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第九章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，、三等分，D、E在边上，则其中的相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．6对
2．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A． B． C．或 D．或
3．和三角形三个顶点相连后，一定能把三角形分成面积相等的三部分的是该三角形的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
4．小敏的圆规摆放如图所示，则几个和小明的圆规形状一样的圆规中，与小明摆放的位似的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列图形是相似图形的是（ ）
A．所有矩形 B．所有菱形
C．所有直角三角形 D．所有正六边形
6．如图是与位似的三角形的几种画法，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．下列叙述不正确的是（ ）
A．一个三角形必有三条中位线
B．一个三角形必有三条中线
C．三角形的一条中线分成的两个三角形的面积相等
D．三角形的一条中位线分成的两部分面积相等
9．下列两个图形不是位似图形的是( )
A． B． C． D．
10．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　）

A．2 B．3 C． D．
11．已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为40cm2，那么它们的面积之和为（　　）
A．108cm2 B．104cm2 C．100cm2 D．80cm2
12．如图，P为边AB上一点且AP：：、F分别是的中点，、的面积分别为S和，则S和的关系式（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图标记了△ABC和△DEF的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使△ABC∽△DEF，这个条件可以是 ．（只填一个即可）

14．已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是 .
15．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，连接交于点F已知，则 ．（用含m、n、k的代数式表示）
16．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，则AD的长为 ．
三、解答题
18．如图所示,已知△ABC与△ADE的边BC,AD相交于O,且∠1=∠2=∠3,求证:
(1)△ABO∽△CDO;
(2)△ABC∽△ADE.
19．如图，在7×7的正方形网格中，点A，B均在格点上，请你借助格点，仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹）
　　　　　图1　　　　　　　　　图2
(1)如图1，作出线段AB的中点P．
(2)如图2，作出线段AB的三等分点Q．
20．如图，已知，．
（1）若，求的长；
（2）求证：．
21．如图，F为四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点E，已知．
(1)求证：；
(2)若四边形为平行四边形，，，求的长．
22．已知，求的值．
23．如图，与位似，点O为位似中心．
(1)若与的相似比为，，求的长；
(2)若，，求的度数．
24．如果，求的值.
《第九章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D D D A D A A
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】根据三角形内角和先计算出∠BAC=108°，再计算出∠BAD=∠DAE=∠CAE=36°，则∠BAE=∠CAD=72°，∠ADE=∠AED=72°，根据两角相等的两个三角形相似可判断图中有6对相似三角形．
【详解】解：如图，
∵∠B=∠C=36°，
∴∠BAC=180°-36°-36°=108°，
∵AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE=∠CAE=36°，
∴∠BAE=∠CAD=72°，∠ADE=∠AED=72°，
∴△ABC∽△DBA，△ABC∽△EAC，△DBA∽△EAC，△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA，有6对相似三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，以及相似三角形的判定，熟练掌握两角相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
2．C
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D． M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM=DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= ．
∴DM为或时，△ABE与以D． M、N为顶点的三角形相似．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意分情况讨论思想与数形结合思想在本题中的应用．
3．C
【分析】通过重心的性质和相似三角形得到S△OBC= S△ABC，同理可得S△OCA= S△ABC，S△OAB= S△ABC，问题得解.
【详解】解：如图，点O是△ABC的重心，
作△OBC的高OG和△ABC的高AH，
∴OG∥AH，
∴△OGD∽△AHD，
∴，
∴S△OBC= S△ABC，
同理可得：S△OCA= S△ABC，S△OAB= S△ABC
∴S△OBC= S△OCA = S△OAB，
∴一定能把三角形分成面积相等的三部分的是该三角形的重心，
故选C.
【点睛】本题考查三角形重心的定义和相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键.
4．D
【详解】∵位似是相似的特殊形式，
∴位似图形的对应边平行且对应顶点的连线交于一点．
据此判断，只有D选项符合题意，
故选D．
5．D
【分析】根据相似图形的定义，对应角相等，对应边成比例的图形，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】解：A、所有矩形四个角是直角，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项错误；
B、所有菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以，不一定相似，故本选项错误．
C、直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故本选项错误；
D、所有正六边形，六个角相等，对应边一定成比例，故相似，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形的定义．
6．D
【分析】根据位似图形的性质判断即可．
【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是的位似图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
7．A
【分析】根据平行线分线段成比例，得到；
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准对应线段．
8．D
【分析】A. 根据三角形中位线的定义可对A进行判断；
B. 根据三角形中线的定义可对B进行判断；
C. 因为三角形的一条中线分成的两个三角形等底等高，根据三角形面积的计算方法，可对C进行判断；
D. 根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质可对D进行判断.
【详解】A. 根据三角形中位线的定义可得：一个三角形必有三条中位线，故A正确；
B. 根据三角形中线的定义可得：一个三角形必有三条中线，故B正确；
C. 因为三角形的一条中线分成的两个三角形等底等高，根据三角形面积的计算方法，这两个三角形面积相等，故C正确；
D. 如图，
DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，故D不正确.
故选D.
【点睛】本题考查三角形的中线，三角形中位线定理.
9．A
【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．
【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；
据此可得 B. C. D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而A的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.
故选A.
【点睛】本题考查位似图形的识别，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质.
10．A
【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得．
【详解】解：如图，

∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′EAB，
∴△DA′E∽△DAB，
则，
即，
解得A′D=2或A′D=-（舍），
故选A．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
11．B
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，根据它们的面积之差为40cm2，列出方程，求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为40cm2，
∴
解得：x=8，
∴它们的面积之和是：
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．D
【详解】试题解析：∵E、F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴，即S△PBC=4S1，
∵AP：BP=1：2，
∴S△PBC：S△PAC=1：2，
∴S△PBC=2S1，
∴S=4S1+2S1=6S1，
即S1=S．
故选D．
13．DF＝6或∠C＝60°或∠B＝35°
【分析】利用三角形相似的条件即可进行解答.
【详解】(1)当DF＝6时，利用SAS可证明.
(2)当∠C＝60°或∠B＝35°时，利用AAA可解答.
【点睛】本题考查三角形相似，掌握证明条件是解题关键.
14．或或
【分析】根据题意要求的数和其余三个数可以构成比例式，考虑要根据比例式的定义进行求解；设这个数为x，分别考虑x＜1，1＜x＜2和x＞2这三种情况列出比例式；
【详解】可设所求数字为x（x≠0），只需从1、、2、x任选两个做比值，使其等于另外两个数的比值，求出x的值就可以解答此题．
令，可求出x=2；
令，得x=；
令得x=，
故答案为或或.
【点睛】本题重点考查比例的性质，解答本题的关键在于根据比例式的定义写出关系式.
15．
【分析】作交于点M，首先证明OM是△ABC的中位线，求出OM，FM，再根据△OMF∽△EBF，可得，由此求出BE即可．
【详解】解：如图，过点O作交于点M．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得．
故答案为．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．5
【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴，
即，
解得AD=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、垂直平分线的定义和勾股定理，掌握相似三角形的判定及性质、垂直平分线的定义和勾股定理是解决此题的关键．
18．(1)证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似，利用∠1=∠3，∠AOB=∠COD可判断△ABO∽△CDO；
（2）根据相似三角形的性质得∠D=∠B，再由∠1=∠2可证∠BAC=∠DAE，则可判断△ABC∽△ADE．
【详解】(1) ∵∠1=∠3,∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO.
(2) ∵△ABO∽△CDO,
∴∠B=∠D.
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等是解答本题的关键.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点C，D，连接CD交AB于点P，点P即为所求；
（2）取格点E，F，M，N，连接EF，MN交AB于点Q，点Q′即可．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
∵AD∥CB，AD=5，CB=5，
∴，
∴点P是线段AB的中点；
（2）解：如图，点Q或点Q′即为所求．
∵AE∥FB，AE=2，FB=4，
∴，
∴，
∴点Q是线段AB的三等分点；
同理，点Q′也是线段AB的三等分点．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（1）CD=6；（2）见解析
【分析】（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形，于是得到结论；
（2）由EC∥AB，可得，由AD∥BC，可得，等量代换得出，即OA2=OE OF．
【详解】证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD∥BC，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=6；
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴
∴，
即OA2=OE OF．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质；
（1）由两角对应相等的三角形相似得，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得，由相似三角形的性质得，即可求解；
平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
由（1）知∶，
，
，
，
．
22．．
【分析】可以设，则，，，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简，即可求出式子的值．
【详解】设，
则，，，代入可得，
．
【点睛】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键．
23．(1)4
(2)
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
（1）由与的相似比为，可得，再求的长即可；
（2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可．
【详解】（1）∵与的相似比为，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
∵与位似，点O为位似中心，
∴，
∴，
∴．
24．.
【分析】将原分式化简即可解得结果.
【详解】∵，
∴.
∴.
∴.
【点睛】本题重点考查的是比例的性质，解答本题的关键在于掌握运算法则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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