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第十一章因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
5．已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
6．下列各多项式中，不能用公式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 a，b，c 是正整数，，且，则 等于（ ）
A． B．或 C．1 D．1 或 11
8．将提出公因式后，另一个因式是（　　）
A． B． C． D．
9．将因式分解，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，，则m与n的大小关系是（ ）
A． B．m>n C． D．m11．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各式中能用公式法分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式： ．
14．分解因式： ．
15．矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为
16．因式分解： ．
17．多项式的公因式是 ．
三、解答题
18．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．因式分解
(1)2a2b-8ab2+8b3
(2)4a2（m-n）+9（n-m）
(3)81x4-16
(4)（m2+5）2-12（m2+5）+36
20．因式分解：
(1)；
(2)．
21．先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式的最小值．
原式．
，
∴当时，有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)当a，b，c分别为的三边且c为偶数，并且满足时，判断的形状并求出周长．
22．按要求完成下列各题：
(1)分解因式：；
(2)计算：．
23．因式分解．
(1)；
(2)．
24．先阅读下列材料，再解答下列问题：
因式分解：．
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2
再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到得是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，
请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2（x－y）＋（x－y）2＝
(2)因式分解：（x＋y）（x＋y＋18）＋81
《第十一章因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A C C D D A A
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可．
【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是，
多项式的公因式是，
故选：D．
2．A
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．，，故推断正确；
B．，，故推断不正确；
C．，，故推断不正确；
D．，，故推断不正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．C
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．
【详解】解：∵，
∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵，
∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵，即不符合完全平方公式，
∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
∵，
∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】适当变形后提公因式，可得答案．
【详解】解：原式，
另一个因式是，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键．
5．C
【分析】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①不能用完全平方公式进行因式分解；
②，能用完全平方公式进行因式分解；
③不能用完全平方公式进行因式分解；
④，用完全平方公式进行因式分解
故选C
【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
6．C
【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐一分解，即可得到答案．
【详解】解：A、，能用公式分解，不符合题意，选项错误；
B、，能用公式分解，不符合题意，选项错误；
C、，不能用公式分解，符合题意，选项正确；
D、，能用公式分解，不符合题意，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式分解因式是解题关键．
7．D
【分析】把进行因式分解得到，再根据题意得到都是正整数，则或．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a，b，c 是正整数，，
∴都是正整数，
∴或，
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将进行因式分解得到是解题的关键．
8．D
【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法．首先提取公因式，可得，从而可得答案．
【详解】解：，
将提出公因式后，另一个因式是，
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提公因式时系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
【详解】解：
，
∴提取的公因式为，
故选A．
．
10．A
【分析】根据作差法，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
故选A
【点睛】本题考查了因式分解的应用，作差凑完全平方公式是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；用字母表示为，本题利用平方差公式判断即可．
【详解】A、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
B、不可以用平方差公式分解因式，故符合题意；
C、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
D、，可以用平方差公式分解因式，故不符合题意．
故选：B．
12．C
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；
D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
13．
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
14．
【分析】本题考查了因式分解，先把，写成，，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．49
【分析】先利用矩形的周长公式求出，再由得出，进而得出，解二元一次方程组求出x，y，即可求出矩形的面积．
【详解】解：∵矩形的周长是，两边为x，y，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解方程组，
得，
∴矩形面积．
【点睛】本题考查因式分解的应用，矩形的周长、面积公式，以及解二元一次方程组，通过因式分解得出是解题的关键．
16．
【分析】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
17．
【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【详解】解：多项式中，
各项系数的最大公约数是6，
各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，
所以它的公因式是.
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（4）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式
（4）原式．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提取公因式，再利用公式分解因式；
（2）把（m-n）先提取出来，再利用公式法分解因式；
（3）直接利用公式法分解即可；
（4）直接利用公式法分解．
【详解】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
=
（3）解：
=
=
（4）解：
=
=
=
【点睛】本题考查了利用提取公因式和公式法分解因式，解题的关键是掌握这两种分解因式的方法，注意分解因式要彻底．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可．
（2）先展开括号后重新整理，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
21．(1)3
(2)是等腰三角形，周长为18
【分析】（1）仿照例题，将配成，即可得出的最小值；
（2）将原式配方成两个完全平方的和的形式，根据完全平方的非负性，求出a、b的值，再根据三角形三边之间的关系，求出c的范围，即可得c的值，进而可判断的形状，并求出的周长．
【详解】（1）解：，
，
∴当时，有最小值，最小值为3．
（2）解：，
，
，
，，
，，
，，
，，
∵a，b，c分别为的三边，
，
，
∵c为偶数，
，
，
∴是等腰三角形，
的周长．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，非负数的性质、等腰三角形的判定，三角形三边之间的关系．熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；
（2）先计算完全平方公式、积的乘方、单项式的乘除，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查利用提公因式和平方差公式分解因式，积的乘方，整式的混合运算等，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法和整式的运算法则．
23．(1)；
(2)
【分析】(1)首先去括号，再根据完全平方公式即可因式分解；
(2)首先根据平方差公式进行因式分解，再根据完全平方公式即可因式分解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式因式分解，熟练掌握和运用平方差公式和完全平方公式因式分解是解决本题的关键．
24．(1)（x-y+1）2
(2)（x+y+9）2
【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=x+y，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【详解】（1）解：1+2（x-y）+（x-y）2
=（x-y+1）2；
（2）令A=x+y，
则原式=A（A+18）+81=A2+18A+81=（A+9）2，
故（x+y）（x+y+18）+81=（x+y+9）2．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
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