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第八章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．今年以来，某种食品不断上涨，在9月份的售价为元，11月份的售价为10元．这种食品平均每月上涨的百分率约等于（ ）．
A． B． C． D．
2．若一元二次方程的一个根为，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（ ）
A． B． C．或 D．
4．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　）
①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．利用配方法解方程时，应先将其变形为（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
8．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．，
9．下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．2或5 D．9或12
11．下面关于x的方程中：①ax2+x+2＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④（a2+a+1）x2﹣a＝0；⑤＝x﹣1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若为方程的两根，且，则 ( )
A．－5 B．－4 C．1 D．3
二、填空题
13．已知，是方程x2﹣2x＋k＝0的两个实数根，且2﹣＋＝5，则k的值为 ．
14．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
15．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形
16．关于y的方程的解是 ．
17．卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有 支球队．
三、解答题
18．解方程：＋－2－1＝0
19．用适当的方法解一元二次方程．
(1)x（x－3）＝－（x－3）
(2)x2＋4x－3＝0
20．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？
21．设a、b、c是的三条边，关于x的方程有两个不相等实数根，方程
(1)试判断的形状；
(2)若a、b为方程的两个根，求m的值
22．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；
(2)．
23．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：
（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？
《第八章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A B C A B C B
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题．设这种食品平均每月上涨的百分率为x，根据11月份的售价=9月份的售价×（1+增长率），列出方程求解即可，把相关数值代入后化简即可．
【详解】解：设这种食品平均每月上涨的百分率为x，
根据题意得：，
解得： ， (舍去)
故选：．
2．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，即，
故选：B．
3．C
【分析】过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：如图所示，过E作于点M，
由题意知，当运动时间为秒时，，，，
，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，，
的长为时点E的运动时间是或，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解．
4．A
【详解】试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小题正确；
②ax2+bx+c=0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误；
③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小题错误；
④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小题错误．
故选A．
考点：一元二次方程的定义．
5．B
【分析】先把方程两边都除以2，再配方即可.
【详解】原方程可化为：
配方得：
即
故选：B
【点睛】本题考查了配方法，一般配方的步骤是：先化成一般式，把二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数.
6．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根，得到，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故选：A．
8．B
【分析】直接用开平方法解方程即可．
【详解】解：，
开平方得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确进行计算．
9．C
【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况．
【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误；
C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确；
D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
10．B
【分析】因式分解法求得方程的根，根据等腰三角形的性质，确定三边，在三角形存在的前提下，计算周长．
【详解】∵，
∴，
∴等腰三角形的三边长为2，2，5，不满足三边关系定理，舍去；
或2，5，5，满足三边关系定理，
∴等腰三角形的周长为2+5+5=12，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系定理是解题的关键．
11．B
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；
②由原方程知2x2-56x+241=0，该方程符合一元二次方程的定义．故②是一元二次方程；
③x+3＝属于分式方程，故错误；
④（a2+a+1）x2-a=0整理得[（a+）2+]x2-a=0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2-a=0是一元二次方程；
⑤＝x﹣1属于无理方程，故错误；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
12．A
【分析】把方程整理后,利用因式分解法解方程求得两个根,再由a>b即可求得a,b值,进而求得的值
【详解】，
∴，
∴，
∴.
∵为方程的两根，且，
∴，
∴.
故选A.
【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，掌握运算法则是解题关键
13．－3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】解：由α，β是方程x2-2x+k＝0的两个实数根，可得：
，α+β=2，
∵2﹣＋＝5，
∴，
∴-k+2=5，
∴k=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14．且
【分析】依据一元二次方程的定义即形如求解即可．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
15．等腰
【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状．
【详解】解：∵
∴ ，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，，
∴，即；，即，
∴，
则△ABC为等腰三角形．
故答案是：等腰．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．，，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键．
根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
或，
解得，．
故答案为：，．
17．4
【分析】设该小组有x支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该小组有x支球队，
由题意知：，
整理，得，
解得（舍去），，
即该小组有4支球队．
故答案为：4．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程．
18．＝，＝．
【分析】利用公式变形，＋=，变形后，采用换元法求解即可．
【详解】∵＋－2－1＝0，
∴－2－1＝0，
∴设x＋＝y，
则原方程变形为－2y－3＝0.
∴＝3，＝－1.
当y＝3时，x＋＝3，
整理，得－3x+1=0，
解得＝，＝．
当y＝－1时，x＋＝－1，
整理，得+x+1=0，
△=，
∴方程无实数解．
经检验，＝，＝都是原方程的根，
∴原方程的根为＝，＝．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，完全平方公式的变式，熟练进行公式变形，灵活选择换元法求解是解题的关键．
19．(1)x1=-1，x2=3
(2)x1=-2+，x2=-2-
【分析】（1）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
【详解】（1）解：x(x-3)=-(x-3)
x(x-3)+(x-3)=0，
(x+1)(x-3)=0，
x1=-1，x2=3；
（2）解：x2+4x-3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
(x+2)2=7，
x+2=，
x1=-2+，x2=-2-．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．该兴趣小组的人数为6人．
【分析】设该小组有x人，每两个同学都相互赠送一件礼品，即一个人送出（x-1）件，依次列方程解答即可.
【详解】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物，
依题意，得：x（x﹣1）＝30，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：该兴趣小组的人数为6人．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题关键.
21．(1)等边三角形
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式与方程的解得定义，是一个比较简单的问题．
（1）因为方程有两个相等的实数根即，由△可以得到一个关于，的方程，再结合方程的根为，代入即可得到一关于，的方程，联立即可得到关于，的方程组，可求出，的关系式；
（2）根据（1）求出的，的值，可以关于的方程，解方程即可求出．
【详解】（1）有两个相等的实数根，
，
整理得①，
又的根为，
②，
把②代入①得，
，
为等边三角形；
（2），是方程的两个根，
方程有两个相等的实数根
，
即，
，．
当时，原方程的解为（不符合题意，舍去），
．
22．(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4
(2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1
【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．
【详解】（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；
（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
23．（1）；（2）120；（3）该商店可能购进并销售学习机80台或30台
【分析】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价均减少5元，可列式；
（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，在计算x=60时的进价和售价，可得利润；
（3）分当x＞40,和当x≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可；
【详解】（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．
（2）设题图中直线的解析式为．
把和代入得
解得
故直线解析式为．
当时，进价为（元），
售价为（元），
则每台学习机可以获利（元）．
（3）当时，每台学习机的利润是，则．
解得（舍去）．
当时，每台学习机的利润是，则，
解得（舍去）．
答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和函数图形的知识点，准确理解是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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