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中小学教育资源及组卷应用平台
第3讲 统计概率与其他知识的综合
考点一 决策
【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)方案一
【解析】（1）记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”.
根据题意得
（i）由全概率公式得
（ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率，
即
（2）方案一的测试次数的数学期望为4.
用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5.
则
所以方案二测试次数的数学期望为.
又因为，
所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一.
【变式】
1．（24-25高二下·福建福州·期中）甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【答案】(1)
(2)方案一
【解析】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件
于是，与为互斥事件，
由于，
则，即甲最终获胜的概率为.
（2）由（1）可知，
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取
则的分布列为：
5
则
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0
则的分布列为：
3 0
则
所以
答：方案一始终更优
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示：
参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率
女生
男生
规定：每参加项比赛，社团的积分增加分．
(1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该社团最终的积分为分的概率；
(3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．
方案一：每个社团奖励“参与奖”元；
方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金．
为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)方案二更有利，理由见解析
【解析】（1）根据题意，设“抽取的人至少有名男生”为事件，设“有女生参加比赛”为事件，
则，，
利用条件概率公式，可得.
（2）根据题意，该社团最终的积分为分，说明抽取的人都是男生，且人都参加了三项比赛，
所求概率.
（3）对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为、、、、.
则，
，
，
，
.
所以，
即获得的奖励金额的期望大于，故方案二更有利.
3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率
小 100次 80% 100次 40%
小 190次 70% 10次 30%
现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）
(1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？
(2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大．
【答案】(1)错误
(2)0.63856，小获胜概率更大
【解析】（1）小总命中率为，
小总命中率为，
，综上，小想法错误，小为校；
（2）情况一：小第一次投篮就命中，其概率为；
情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中，
其概率为；
情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中，
其概率为，
则小的获胜概率为，
所以小获胜概率更大.
考点二 统计概率与数列综合
【例2-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
(1)若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列；
(2)若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：
数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点.
初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在节点的概率为，
①求
②求
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②．
【解析】（1）的可能取值为1，2，3
，，
所以得分布列为：
X 1 2 3
P
（2）①由题意，当投掷3次骰子后，点数大于3的概率为，若点数大于4的概率为，
数据在中，共有4种情况：
，其概率为；
，概率为；
，概率为；
，概率为；
所以投掷3次后，数据在中的概率为．
②设投掷次后，数据仍在中的概率为，
所以当时，，
，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
所以，所以．
【例2-2】．（24-25高二下·湖南郴州·期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)证明见解析，.
【解析】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，
由题意的可能取值为2，3，4，
，，，
故的分布列为：
2 3 4
因此，数学期望.
（2）由题意知，
故，且，，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以，当时，
，
当时，上式也成立，
综上所述：.
【例2-3】.（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【解析】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分；
既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 ；
（2）由这 人的合计得分为 分，
则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
则 ，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
，
，即
，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，.
【变式】
1.．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为.
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
(3)
【解析】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，
设抽取的三人中满分人数为，则，
则，，
，，
则的分布列为：
（2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，
则，，
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则，且，
又因为
所以，
故，
所以.
（3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，
设次传球后球在乙手中的概率为，，
则有，所以，
所以
，
即，，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即第次传球后球在乙手中的概率.
2．（2025·辽宁）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求和；
(2)求证：是等比数列；
(3)求的数学期望（用表示）.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】（1）依题意，，，
，
.
（2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球，
表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，
表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，
当时，
则，
，
，
，
因此，即，，
所以是为首项为公比的等比数列.
（3）依题意，的分布列为
0 1 2
期望，由（2）得，
所以.
3．（2025·湖北）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；
(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，
“甲乙在第轮活动中都答对”，，
则
，
又，
故；
（2）第二轮甲答对的概率为，
第二轮乙答对的概率为，
依此类推得到，，
每一轮甲乙都答错的概率为，
因此，
则①
所以，②
①②得，
其中，
所以.
考点三 最值
【例3-1】（24-25 内蒙古呼和浩特）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）记20件产品中的次品件数为X，由题设知，
则问题可理解为求的最大值，
因此.
令，得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的最大值点为；
（2）由（1）知，.
令表示余下的180件产品中的不合格品件数，
依题意知，，
即.
所以（元）.
【例3-2】（2025·北京）某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，第一项测试通过的概率为0.7，若第一项通过，则第二项通过的概率为0.9，若第一项未通过，则第二项通过的概率为0.4.
(1)已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；
(2)规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为，则取何值时最大？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设事件为“第一项测试通过”，事件为“第二项测试通过”，事件为“仅通过一项测试”.
则，
.
所以.
（2）由已知及（1）可得，每件产品检测为合格品的概率为，
所以.
，
当时，，当时，，
所以时，最大.
【例3-3】．（2025·福建南平）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立.
(1)求比赛局数为的概率；
(2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率；
(3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）依题意比赛局数为或，
又比赛局数为的概率，
比赛局数为的概率，
（2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件，
则，
，
所以.
（3）依题意，
所以，且，
令，即，
即，解得，
又，所以.
【变式】
1．（2025·山东）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为．
(1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率；
(2)求在一轮中乙摸出红球的概率；
(3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不同意乙的观点，理由见解析
【解析】（1）设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”，
由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率，
所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为．
（2）在一轮中，乙摸出红球的概率．
（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，
则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，
设，则，
令，解得，
则当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点．
2．（2025·四川广安）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值.
【答案】(1)2
(2)
(3)或
【解析】（1）由直方图，占6人，占3人，
则成绩优秀的学生人数可取，，，，
所以，，
，，
所以分布列为
0 1 2 3
则期望.
（2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生，
由已知条件可知，，，
所以.
（3）解法一：
解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，，
所以，令，则，
令，则，所以时，，
令，则，所以时，，
令，则，所以，
所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
3．（24-25高二下·重庆·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
【解析】（1）的可能取值为，
，，
，
分布列为
所以.
（2）设甲，乙答对题数分别为，
则，
设事件表示甲、乙两名员工在每轮答题中取胜，
则
，
又，则，
令，则，即，且，
当且仅当时，取等号，
则，其中，
其对称轴为，所以当时，即时，取得最大值，
且.
考点四 统计概率与空间几何
【例4-1】（24-25四川）如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【解析】（1）设底面边长为，则，得，
连结交于点，作，垂足为点，连结，
因为平面，平面，所以，
且，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
所以是等边三角形，，所以
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（2）由题意可知，蚂蚁从点沿的概率都是,
2秒后蚂蚁移动了2个单位，侧棱长为2，所以若沿移动，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿蚂蚁到达点，
，，
所以分布列为
0 2
数学期望.
【变式】
1.（2025·辽宁）已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）（ii）是，该常数为.
【解析】（1）该正四棱锥的底面面积，故底面边长，侧棱长.
若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离；
若该蚂蚁沿着或移动，则秒后该蚂蚁与点的距离；
若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离.
所以的分布列为
.
（2）（i）每只蚂蚁有的概率得分，有的概率得分.
从而只蚂蚁的总得分为当且仅当恰有一只蚂蚁得分.
故，所以.
设，则，作差即得
.
所以.
（ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为分，必然是至多抽取了只蚂蚁.
在得分为分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到分或分，这两者是对立事件，
抽取若干蚂蚁得分分，记为事件，得分分的事件记为，
，
由对立事件的概率关系可得：
，
，
，
所以，
当时，，
所以.
2．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为．
(1)求的值；
(2)①求证：数列是等比数列；
②求．
【答案】(1)，
(2)①证明见解析；②
【解析】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面．
所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，
在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，
所以
．
（2）①因为，
所以．
又因为，所以，
所以数列是首项为公比为的等比数列．
②因为，
所以，所以．
设，
则，
则，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以．
3.（2025·四川资阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
(1)当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)①；②；
(2)存在，
【解析】（1）①由题可知，，则 .
直线的倾斜角，则斜率.
所以直线的方程为.
联立直线与椭圆方程得或.
又因为点A在x轴上方，所以.
所以为边长是的正三角形，且.
折叠后，.
又因为，所以；
外接圆半径；
外接圆半径.
三棱锥外接球半径为
.
三棱锥的外接球的表面积为.
②因为二面角为直二面角
所以到轴距离即为三棱锥的高，.
底面的面积
所以.
即三棱锥的体积为.
（2）设翻折前，
翻折后.
设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立得，
，则.
翻折前，
翻折后，
由,，所以.
分母有理化
所以.
则.
又因为，
所以，
将代入上式，
整理得，
整理得
因为，所以.
考点五 统计概率与函数导数的综合
【例5】（24-25高二下·浙江宁波·期中）一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
(1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
(2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)公平，理由见解析
【解析】（1）由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
（2）因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率；
（3）游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
【变式】
1．（2025湖北）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则，，，
随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
则
（2）解：甲队只胜一场的概率为，
则．
故当时，，递增；
当时，，递增；
则
2.（2025北京）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
（2）由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
考点六 统计概率中的证明
【例6】（2026湖南）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午） （篮球，篮球） （篮球，乒乓球） （乒乓球，篮球） （乒乓球，乒乓球）
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
(2)记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；
(3)假设A表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.
【答案】(1)0.4；
(2)分布列见解析，1.82
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件为“早上甲打篮球”，事件为“下午甲打篮球”，
则，.
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为，乙上下午都选择篮球的概率为，
甲上下午都选择乒乓球的概率为，乙上下午都选择乒乓球的概率为，
记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则的所有可能取值为、，
所以，，
所以的分布列为：
1 2
所以.
（3）证明：由题意知，即，
即，
即，
即，即，
即.
【变式】
1．（2025·湖南）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下信息：
①抽取的学生中，男生占的比例为60%；
②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ 独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生
女生
合计
(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算和的值.
（ii）根据第（i）问中的结果，分析与的大小关系.
参考公式及数据，.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析，是否喜欢雪上运动与性别有关联.
(2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】（1）2×2列联表如下：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40 120
女生 30 50 80
合计 110 90 200
假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联.
根据表中数据，计算得到
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立.
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联.
（2）①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件
因为，
，
所以.
②由（i）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件A，B，C，有.
证明过程如下：，得证.
2．（2025·黑龙江哈尔滨）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
球队输球 球队赢球 总计
甲参加 2 30 32
甲未参加 8 10 18
总计 10 40 50
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：；
②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值．
附：．
参考数据：
a 0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①证明见解析 ；②,；
【解析】（1）零假设为：该球队胜利与甲球员参赛无关．
，
因为，
所以依据的独立性检验，我们推断不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）①证明：
②，，
单选题
1．（24-25高二下·北京延庆·期中）口袋中装有除颜色外完全相同的三个红球、二个白球、一个黑球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：当第次摸到红球；当第次摸到白球；当第次摸到黑球.如果为数列的前项和，那么的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得每次摸球摸到红球的概率为、摸到白球的概率为、摸到黑球的概率为，
若，则，或，
故所求概率为.
故选：D.
2．（24-25高二下·河北·期中）小朋友们在如图所示的正八边形的游乐场玩丢手绢.场地被等分成8段（标记为到），每个点有一个小朋友，小明从点处开始选择顺时针或逆时针方向在8个小朋友身后放手绢，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每个点都会随机选择顺时针或逆时针方向继续跑动.若小明一直不停下来，21秒恰好在点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】小明21秒后恰好停在，则小明不停的状态下走了7段路恰好停在点，有以下情况:
（1）从处顺时针走6步返回1步，即顺时针走6段小路，逆时针走1段小路，此情况有种可能；
（2）从处逆时针走5步返回2步，即顺时针走2段小路，逆时针走5段小路，此情况有种可能；
由（1）（2）可知所求概率为.
故选：C.
3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个.
A．180 B．300 C．360 D．480
【答案】B
【解析】将六个数字看作不同数有种，剔除两个1的重复情况，共有，
若9为最后一位数有种，剔除两个1的重复情况，共有，
所以一共有种.
故选：B
4．（24-25高二下·四川遂宁·期中）程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被3整除的个数为（ ）
A．5 B．7 C．15 D．26
【答案】B
【解析】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；
“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605；
“百位”拨动1枚算珠可以表示的不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155；
520、502、506、560、511、551、515、555.
其中能被3整除的三位整数为：300、210、201、120、102、111、555.
所以共有7个.
故选：B.
5．（24-25高二下·天津滨海新·期中）对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（ ）种．
A．120 B．360 C．420 D．240
【答案】C
【解析】设四棱锥为，
则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，
当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法，
当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法，
故此时共有种涂色方法（种）.
故选：C．
6．（24-25上海奉贤·期中）足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（ ）
A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立
C．①②都成立 D．①②都不成立
【答案】A
【解析】由乙或丙传球给其他两个人，得，①正确；
依题意，第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，
有的概率将球传给甲，于是，，
而，因此是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，则，
，，②错误.
故选：A
7．（24-25高二下·重庆·期中）为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将五名同学分为四组，每组人数分别为、、、，分组方法种数为种，
所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，
不同的报名种数为种，
考虑数独的报名人数，
①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有种情况，
若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有种情况，
最后将剩余人分为两组，再分配给另外两门课程，
此时不同的选择情况种数为种；
若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程，
此时不同的选择方法种数为种；
②若数独有两人报名（乙和丙），
则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况.
剩余两人报名剩余两名课程，
此时不同的选择方法种数为种.
综上所述，所求概率为.
故选：D.
8．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为；
小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为；
小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为；
小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为；
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为，
设小球掉入k号格子的概率最大，显然，
则，即，
即
解得，
又k为整数，，
则小球落入7号格子的概率最大.
故选：C
多选题
9．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布，．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1题答对的概率为，第2题答对的概率为，则（ ）
A．
B．500名考生中面试成绩不低于20分的约有125人
C．该考生笔试成绩未达6分的概率为
D．该考生笔试成绩的期望为
【答案】ABD
【解析】对于A，由可得，则，故A正确；
对于B，因，则，
故500名考生中面试成绩不低于20分的约有人，故B正确；
对于C，该考生笔试成绩未达6分包括“两题都没答对”和“第一题答对且第二题答错”两种互斥事件，
故其概率为，故C错误；
对于D，设该考生笔试成绩为随机变量，则的可能值为0，4，6，10，
依题意，，，
，，
则笔试成绩的期望为.
故选：ABD.
10．（2025·山西朔州·模拟预测）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类.每道单选题选对得分，选错得分；每道多选题全部选对得分，部分选对的或有选错的得分.电脑题库中每一组题都有道，其中单选题有道，多选题有道.小明抽中一组题后，电脑会从道题中随机抽取道让小明作答.已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．小明作答的试题中有且仅有道多选题的概率为
B．在小明作答的试题中至少有道单选题的条件下，试题恰有道单选题、道多选题的概率为
C．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其多选题总得分的期望为
D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，可知从道单选题、道多选题中随机抽取出道单选题、道多选题，
其概率为，A对；
对于B选项，由题意可知，所求概率为，B对；
对于C选项，设多选题全部选对的题数为，则，故，
故多选题总得分的期望为，C错；
对于D选项，设单选题选对的题数为，因为单选题的题数为，所以，
所以，故单选题总得分的期望为，D对.
故选：ABD.
11．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ）
A．若，，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，n为奇数时，随着的增大而增大
D．当时，n为偶数时，随着的增大而增大
【答案】AC
【解析】对于A，在10次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，
因为取最大值，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．故A正确，
对于B，，
当时，取得最大值，故B错误；
对于C、D，，
，
，
，
当，n为奇数时，为正项且单调递增的数列，
则随着的增大而增大，故C正确，
当，n为偶数时，，随着的增大而增大，
则随着的增大而减小，故D错误.
故选：AC
填空题
12．（24-25高二下·广东惠州·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则 ； .
【答案】
【解析】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，
因为第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，故，
所以，
，又，
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
故答案为：0，.
13．（2025·江西）某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 .
【答案】
【解析】依题意，单次抽奖中奖的概率，
则连续次抽奖中恰好中奖一次的概率，
令，则，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
因此当取最大值时，，而，解得，
所以当取到最大值时的值为.
故答案为：
14．（2025·云南曲靖 ）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
【答案】
【解析】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即，
则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，
即，
由二项分布的概率公式可得，
设最大，则，
由可得，
即，
化简可得，解得，
由可得，
即，
化简可得，解得，
即，且，则时，最大，
则质点最终的位置为.
故答案为：
解答题
15．（24-25高二下·山东·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为．
(1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率．
(2)求在一轮中乙摸出红球的概率．
(3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不同意乙的观点,理由见解析
【解析】（1）设C=“乙摸出的是红球”，D=“甲从A袋中摸球”，E=“乙从B袋中摸球”.
由全概率公式知，乙从B袋中摸球的概率为
，
所以在一轮中，乙从B袋中摸出红球的概率为
.
（2）设A袋中白球的个数为，
由已知可得，可得，
因为且，因此，
所以A袋中白球的个数为6，红球的个数为3.
所以，从A袋中摸出红球的概率是.
在一轮中，乙摸出红球的概率为
.
（3）3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为
，
设，则，
令，解得.
则当时，，单调递增，当时，，单调递减.
所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点.
16．（24-25高二下·福建三明·期中）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
(1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①求；
②当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”，
根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择，
因此样本空间包含个样本点，
若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择，
即事件中包含个样本点，
所以，
所以第4天中午选择米饭套餐的概率
（2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐”
根据题意，，，，
由全概率公式得：
，
∴，
因为
∴
因此，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以
②由①可得，
当为大于1的奇数时，
当为正偶数时，
因此，当时，，所以．
17．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋 手可能得分或30分比赛终止．
（i）当棋手得分为分，则局均负，即；
（ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．
因为、互斥，所以
．
所以两局后比赛终止的概率为．
（2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
．
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
（3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
（i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
（ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，．
所以．
因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为.
18．（24-25高二下·北京延庆·期中）某新能源汽车生产企业对一款新上市的汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)若该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选2人，对评分在分的车主送价值500元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1000元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1500元的售后服务项目.若为这2人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)若公司打算用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取个人，对这个人中评分不低于分的车主，每人赠送价值1000元的售后服务项目.下面有三种方案：
方案一：，；
方案二：，；
方案三：，.
直接写出使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案（结论不要求证明）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2300元
(3)方案三.
【解析】（1）依题意，，
所以
（2）由题意可知，的可能取值为
任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为.
任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为.
任选1人，估计认为该款车性能的评分在分的概率为.
；
；
；
.
所以的分布列为
1000 1500 2000 2500 3000
所以元.
（3）设评分为，则
而中奖人数服从二项分布
方案一：，，中奖人数期望，
方案二：，，中奖人数期望，
方案三：，，中奖人数期望，
所以使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案三.
19．（24-25高二下·山西·期中）近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下：
①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；
②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光；
③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作.
(1)当时，求成功制作出至少1块芯片的概率；
(2)用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望；
(3)若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）解：由题意得，用1块晶片制作，成功的概率为，失败的概率为，
当时，要成功制作出至少1块芯片，概率为.
（2）解：由题意，随机变量的可能取值为，
当时，可得其概率为，
当时，可得其概率为，
所以的分布列为
1 2 3
可得期望为
令，
则，
两式相减，可得，
所以.
（3）解：法一：记事件“曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片”，记事件“曝光的总次数为次”，可得，
对于前块晶片，每块晶片都至少曝光1次，第块晶片曝光2次，
另外，对于前块晶片，有几块晶片进行了第二次曝光，则总曝光次数就多几次，
并且第1到块晶片，无论曝光几次，每次曝光都是失败的，
而第块晶片的2次曝光都成功.若前块晶片中，
则有块晶片进行了第二次曝光，所以，
所以的可能取值为，
则，
.
所以的分布列为
所以
其中，
所以
法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况，
由题意，这块晶片无论曝光几次，都是失败的，记这块晶片的曝光次数为随机变量，
记事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为次”.
由第（1）小问可知.
所以，
故这块晶片曝光次数的数学期望为，
所以前块晶片曝光的总次数的数学期望为，
所以.
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第3讲 统计概率与其他知识的综合
考点一 决策
【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案
【变式】
1．（24-25高二下·福建福州·期中）甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
2．（24-25高二下·广东深圳·期中）某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示：
参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率
女生
男生
规定：每参加项比赛，社团的积分增加分．
(1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该社团最终的积分为分的概率；
(3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．
方案一：每个社团奖励“参与奖”元；
方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金．
为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．
3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率
小 100次 80% 100次 40%
小 190次 70% 10次 30%
现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）
(1)小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？
(2)小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大．
考点二 统计概率与数列综合
【例2-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
(1)若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列；
(2)若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：
数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点.
初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在节点的概率为，
①求
②求
【例2-2】．（24-25高二下·湖南郴州·期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
【例2-3】.（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式．
【变式】
1.（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为.
(1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列；
(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
(3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率.
2．（2025·辽宁）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求和；
(2)求证：是等比数列；
(3)求的数学期望（用表示）.
3．（2025·湖北）甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率；
(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：.
考点三 最值
【例3-1】（24-25 内蒙古呼和浩特）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求.
【例3-2】（2025·北京）某科技公司研发了一种新产品，每件产品上市前需要分别进行两项测试，第一项测试通过的概率为0.7，若第一项通过，则第二项通过的概率为0.9，若第一项未通过，则第二项通过的概率为0.4.
(1)已知某件产品在两项测试中仅通过一项，求其第一项测试通过的概率；
(2)规定至少通过一项测试的产品为合格品，现对10件该产品独立地进行测试，记其中的合格品件数为，则取何值时最大？
【例3-3】．（2025·福建南平）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立.
(1)求比赛局数为的概率；
(2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率；
(3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值.
【变式】
1．（2025·山东）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为．
(1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率；
(2)求在一轮中乙摸出红球的概率；
(3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由．
2．（2025·四川广安）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值.
3．（24-25高二下·重庆·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值．
考点四 统计概率与空间几何
【例4-1】（24-25四川）如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
【变式】
1.（2025·辽宁）已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
2．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为．
(1)求的值；
(2)①求证：数列是等比数列；
②求．
3.（2025·四川资阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
(1)当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
考点五 统计概率与函数导数的综合
【例5】（24-25高二下·浙江宁波·期中）一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
(1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
(2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
【变式】
1．（2025湖北）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
2.（2025北京）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
考点六 统计概率中的证明
【例6】（2026湖南）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午） （篮球，篮球） （篮球，乒乓球） （乒乓球，篮球） （乒乓球，乒乓球）
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
(2)记为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求的分布列和数学期望；
(3)假设A表示事件“室外温度低于10度”，表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.
【变式】
1．（2025·湖南）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下信息：
①抽取的学生中，男生占的比例为60%；
②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ 独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生
女生
合计
(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算和的值.
（ii）根据第（i）问中的结果，分析与的大小关系.
参考公式及数据，.
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
2．（2025·黑龙江哈尔滨）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
球队输球 球队赢球 总计
甲参加 2 30 32
甲未参加 8 10 18
总计 10 40 50
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”．与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：；
②利用球员甲数据统计，给出，的估计值，并求出R的估计值．
附：．
参考数据：
a 0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
单选题
1．（24-25高二下·北京延庆·期中）口袋中装有除颜色外完全相同的三个红球、二个白球、一个黑球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：当第次摸到红球；当第次摸到白球；当第次摸到黑球.如果为数列的前项和，那么的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·河北·期中）小朋友们在如图所示的正八边形的游乐场玩丢手绢.场地被等分成8段（标记为到），每个点有一个小朋友，小明从点处开始选择顺时针或逆时针方向在8个小朋友身后放手绢，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每个点都会随机选择顺时针或逆时针方向继续跑动.若小明一直不停下来，21秒恰好在点的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个.
A．180 B．300 C．360 D．480
4．（24-25高二下·四川遂宁·期中）程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被3整除的个数为（ ）
A．5 B．7 C．15 D．26
5．（24-25高二下·天津滨海新·期中）对一个四棱维各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有（ ）种．
A．120 B．360 C．420 D．240
6．（24-25上海奉贤·期中）足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（ ）
A．①成立，②不成立 B．①不成立，②成立
C．①②都成立 D．①②都不成立
7．（24-25高二下·重庆·期中）为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大.
A．5 B．6 C．7 D．8
多选题
9．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布，．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1题答对的概率为，第2题答对的概率为，则（ ）
A．
B．500名考生中面试成绩不低于20分的约有125人
C．该考生笔试成绩未达6分的概率为
D．该考生笔试成绩的期望为
10．（2025·山西朔州·模拟预测）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类.每道单选题选对得分，选错得分；每道多选题全部选对得分，部分选对的或有选错的得分.电脑题库中每一组题都有道，其中单选题有道，多选题有道.小明抽中一组题后，电脑会从道题中随机抽取道让小明作答.已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．小明作答的试题中有且仅有道多选题的概率为
B．在小明作答的试题中至少有道单选题的条件下，试题恰有道单选题、道多选题的概率为
C．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其多选题总得分的期望为
D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为
11．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ）
A．若，，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，n为奇数时，随着的增大而增大
D．当时，n为偶数时，随着的增大而增大
填空题
12．（24-25高二下·广东惠州·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则 ； .
13．（2025·江西）某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 .
14．（2025·云南曲靖 ）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
解答题
15．（24-25高二下·山东·期中）已知两个袋子中均装有若干个大小、质地完全相同的红球和白球.袋中红球和白球共9个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个红球的概率为；从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选袋的概率为．
(1)若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率．
(2)求在一轮中乙摸出红球的概率．
(3)若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由．
16．（24-25高二下·福建三明·期中）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
(1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①求；
②当时，恒成立，求的取值范围．
17．（24-25高二下·福建三明·期中）某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立.
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值.
18．（24-25高二下·北京延庆·期中）某新能源汽车生产企业对一款新上市的汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)若该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选2人，对评分在分的车主送价值500元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1000元的售后服务项目，对评分在分的车主送价值1500元的售后服务项目.若为这2人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)若公司打算用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取个人，对这个人中评分不低于分的车主，每人赠送价值1000元的售后服务项目.下面有三种方案：
方案一：，；
方案二：，；
方案三：，.
直接写出使得汽车生产企业赠送的售后服务项目价值期望最小的方案（结论不要求证明）.
19．（24-25高二下·山西·期中）近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对块晶片进行曝光，操作要求如下：
①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；
②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光；
③若对这块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作.
(1)当时，求成功制作出至少1块芯片的概率；
(2)用这块晶片制作1块芯片，记随机变量为曝光的晶片个数，求的分布列和数学期望；
(3)若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量为这块晶片曝光的总次数，求的数学期望.
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