员工本季度创造的营业收入.
附：对于一组数据，，…，，
①经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
②样本相关系数.
【答案】(1)未通过考核
(2)
(3)88万元
【解析】（1），，
，
，
.
，
所以该工作小组未通过考核.
（2）将本季度创造的营业收入最少，即营业收入为75万元的员工移出小组，
剔除数据后的，.
，，，，
所以，故.
故经验回归方程为.
（3）由题可得，，代入（2）中经验回归方程，则（万元），
故预测该员工本季度创造的营业收入为88万元.
【例7-2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为，
(1)求关于的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）；
(3)又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，，，，
其回归直线方程为，其中，.
【答案】(1)
(2)，
(3)指数函数模型拟合效果更好.
【解析】（1）方法一：设关于的回归直线方程为，
由已知，，
，
，
所以，
，
所以关于的回归直线方程为，
方法二：因为关于的回归直线方程为，
因为，，
所以，，
则，
所以关于的回归直线方程为，
（2）若用指数型函数模型拟合与的关系，则有，
设，，，
则，
，
，
所以，
所以，
所以关于的回归方程为，
（3）由（1）关于的回归直线方程为，
所以时，，
残差为，
由（2）关于的指数函数模型的回归方程为，
所以时，，
残差为，
因为，所以指数函数模型拟合效果更好.
【变式】
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶.最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展.
(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起5个季度社区高血脂患者的血脂情况统计.
季度 1 2 3 4 5
血脂明显降低（或治愈）人数/人 100 150 210 270 320
已知血脂明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，试求出与的经验回归方程，并预测第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有多少人？
(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和.设进入决赛的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【答案】(1)，378人
(2)分布列见解析，
【解析】（1），.
，
，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有378人.
（2）由题知的可能取值为0，1，2，3.
依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为，，，
所以，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以.
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 14 20 37 74 108 203
(1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）；
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差.
参考数据：，其中；
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)
(2)平均数为167.5，方差为42.6
【解析】（1）已知，两边取常用对数可得，
设，，，则回归方程变为.
先计算，，，.
根据参考公式，，将，，，代入可得：
.
.
则，
因为，，所以，则；，则.
所以与的回归方程为.
即
（2）全体学生身高的平均数.
根据方差公式（其中为各层人数，为各层方差，为各层平均数，为总平均数）.
将，，，，，，代入可得：
则全体学生身高的平均数为167.5，方差为42.6.
3．（24-25高二下·云南昆明·期中）随着科技的进步及人民生活水平的提高，人们对于智能化生活的需求逐渐增加.李明统计了他在2011年至2020年的年收入与他购买电子产品的花销的数据.
为了预测他在2021年年收入为20万元时，在电子产品上花销为多少，建立了关于的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对年收入做变换，令.则，且有，，，.
(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
(2)分别利用这两个回归模型，预测李明年收入为20万元时的电子产品花销为多少百元？（结果保留两位小数）.
附：样本的最小二乘估计公式为，；
参考数据：，.
【答案】(1)
(2)模型①的电子产品花销的预测值为（万元），模型②的电子产品花销的预测值为（万元）
【解析】（1）由题意，知，，可得，
又由，
则，
所以，模型②中关于的回归方程.
（2）当时，模型①的电子产品花销的预测值为（百元），
当时，模型②的电子产品花销的预测值为
（百元）.
考点八 独立性检验
【例8】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14 a
不是每天都整理数学错题人数 b 15 20
合计 40
(1)计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(2)从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)，，有把握
(2)分布列见解析，
【解析】（1）依题意，，，
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人数 5 15 20
合计 19 21 40
所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”．
（2）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，X的所有可能值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望.
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁·期中）某医疗机构为了解某种地方性疾病与饮食习惯间的关系（饮食习惯分为良好与不良），从该地区随机抽取300名居民，得到如下2×2列联表：
饮食习惯 合计
良好 不良
患有这种地方性疾病 40
未患有这种地方性疾病 200
合计 220
(1)请补充上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联？
(2)通过抽血化验的方式进行这种地方性疾病的检验，随机地将k个人的血样混合再化验，如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明这k个人中至少一人血样呈阳性，需要对每个人再分别化验一次．已知5人的混管血样呈阳性．
（ⅰ）若这5人中有2人患有这种地方性疾病，现将这5人每个人的血样逐个化验，直到查出患有这种地方性疾病的2人为止，设X表示所需化验次数，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若这5人中有1人患有这种地方性疾病，从这5人中取出3人的血样混合一起化验，若呈阳性，则对这3人的血样再逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止；若呈阴性，则对剩下2人的血样逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止．设Y表示所需化验次数，求．
附：，其中．
0.1 0.01 0.001
k 2.706 6.635 10.828
【答案】(1)答案见详解
(2)（i）答案见详解，（ii）.
【解析】（1）
饮食习惯 合计
良好 不良
患有这种地方性疾病 20 40 60
未患有这种地方性疾病 200 40 240
合计 220 80 300
，
所以有的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联.
（2）（i）的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
2 3 4
所以.
（ii）的可能取值为，
，
，
所以，
.
2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 5
女生 8
合计 45
已知在全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中抽取2人做进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与均值.
附：，.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析
(2)与性别有关
(3)分布列见解析，
【解析】（1）因为全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为，
则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人，
所以列联表补充如下：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 22 5 27
女生 8 10 18
合计 30 15 45
（2）零假设为：喜爱打篮球与性别无关，
计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2.
所以，，，
故的分布列为：
0 1 2
所以的期望值.
3．（24-25高二下·山东青岛·期中）为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间（小时）成绩
优秀 4 44 42 3 2
不优秀 134 142 140 40 24
(1)从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数）
（附：，其中，
【答案】(1)分布列见解析，
(2)无关
【解析】（1）由题意，X的所有取值为，
则，，，
则X的分布列为
X 1 2 3
所以.
（2）由题列联表如下：
其它 合计
优秀 45 50 95
不优秀 180 300 480
合计 225 350 575
则，
所以学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时无关.
考点九 概率性质
【例9-1】（24-25高二下·北京·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项，根据对立事件概率公式，已知，则，所以选项正确.
对于选项 ，根据条件概率公式：.已知，，则，所以选项正确.
对于选项，因为，且，所以.
已知，，则，所以选项正确.
对于选项，根据概率的加法公式：.
已知，，，则，所以选项错误.
故选：D.
【例9-2】（24-25高二下·河北·期中）（多选）已知随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若互斥，则
B．若互斥，则
C．若相互独立，则
D．若，则
【答案】AC
【解析】若互斥，则，A正确；
若互斥，则，即，B错误；
当相互独立时，，，C正确；
若，则，所以，因为无法判断是否独立，
所以无法得到，D错误.
故选：AC.
【变式】
1．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，,
而不一定相等，故不一定成立，故A错误；
对于B，因为概率的取值范围为，
所以任何事件的概率都不可能大于1，故错误，B错误；
对于C，由于，故，C正确；
对于D，,
而不一定等于，故D错误，
故选：ABD
2．（24-25高二下·河南商丘·期中）（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，
解得，故A错误；
对于B，，解得，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误.
故选：BC．
3．（24-25高二下·辽宁·期中）（）镀锡设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件A，B互相独立
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，又，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以事件相互独立，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为事件相互独立，所以，故D正确.
故选：ABD.
单选题
1．（24-25高二下·广东清远·期中）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】事件A包含，，，，，，，共7种情况，
其中只有和满足“两次点数的最小值为1”，
故.
故选：C
2．（24-25高二下·广东·期中）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A．0.955 B．0.954 C．0.94 D．0.945
【答案】B
【解析】用事件表示“任取一件，取得正品”，事件表示“取到甲车床加工的零件”，
事件表示“取到乙车床加工的零件”，
则，
所以取到正品的概率为
．
故选：B
3．（24-25高二下·天津南开·期中）一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件表示第一次抽取的是黑球，，，
事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以，
所以
.
故选：C.
4．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意由可得；
由可得，即；
所以，
解得，即A、C、D均错误；
易知，即B正确.
故选：B
5．（24-25高二下·山西·期中）小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（ ）
A． B．12 C．15 D．18
【答案】D
【解析】设小明射中的次数为，
因为每次射击互不影响，且每次射中的概率均为，所以随机变量，
则，，
又因为射中一次得5分，没射中得0分，所以，则．
故选：D.
6．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此①②③④⑤⑥⑦⑧继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．③号槽对应的奖品正是小明喜欢的公仔，小明准备投入30枚游戏币，则他获得该公仔个数的期望为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】小球从最上层3个缝隙中落下的概率都相等，往后每一层左、右两边落下的概率相同，
当小球从最上层左边缝隙中落下时，接下来5步碰撞中要有2步向右，其它3步向左，共有种可能性；
当小球从最上层中间缝隙中落下时，接下来5步碰撞中要有1步向右，其它4步向左，共有种可能性；
当小球从最上层右边缝隙中落下时，接下来5步碰撞中5步都向左，共有种可能性；
所以小球落入③号槽的概率．
因为30个小球落入③号槽的个数，
所以．
故选：D.
7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（ ）
A． B．
C． D．无法确定与的大小关系
【答案】C
【解析】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，
在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品，
更换后，
若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后，
故，
由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，，
因此，故.
故选：.
8．（24-25高二下·辽宁·期中）已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”，
则，，，
所以
，
所以，故，，
若最大，则，
故，即，
解得，因为，所以，
所以取最大值时的值为7.
故选：B
多选题
9．（24-25高二下·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：若，则，）
A．，
B．
C．
D．对于任意的正数，恒有
【答案】AB
【解析】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故，
由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由A可得，故，C错误；
对于D，对于任意的正数t，由图象可知：
表示的面积始终小于表示的面积，
则恒有，D错误.
故选：AB
10．（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．
【答案】ABD
【解析】随机事件A，B满足，，，
又，
所以，故D正确；
又，
所以不相互独立，故C不正确；
，故A正确；
因为，所以，
所以，故B正确.
故选：ABD.
11．（24-25高二下·江苏无锡·期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
【答案】BCD
【解析】对于A，设所选的2个球中至少有1个是红球为事件，所选的2个球都是红球为事件，
则所求的概率为，故A错误；
对于B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则每次取到红球的概率为，
则取到红球的次数，因此取到红球次数的方差为，故B正确；
对于C，记第次摸到红球的事件为，第1次摸到白球的事件为，
则，
由全概率公式得第二次取到红球的概率为：
，故C正确；
对于D，从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，此时袋中只有3个红球和2个白球，
因此第二次再次取到红球的概率为，故D正确.
故选：BCD.
填空题
12．（24-25高二下·山东枣庄·期中）若事件，互斥，，，，则 ．
【答案】/
【解析】由于事件，互斥，
,故，
故，
，
故答案为：
13．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 .
【答案】
【解析】由可得，故,
故答案为：,
14．（24-25高二下·北京东城·期中）一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为 ；（2）两次取出的都是红球的概率为 .
【答案】
【解析】（1）当第一次取出红球后，放回并放入2个红球，此时袋中有4个红球，3个黑球，总球数为7个，
所以第2次取出红球的概率为；
（2）由题意可知第一次取出红球的概率为，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率为，
所以两次取出的都是红球的概率为.
故答案为：；
解答题
15．（24-25高二下·福建三明·期中）为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为.
(1)若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望.
(2)若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，21；
(2)应该选择类试题，理由见解析.
【解析】（1）由题设，可能的取值为，
，
，
所以的分布列为
0 10 20 30
所以
（2）设表示小明回答类试题中答对的题数，易知，
故，又，则.
因为，故小明应该选择类试题回答得分更高.
16．（24-25高二下·宁夏·期中）是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景.为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训.
(1)此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门.从这名部门领导中随机选取人，记表示选取的人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.求每位员工经过培训合格的概率；
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2).
【解析】（1）的所有可能取值为，，，且服从超几何分布.
，
的分布列为
的数学期望.
（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
，
即每位员工经过培训合格的概率为.
17．（24-25河南新乡）已知相关变量和的散点图如图所示，拟用①，②（其中均为常数，为自然对数的底数）两个模型拟合，令，计算得如下数据：
20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0.308 21500
(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程．（系数精确到0.01）
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；②．
【答案】(1)模型的拟合程度更好
(2)
【解析】（1）由题意进行数据分析：
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.
（2）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即.
由于
所以关于的线性回归方程为，
所以，则.
18．（24-25高二下·天津滨海新·期中）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）在一局比赛中，甲得分的可能取值为，，10.
表示甲答错且乙答对的情况.根据独立事件的概率乘法公式，可得.
包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错.
甲、乙都答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，
根据互斥事件的概率加法公式，可得.
表示甲答对且乙答错的情况.根据独立事件概率乘法公式，可得.
的分布列为：
10
则的数学期望为：.
（2）因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以.
则
，
.
的分布列为：
0 1 2 3 4
则的数学期望为：.
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得10分，其概率为
② 两局得10分，一局得分，其概率为
③ 两局得10分，一局得分，其概率为
④ 一局得10分，两局得分，其概率为.
综上可得，甲最终获胜的概率为.
19．（24-25高二下·山东枣庄·期中）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
(1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题
(3)现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
【答案】(1)、
(2)小明应该使用软件来解决这道试题
(3)，
【解析】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率分别为和，
由题中数据可得，.
（2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，
“该题为几何题”为事件．
则，，，，
，，
由全概率公式可得，
，
因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小明应该使用软件来解决这道试题.
（3）因为，，
故选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答，
用、分别表示这道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，．
则，，
所以，，
，，
因为、相互独立，则，
.
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第2讲 随机变量的分布列与统计案例
考点一 条件概率
【例1-1】（24-25高二下·天津·期中）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·江苏徐州·期中）缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点二 全概率
【例2】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04
【变式】
1．（24-25高二下·北京东城·期中）某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2:3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为（ ）
A．0.8884 B．0.868 C．0.1325 D．0.112
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A．86% B．87% C．88% D．89%
3．（24-25高二下·北京·期中）已知盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，第一次随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个；第二次再从盒中随机取出1个球，则第二次取出的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·河北·期中）饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子.已知甲、乙两箱中各有3盒肉馅饺子，7盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点三 超几何分布
【例3】（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；
(2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望
【变式】
1．（24-25高二下·山东·期中）已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．
2．（24-25高二下·山西·期中）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球．现从袋子中一次性摸出3个球．
(1)求摸出的红球个数多于黄球的概率；
(2)记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望．
3.（2025河南）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．
4.（2025·山东）某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客甲 满意 不满意 满意 不满意
顾客乙 不满意 满意 满意 满意
顾客丙 满意 满意 满意 不满意
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．
考点四 二项分布
【例4】（24-25高二下·湖南长沙·期中）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值；
(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
【变式】
1．（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%.
(1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ；
(2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差.
2．（24-25高二下·浙江·期中）某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为．
(1)求甲第一个月得分的分布列及数学期望；
(2)求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；
(3)若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．
考点五 独立重复试验
【例5-1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【变式】
1．（24-25高二下·山西·期中）甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·河南郑州·期中）为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是．
(1)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值．
3（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动.
(1)求程序运行2次小明获奖的概率；
(2)若，求小明获奖的概率；
(3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望.
考点六 正态分布
【例6-1】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．变量服从正态分布 B．
C． D．
【例6-2】（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2025·湖北武汉）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
2．（24-25高二下·江苏南京·期中）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）（多选）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（ ）
A． B．
C． D．
考点七 （非）线性回归方程
【例7-1】（2025高三·全国·专题练习）党的二十大报告明确指出，“必须完整、准确、全面贯彻新发展理念，坚持社会主义市场经济改革方向，坚持高水平对外开放，加快构建以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某部门在对新发展理念组织了全面学习后，对同一工作小组中的5名员工采取如下考核措施：
①在本季度末，从部门中另抽120人，每人1票，对这5名员工进行投票；
②在本季度末，统计这5名员工本季度创造的营业收入.
现将5人的得票数与本季度创造的营业收入（万元）情况用数对表示：，，，，.记本季度创造的营业收入（万元）关于所得票数的样本相关系数为，为确保小组员工均贯彻新发展理念，部门规定：若，则该工作小组通过考核.若该工作小组未通过考核，则需将本季度创造的营业收入最少的员工移出小组.
(1)判断该工作小组是否通过考核；
(2)求该工作小组在考核后关于的经验回归方程（精确到个位）；
(3)某员工获得31票，预测该员工本季度创造的营业收入.
附：对于一组数据，，…，，
①经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
②样本相关系数.
【例7-2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为，
(1)求关于的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）；
(3)又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，，，，
其回归直线方程为，其中，.
【变式】
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶.最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展.
(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起5个季度社区高血脂患者的血脂情况统计.
季度 1 2 3 4 5
血脂明显降低（或治愈）人数/人 100 150 210 270 320
已知血脂明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，试求出与的经验回归方程，并预测第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有多少人？
(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和.设进入决赛的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 14 20 37 74 108 203
(1)根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）；
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差.
参考数据：，其中；
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
3．（24-25高二下·云南昆明·期中）随着科技的进步及人民生活水平的提高，人们对于智能化生活的需求逐渐增加.李明统计了他在2011年至2020年的年收入与他购买电子产品的花销的数据.
为了预测他在2021年年收入为20万元时，在电子产品上花销为多少，建立了关于的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对年收入做变换，令.则，且有，，，.
(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
(2)分别利用这两个回归模型，预测李明年收入为20万元时的电子产品花销为多少百元？（结果保留两位小数）.
附：样本的最小二乘估计公式为，；
参考数据：，.
考点八 独立性检验
【例8】（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 14 a
不是每天都整理数学错题人数 b 15 20
合计 40
(1)计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(2)从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望．
【变式】
1．（24-25高二下·辽宁·期中）某医疗机构为了解某种地方性疾病与饮食习惯间的关系（饮食习惯分为良好与不良），从该地区随机抽取300名居民，得到如下2×2列联表：
饮食习惯 合计
良好 不良
患有这种地方性疾病 40
未患有这种地方性疾病 200
合计 220
(1)请补充上面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联？
(2)通过抽血化验的方式进行这种地方性疾病的检验，随机地将k个人的血样混合再化验，如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明这k个人中至少一人血样呈阳性，需要对每个人再分别化验一次．已知5人的混管血样呈阳性．
（ⅰ）若这5人中有2人患有这种地方性疾病，现将这5人每个人的血样逐个化验，直到查出患有这种地方性疾病的2人为止，设X表示所需化验次数，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若这5人中有1人患有这种地方性疾病，从这5人中取出3人的血样混合一起化验，若呈阳性，则对这3人的血样再逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止；若呈阴性，则对剩下2人的血样逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止．设Y表示所需化验次数，求．
附：，其中．
0.1 0.01 0.001
k 2.706 6.635 10.828
2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男生 5
女生 8
合计 45
已知在全班45人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？
(3)现从女生中抽取2人做进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与均值.
附：，.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3．（24-25高二下·山东青岛·期中）为了解某地初中学生阅读时长与学业成绩的关系，从该地区初中学生中随机抽取部分学生，得到日均阅读时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间（小时）成绩
优秀 4 44 42 3 2
不优秀 134 142 140 40 24
(1)从样本中学业成绩优秀且阅读时间在区的学生当中随机抽取3名学生进行调查，X表示3名学生中阅读时长在人数，求X的分布列和期望；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析学业成绩优秀与日均阅读时长不小于1小时且小于2小时是否有关？（运算结果四舍五入保留到小数点后两位小数）
（附：，其中，
考点九 概率性质
【例9-1】（24-25高二下·北京·期中）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例9-2】（24-25高二下·河北·期中）（多选）已知随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若互斥，则
B．若互斥，则
C．若相互独立，则
D．若，则
【变式】
1．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·河南商丘·期中）（多选）设A，B是一次随机试验中的两个事件，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·辽宁·期中）（）镀锡设A，B是两个随机事件，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件A，B互相独立
C． D．
单选题
1．（24-25高二下·广东清远·期中）骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件“两次点数的最大值为4”，事件“两次点数的最小值为1”，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·广东·期中）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A．0.955 B．0.954 C．0.94 D．0.945
3．（24-25高二下·天津南开·期中）一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二下·山西·期中）小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（ ）
A． B．12 C．15 D．18
6．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此①②③④⑤⑥⑦⑧继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品．③号槽对应的奖品正是小明喜欢的公仔，小明准备投入30枚游戏币，则他获得该公仔个数的期望为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（ ）
A． B．
C． D．无法确定与的大小关系
8．（24-25高二下·辽宁·期中）已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
多选题
9．（24-25高二下·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（ ）（参考数据：若，则，）
A．，
B．
C．
D．对于任意的正数，恒有
10．（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．
11．（24-25高二下·江苏无锡·期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）
A．从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
填空题
12．（24-25高二下·山东枣庄·期中）若事件，互斥，，，，则 ．
13．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 .
14．（24-25高二下·北京东城·期中）一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则（1）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为 ；（2）两次取出的都是红球的概率为 .
解答题
15．（24-25高二下·福建三明·期中）为迎接“五一劳动节”，某校举行“劳动最光荣”知识竞赛.竞赛共有A B两类试题，每类试题各10道，答对1道A类试题得10分，答对1道B类试题得20分，答错不扣分.参赛者从这两类试题中挑一类来回答（只需选择其中一类回答），每类抽出3道题回答（抽后不放回）.已知小明在A类试题中有7道题会答对，B类试题中每道答对的概率均为.
(1)若小明选择回答A类试题，设小明回答结束后的总得分为，求的分布列和期望.
(2)若小明选择回答B类试题，设小明回答结束后的总得分为，从得分期望考虑，小明应该选择哪类试题回答得分更高？请说明理由.
16．（24-25高二下·宁夏·期中）是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景.为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训.
(1)此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门.从这名部门领导中随机选取人，记表示选取的人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.求每位员工经过培训合格的概率；
17．（24-25河南新乡）已知相关变量和的散点图如图所示，拟用①，②（其中均为常数，为自然对数的底数）两个模型拟合，令，计算得如下数据：
20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0.308 21500
(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程．（系数精确到0.01）
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；②．
18．（24-25高二下·天津滨海新·期中）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
19．（24-25高二下·山东枣庄·期中）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
(1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题
(3)现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
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