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第六章特殊平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正方形OGHK绕边长为10 cm的正方形ABCD的对角线的交点O旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为( )
A．100 cm2 B．75 cm2 C．50 cm2 D．25 cm2
2．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．3
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD=AB B．DC=AD C．∠ABC=90° D．OD=OC
5．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
6．如图，在菱形CDEF中，CD=6，∠DCF=120°，动点Q从点D出发以1个单位长度秒的速度沿DE方向向点E运动，同时动点P从点F出发沿FD方向向点D运动，它们同时到达目的地，则运动到多少秒时，QP=QO （ ）
A． B．3 C． 或 3 D．3或
7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
9．如图，正方形OABC中，点，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，菱形中ABCD，∠BCD=50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
11．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．四边相等 D．四角相等
12．如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ）
①； ②； ③； ④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题
13．如图，正方形的面积是4，E是的中点，P是对角线上的动点，的最小值是 ．

14．如图，在矩形中，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是 ，的最小值是 ．
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为 ．
16．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形．
17．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．
（1）当是的中点时，线段的长度是 ；
（2）线段长度的最小值是 ．
三、解答题
18．如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？
19．如图，，，，分别是正方形各边的中点．四边形是什么四边形？为什么？
20．一个长方形，长19cm，宽18cm，如果把这个长方形分割成若干个边长为整数的小正方形，那么这些小正方形最少有多少个？如何分割？
21．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AFCE；
（2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
22．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法如图1：
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开如图1．
第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段如图2．
（1）求的度数；
（2）通过以上折纸操作，还得到了一些不同角度的角，请写出除以外的两个角及它们的度数；
（3）请你继续折出15°大小的角，说出折纸步骤及得到的15°角．
23．如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
24．矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当平分时，求证：．
《第六章特殊平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B D C C D C D
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据正方形的性质证明△AOE≌△BOF，得到阴影部分的面积=S正方形ABCD，即可得出答案.
【详解】解：∵∠AOB=∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE=S△BOF，
∴阴影部分的面积=S正方形ABCD=×10×10=25 cm2，
故选D.
【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形全等的判定和性质，证明得出阴影部分的面积=S正方形ABCD是解题关键.
2．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论．
【详解】连接，如图，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴的最小值为，
故选：C．
3．C
【详解】试题分析：先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．
解：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．
故选C．
考点：正方形的性质；等腰三角形的判定．
4．B
【分析】根据有一组邻边相等的矩形是正方形添加条件．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴要使其为正方形，只需要使矩形ABCD为菱形即可，
∴可添加DC=AD．
故选：B．
【点睛】本题是考查了正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要根据①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角来判断．
5．D
【分析】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：A. 由且可判定是矩形，故此选项不符合题意；
B. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意；
C. 且可判定是菱形，故此选项不符合题意；
D. 且可判定是正方形，故此选项不符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】分点P与点O重合和不重合两种情况求解．
【详解】在菱形CDEF中，，，
在中，，
点P的运动速度为：．
①当点P与点O重合时，，此时，；
②如图：当时，过点Q作于H，
，
∵在中，，，
∴
，
，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据正方形的性质求得AO=BO=2，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，
∴AC=BD=4，AC⊥BD，
∴AO=BO=2，
∵点E是OB的中点，
∴EO=，
在Rt△EOA中，EO=，AO=2，
∴AE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，解题的关键是熟知正方形的对角线相等且垂直平分．
8．D
【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
9．C
【分析】如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，证明设再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
【详解】解：如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，
正方形OABC中，点，
设 而点P为CD的中点，
设OB的解析式为 而
解得：
OB的解析式为：
解得：
故选C
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，求解是解本题的关键．
10．D
【分析】首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB即可解决问题.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD=25°，
∵EF垂直平分线段BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．C
【分析】根据矩形、菱形的性质分别判断即可解决问题．
【详解】A. 矩形、菱形的对角线都是相等的，故不符合.
B. 矩形、菱形的对角线都是互相平分的，故不符合.
C. 菱形的四边相等，矩形的四边不一定相等，故符合题意.
D. 矩形的四角相等，菱形的四角不一定相等，菱形不具有这个性质，故不符合.
故选C.
【点睛】此题考查菱形的性质、矩形的性质，解题关键在于掌握矩形的性质.
12．A
【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可．
【详解】解：①根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，①满足题意；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，②不满足题意；
③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，③满足题意；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，④不满足题意；
故满足题意的有①③；
故选：A．
13．
【分析】由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值．
【详解】解：连接，，．
∵四边形是正方形，
∴点B与点D关于对称，，，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，的值最小，如图所示，
∴的长即为的最小值，
∵正方形的面积是4，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在Rt中，．
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称最短路线问题，还考查了正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质并确定点P的位置是解题的关键．
14．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再根据三角形的三边关系进而得出的最小值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∵是边的中点
∴
∴
由折叠得
∵
∴
∴
∴的最小值是
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的三边关系等相关知识点，理解三角形三边关系是解题的关键．
15．cm或2cm
【分析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=1，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）.
【详解】解：分两种情况，
①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，
∴DE=AD=2，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG=90°-60°=30°，
∴CG=CD=1，
∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=1，
由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，
在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM ，DM＝DM，
∴△ADM≌△EDM（SSS），
∴∠A=∠DEM=120°，
∴∠MEN+∠DEM=180°，
∴D、E、N三点共线，
设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，
由勾股定理得：，
解得：x=，即BN=cm；
②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：
CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2cm（符合题干要求）；
综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为cm或2cm；
故答案为cm或2cm．
【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
16．DF∥AB
【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．
【详解】解：DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【点睛】本题主要考查了添加条件，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，角平分线定义，菱形的判定，添加DF∥AB．
17．
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短；
（1）连接，勾股定理求得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据，得出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，即可求解；
（2）同（1）得出四边形为矩形，当时，取最小值，即最小，根据等面积法即可求解．
【详解】（1）连接，
∵矩形中，，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形
∴，
故答案为：．
（2）如图，连接．
，，
．
在矩形中，，
四边形为矩形，
，
的最小值即的最小值．
当时，取最小值．
在中，．
，
，即线段长度的最小值是．
故答案为：．
18．能，见解析．
【分析】先根据平行四边形的判定方法，用测量边长的方法判定书架是否为平行四边形，再根据矩形的判定定理，测量书架的对角线判定平行四边形是否为矩形，最后根据矩形的性质即可得．
【详解】解：能．理由如下：
先用绳子量出书架的两组对边是否相等，若两组对边相等，则说明此书架为平行四边形；再用绳子量出书架的对角线是否相等，若对角线相等，则说明书架是矩形；
由于矩形的四个角都是直角，说明书架的内角为直角，因此可以说明书架的侧边与上、下底都垂直，反之书架的侧边与上、下底就不垂直．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识点．
19．四边形是正方形，理由见详解
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理解答．
【详解】解：四边形是正方形，理由如下：
连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴EF＝FG，EF⊥FG，
∴ EFGH是正方形．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的性质定理和判定定理是解题的关键．
20．7个，边长从大到小依次为11、8、7、5、3.
【分析】先分成1个11×11的正方形，再分成1个8×8的正方形，再分成2个7×7的正方形，再分成2个5×5的正方形，剩下的部分是1个3×3的正方形.
【详解】解：最少分割7个正方形，正方形边长从大到小依次为11、8、7、5、3，分割方法如图：
【点睛】本题考查了正方形的分割，一开始分边的时候，两边尽量接近，由此逐步找出分割的方法．
21．（1）见解析；（2）30，理由见解析．
【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AFCE；
（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AFCE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，ABCD，
由（1）得：AFCE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．（1）30°；（2）还得到了∠BMN＝60°，∠AMN＝120°；（3）见详解
【分析】（1）连接AN，易证△ABN为等边三角形，由等边三角形的性质以及矩形的性质即可求出∠NBC的度数；
（2）利用互余得到∠BMN＝60°，根据折叠性质易得∠AMN＝120°；
（3）把30度的角对折即可折出15°大小的角．
【详解】（1）解：由折叠性质可得，AB＝NB，EF垂直平分AB，如图1，
连接AN，则NA＝NB，
∴AB＝NB＝NA，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠NBC＝∠ABC ∠ABN＝30°；
（2）通过以上折纸操作，还得到了∠BMN＝60°，∠AMN＝120°等；
（3）如图所示：
再一次折叠纸片，使点A落在BM上，并使折痕经过点B，得到折痕BH，则∠ABH＝15°．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和等边三角形的判定及其性质．
23．（1）见解析；（2）全等，理由见解析
【分析】（1）可证B1是EE1的中点，则EB1=EE1，根据M、N分别是AE和AE1的中点，则MN∥EB1，MN=EE1，即可证明；
（2）由S△EAF=S△FEC，可得AF=EC．然后通过SAS可证明结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1=EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN=EE1，
∴EB1=MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CEB1，
证明：连接FC，
∵EB1=B1E1=E1F，
∴=S△EAF，
同理，=SFEC，
∵=S△EB1C，
∴S△EAF=S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF=EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与性质等知识，证明S△EAF=S△FEC是解题的关键．
24．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
（1）证明得出，即可得出结论；
（2）证出是等腰三角形，得出，得出．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
．
∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
∴
是的中点，
，
∴．
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