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第十章一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点分别在三个不同的象限．若正比例函数的图象经过其中两点，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）
A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定
4．将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在同一条直线y=kx+b上，且k＜0．若x1＞x2，则y1与y2的关系是(　 )
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1与y2的大小不确定
6．直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．2
7．若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
8．点在第一象限内，且，点的坐标为，设的面积为S，则下列图象中，能正确反映，S与之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：）的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知一次函数，当0≤x≤3时，函数y的最大值是( )．
A．0 B．3 C．-3 D．无法确定
11．已知是的一次函数，下表中列出了部分对应值，则等于( )
x －1 0 1
y 1 m －5
A．－1 B．0 C．－2 D．－
12．已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为 ．
14．如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为 ．
15．如图，直线交轴于点，交轴于点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，轴于点，的长的最小值为 ．
16．已知直线与的交点的坐标为，则关于的方程组的解是 ．
17．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）满足如图所示的函数图象，那么每位乘客最多可免费携带 kg的行李．
三、解答题
18．如图，直线l1经过点A(0，4)和C(12，﹣4)，点B的坐标为(8，4)，点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M．
（1）求直线l1的函数解析式；
（2）若点M坐标为(1，)，求；
（3）直线l2与x轴的交点坐标为　，点P的移动过程中，k的取值范围是　　．
19．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点．
(1)在图2中表示的变量是______，因变量是______；
(2)乙比甲晚出发______，两地相距______；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4)______，______；
(5)在图2中点表示的含义是______；
(6)请直接写出当______时，甲、乙相距．
20．如图所示的是某日某港口从0时到15时的水深变化情况．仔细观察图象，回答下列问题：
(1)图中描述的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？
(2)大约什么时间港口的水最深？深度约为多少米？
(3)在什么时间范围内，港口水深在增加？
(4)，两点分别表示什么？
(5)说一说这个港口从0时到15时的水深是怎样变化的．
21．找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.
(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系对应的图象是______.
(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.
(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系对应的图象是______.
(4)在220V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.
A． B． C． D．
22．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求的函数表达式
(3)求折痕的长．
23．已知直线与x轴交于点与y轴交于点，
(1)求直线的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且，求点C的坐标．
(3)根据图像直接写出：当x取何值时，．
24．已知某正比例函数的图象经过点A (1，3)，求此正比例函数的解析式．
《第十章一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C A D D B B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标．
【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，
∴轴，轴，，
，
，
，
，
∴，
，
和是等边三角形，
∴，，
∴第1步，作点关于的对称点落在轴上，
第2步，作关于的对称点落在轴上，
第3步，作关于的对称点，和轴的夹角，
第4步，作关于的对称点，和轴的夹角，
继续作关于的对称点，和轴的夹角，即，
∴，
，
∴点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键．
2．B
【分析】先根据正比例函数的性质得到正比例函数经过点B从而求出正比例函数解析式，然后代入点C的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵三个点的坐标分别为，且三个点在不同的象限，
∴点A在第一象限时，点C在第二象限，
∴正比例函数不可能同时经过A、C两点，即正比例函数经过点B，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，
∴正比例函数经过二、四象限，
∴点C在正比例函数图象上，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，确定正比例函数经过点B是解题的关键．
3．B
【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．
【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，
在上面，即＞，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．
4．A
【详解】试题分析：直接根据一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可：
∵将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+2．
故选A．
考点：一次函数图象与平移变换．
5．C
【分析】根据k＜0可得y将随x的增大而减小，利用x的大小关系和函数的增减性可判断y1＜y2．
【详解】∵当k＜0时
∴y将随x的增大而减小
∵x1＞x2
∴y1＜y2
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象性质，解答本题的关键是掌握一次函数y=kx+b的图象的增减性：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．
6．A
【分析】由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【详解】解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k+2，
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
7．D
【分析】把点代入函数，求出k，再依次判断各点是否在直线上.
【详解】把点代入函数，
即0=k-2，解得k=2，
∴y=2x-2，
把各选项代入得：2×1-2=0≠1，故A错误；
2×（-1）-2=-4≠1，故B错误；
2×（-2）-2=-6≠-2，故C错误；
2×2-2=1=2，故D正确；
故选D.
【点睛】此题主要考查一次函数的解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式.
8．D
【分析】根据已知条件变形得到y与x的解析式及其取值范围，再求出面积的解析式，结合取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵P（x，y）在第一象限内，且x+y=4，
∴y=4-x，x>0，4-x>0，
∴y=-x+4(0又∵A（4，0）
∴S=×4×（-x+4）=2x+8(0故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象，在解答过程中要注意x，y的取值不同，则图象不同．
9．B
【分析】本题主要考查函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键；根据题意可直接进行排除选项．
【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为0，故选项A、C不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项D不合题意；
故选B．
10．B
【详解】试题分析：根据可知y随x的增大而减小，则x取最小值时，y取最大值．
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=0时，y的最大值等于3，
故选B.
考点：本题考查的是一次函数的增减性
点评：解答本题的关键是掌握好一次函数的增减性：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
11．C
【分析】设一次函数解析式为，找出两对与的值代入计算求出与的值，即可确定出的值．
【详解】解：设一次函数解析式为，
将，；，代入得：，
解得：，，
一次函数解析式为，
令，得到，
则，
故选：C．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解．
12．A
【详解】分析：先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，则可对D进行判断，从而得到正确选项．
详解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
故选A．
点睛：本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
13．（﹣1，﹣2）．
【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可．
【详解】由一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3变形为m（x+1）﹣x﹣y﹣3=0，
令，
解得，
故一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用m的两个不同值来确定交点坐标．
14．
【分析】过点作于点，由的解析式求出点，的坐标，由得，设，，根据勾股定理和等积法求出，，得出点坐标，最后设出解析式代入求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵：与轴，轴分别交于点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
由勾股定理得，即，
由等积法得，
∴，
联立，
解得或（舍去），
∴，
设：，
将点代入并解得，
∴的函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，正确画出辅助线，熟练运用勾股定理和等积法是解题的关键．
15．4.8
【分析】连接OC，易知四边形OECD是矩形，所以OC=DE，当当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短，在Rt△ABO中可以利用面积法求解OC最小值．
【详解】解：连接OC，
∵∠CEO=∠EOD=∠ODC，
∴四边形OECD是矩形．
∴DE=OC．
当OC⊥AB时，OC最短，即DE最短．
∵直线交y轴于点A（0，8），交x轴于点B（-6，0），
∴OA=8，OB=6．
在Rt△AOB中，利用勾股定理可得
AB= ＝ =10．
当OC与AB垂直时，
AO×BO=AB×OC，即8×6=10×OC，解得OC=4.8．
所以DE长的最小值为4.8．
故答案为4.8．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、矩形的判定和性质，解决点到直线的最短距离问题，一般放在三角形中利用面积法求高．
16．
【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是函数解析式组成的二元一次方程组的解．根据题意求出两直线交点坐标，即可得到函数解析式组成的方程组的解．
【详解】解：∵直线和的交点坐标为，
∴，
∴交点坐标为，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
17．20
【分析】设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可．
【详解】解：设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ，
解得， ，
则y=30x-600．
当y=0时，
30x-600=0，
解得：x=20．
故答案为20．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
18．（1）y＝﹣x+4；（2）；（3）(﹣2，0)，≤k≤2．
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据M点的坐标求出直线l2的解析式，确定P点的坐标，即可求出△APM的面积；
（3）根据直线l2的解析式，求出与x 轴的交点即可，根据点P在AB上，分别与点A和点B重合时求出临界值即可确定k的取值范围．
【详解】解：（1）∵直线l1经过点A（0，4）和C（12，﹣4），
设直线l1的解析式为y＝sx+t，
代入A点、C点坐标，得，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵点M坐标为(1，)，且点M在直线l2：y＝kx+2k（k≠0）上，
∴k+2k＝，
∴k＝，
∴直线l2的解析式为y＝x+，
∵点A(0，4)，点B (8，4)，
∴AB//x，
当y=4时，x+=4，
∴x=，
∴P点的坐标为(，4)，
∴S△APM＝×(﹣0)×(4﹣)＝；
（3）∵直线l2：y＝kx+2k（k≠0），
∴当y＝0时，k＝﹣2，
∴直线l2与x轴的交点坐标为(﹣2，0)，
∵点P在线段AB上，
∴当点P与A点重合时，2k＝4，
解得k＝2，
当点P与B点重合时，8k+2k＝4，
解得k＝，
∴k的取值范围是≤k≤2，
故答案为：(﹣2，0)，≤k≤2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，以及一次函数的性质，熟练使用待定系数法求解析式及用临界值法求取值范围是解题的关键．
19．(1)甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离
(2)
(3)
(4)
(5)乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地
(6)或或14
【分析】本题考查了函数的图象，从图象上获取信息，求出甲乙两人的速度是正确解答的关键．
（1）根据函数的定义解答即可；
（2）由图象可得乙比甲晚出发两地相距(千米)；
（3）根据点的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度；
（4）根据两车的速度可得答案；
（5）根据点的坐标解答即可；
（6）分两种情况，①时，②时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与地的距离；
故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离；
（2）解：由图象可知，乙比甲晚出发的是两地相距(千米)；
故答案为：；
（3）解：甲的驾车速度为：；
故答案为：；
（4）解：由题意可得，，
乙的驾车速度为：，
所以，
故答案为：；
（5）解：在图2中点表示的含义是乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地；
故答案为：乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地；
（6）解：分两种情况，①时，
，
解得：，
②时，
乙的速度为，
∴，
∴，
综上，当或6.5或14时，甲，乙相距．
故答案为：或或14．
20．(1)图中描述的是港口的水深和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，港口的水深是因变量
(2)大约4时港口的水最深，深度约为
(3)0时，4时和12时，15时，港口水深在增加
(4)点表示7时港口水深，点表示15时港口水深
(5)随着时间的增加，港口的水深先增加，再减小，后增加
【分析】本题考查了函数的图象的读图能力，正确根据图象的性质和数据进行分析，读出实际意义．
直接根据图象信息回答即可．
【详解】（1）解：观察图象可知，表格反映了港口的水深和时间之间的关系，其中时间是自变量，港口的水深是因变量；
（2）解：观察图象可得，4时港口的水最深，深度约是8.5m；
（3）解：观察图象可得，时时和时，时，港口水深在增加；
（4）解：观察图象可得，点表示时港口水深，点表示时港口水深；
（5）解：观察图象可得，随着时间的增加，港口的水深先增加，再减小，后增加．
21．(1) A；(2)D； (3)C； (4)B
【分析】根据题意列出函数解析式，再根据解析式来确定函数图象．
【详解】（1）匀速时速度和时间之间关系不变，故选A；
（2）正方形的面积与边长之间的关系是二次函数关系，故选D；
（3）用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系是二次函数的关系，且有最大值，故选C；
（4）在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系是反比例关系，故选B．
【点睛】本题考查了函数图象的读图能力，解题关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可；
（2）由矩形的性质得到设点E的坐标为，在中，勾股定理得，即，求出点E的坐标，再同理得到点F的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式；
（3）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长．
【详解】（1）证明：由折叠得，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）点B的坐标为，四边形为矩形，
∴
设点E的坐标为，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
同理可得，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为
（3）过点E作于点H，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：设直线直线的解析式为，
把点，点代入得：
，
解得：，
∴直线直线的解析式为；
（2）解：∵点，
∴，
设点，
∵，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为；
（3）解：观察图像得：当时，．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
24．y=3x
【分析】设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A (1，3)代入求得k即可．
【详解】解：设正比例函数的函数解析式是y=kx，
∵A(1，3)在y=kx上，则 k=3，
∴这个函数解析式是y=3x
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