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第九章二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列根式中，与互为同类二次根式的是( ).
A． B． C． D．
2．是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
3．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．化简的结果是( )
A． B． C． D．
6．下列二次根式中，能与合并的式子的是（　　）
A． B． C． D．
7．要使有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为，，，设，则这个三角形面积为：，并进行了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当，，时，三角形边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式中，一定能成立的有（ ）
①②③④
A．① B．①④ C．①③④ D．①②③④
10．已知．则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
11．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．比较大小： 3（请填写“”、“”或“”）．
14．已知＜＜，化简得 ．
15．若点P(x,y)在第二象限内，则化简的结果是 .
16． ．
17．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．判断下面的计算错在哪里，然后给出正确的计算.
计算：，其中.
解：原式
.
20．计算：
(1)；
(2)．
21．计算：
(1)；
(2)．
22．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
23．已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
24．（1）计算：（﹣4）﹣（3﹣2）
（2）化简：（．
《第九章二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D D D A A A C
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义即可得出答案.
【详解】解：∵，∴与互为同类二次根式的是；
故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的化简，属于基础题型，熟知同类二次根式的概念是解题的关键.
2．D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
3．D
【分析】首先证明GF=GE，再证明四边形CEGF是平行四边形，可得四边形CEGF是菱形，再求解 利用勾股定理求解 利用四边形CEAF是菱形，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴∠AEF=∠CFE，
∵∠AEF=∠CEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∵图形翻折后EC与AE完全重合，
∴AE=CF，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵CE=CF，
∴四边形CEAF是菱形．
，，
四边形CEAF是菱形，
故选D
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用翻折不变性解决问题，属于中考常考题型．
4．D
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=3+1
=4．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，零指数幂，正确计算二次根式的乘除是解题关键．
5．D
【分析】先由式子得出a的取值为a0，再根据二次根式的性质可化简求解.
【详解】∵a0，
∴===，故选D.
【点睛】此题主要考查二次根式的化简.
6．D
【分析】先把每个根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式定义判断即可．
【详解】A.＝，和不能合并，故本选项错误；
B.和不能合并，故本选项错误；
C.＝，和不能合并，故本选项错误；
D.＝，和能合并，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的辨别，明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，是解题的关键.
7．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：由题可知，
当时，式子有意义，
解得．
故选：A．
8．A
【分析】由题意易得，则有，设边上的高为，进而问题可求解．
【详解】解：由题意，得：，，；
；
；
设边上的高为，则，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
9．A
【分析】根据开算术平方和平方的概念对4个等式逐一判断．
【详解】A． ，则A成立；
B．当a<0时，不存在，则B等式不成立；
C．当x<1时，不存在，则C等式不成立；
D．当x<-3时，不存在，则D等式不成立．
故选A．
【点睛】本题考查开算术平方根和平方之间的等量关系，注意算术平方根下的式子不能小于零的情况，掌握这一点是本题解题关键．
10．C
【分析】把与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：把代入得：原式；
故选：C．
【点睛】此题考查二次根式的计算，关键是根据二次根式的性质计算解答．
11．A
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式；
是二次根式．
故选：A．
12．A
【分析】从根指数，被开方数两个基本条件去判断即可．
【详解】∵的根指数是2，被开方数是7，是非负数，
∴是二次根式，故A符合题意；
∵的根指数是3，
∴不是二次根式，故B不符合题意；
∵的根指数是2，被开方数是x，不一定是非负数，
∴不是二次根式，故C不符合题意；
∵的根指数是2，被开方数是-15，无意义，
∴不是二次根式，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本条件是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，熟知二次根式比较大小的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】由＜＜，＞ ＜ 分别化简绝对值与二次根式，再合并即可得到答案．
【详解】解：＜＜，
＞ ＜
故答案为：
【点睛】本题考查的是合并同类项，去括号，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握绝对值的含义与二次根式的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据点P(x，y)在第二象限内，可得x<0，y>0，再根据二次根式的性质进行化简．
【详解】解：∵点P(x，y)在第二象限内，
∴x<0，y>0，
∴=，
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式的性质、象限点的坐标特征，解题关键是：当a≥0时，=a；当a<0时，=-a．
16．
【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键．
先将除法转化为乘法，然后进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
17．﹣3a
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．
【详解】∵a＜0，
∴|﹣2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．
【点睛】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．
18．(1)
(2)
(3)3
(4)2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则一一计算即可．
（1）先利用二次根式的性质化简，然后再进行二次根式的加减运算即可．
（2）先利用二次根式的性质化简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．
（3）分别计算除法，在利用二次根式的性质化简，最后再计算减法
（4）先计算乘方，再进行加法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
19．原解法错在把当成大于0的数，从而得出，正确的结果是，.
【分析】由可得，所以，由此即可判断出错所在的地方，然后再根据分式的混合运算法则化简求值即可.
【详解】解：∵，∴.
∴原解法错在把当成大于0的数，从而得出并进行了化简求值；
∴正确的计算应该是：
原式
，
当时，原式=.
【点睛】本题考查了二次根式的性质、分式的化简求值和分母有理化等知识，属于基础题型，易错点是易忽略x的取值范围，得出，从而致错.
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项；
（2）利用平方差和完全平方公式计算．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式．先把二次根式化为最近二次根式，然后再合并同类项，平方差公式，完全平方公式，正确化简二次根式和使用乘法公式是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用二次根式的乘法解题；
（2）运用二次根式的乘法，然后化为最简二次根式；
（3）运用二次根式的除法解题．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查二次根式的运算，化为最简二次根式是解题的关键．
23．（1）8；（2）4．
【分析】（1）先计算出和的值，再利用完全平方公式求解即可；
（2）通分后利用（1）的结论求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．注意整体代入的方法的运用．
24．(1)；（2）a2﹣+2+a
【分析】根据二次根式的性质，先化简各二次根式为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）（﹣4）﹣（3﹣2）
=4﹣﹣+
=3；
（2）
=+2+
=a2﹣+2+a．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解得关键是根据相关法则进行运算．
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