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第六章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（ ）．
A． B． C．垂直平分 D．
2．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（　　）
A．3
B．4
C．1
D．2
3．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，，，、交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．沿折叠后，点的对应点是，则以A、、、为顶点的四边形是平行四边形
D．点在线段的中垂线上
5．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．中，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．150°
7．如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．下列各项中，菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点处，则点的坐标为（ ）
A．(2，2) B．(，3) C．(2，) D．(，)
10．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
11．在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
12．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
二、填空题
13．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ．
14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形中，是的中点，，则四边形的面积为 ．
16．如图，四边形纸片中，, ．若该纸片的面积为10 cm2，则对角线= cm．

17．如图，在菱形中，点是的中点，，，点为上一动点，求的最小值 ．
三、解答题
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
19．如图所示，在等边中，点为的中点，点为的中点，点为的中点，为上任意一点，为等边三角形．求证：．
20．如图①，在中，，延长边到点，延长边到点，连接，恰有，求的度数.
21．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
(1)求证：BF=DE；
(2)当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
22．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E．

(1)求证：；
(2)若，平行四边形的周长为44，求的长．
23．如图所示，是一种长米，宽米的矩形瓷砖，分别为矩形四边的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长米，宽米的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：

(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？
(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形？
24．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：BC＝DF；
(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．
《第六章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B B B C C C B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：根据题意可画出下图，
A、∵C、D是线段的垂直平分线上的两点，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴AD=BD，故本选项正确；
B、∵C是线段的垂直平分线上的点，∴AC=BC，∴，∵AB平分，∴，∴，∴，故本选项正确；
C、∵AB平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，故本选项正确；
D、∵AB与CD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形，∴AB、CD不一定相等，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识点，综合运用以上性质定理是解答此题的关键．
2．A
【分析】首先连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正确；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确；
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF，
故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选A．
【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
3．D
【详解】由 ABCD的性质及图形可知：
A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；
B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；
C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；
D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；
故选D．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定和性质及折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等依次判断即可．
【详解】解：A、在和中：
∴；
∴；
∴，结论正确，不符合题意；
B、无法证明，结论错误，符合题意；
C、如图所示，沿折叠后，点的对应点是，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，结论正确，不符合题意；
D、∵，
∴，即点在线段的中垂线上，结论正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理以及性质，等腰三角形的性质及折叠的性质，解题关键是要把握三角形全等的判定定理．
5．B
【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
∵∠BAD=45°，AB=10
∴为等腰直角三角形，
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，当、两点重合时，
即的最小值为
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
6．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形邻角互补对角相等是解题的关键，根据平行四边形的性质可知，，结合可求出，从而得解．
【详解】在中，，，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于E，交的延长线于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角，即可求解．
【详解】解：菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是菱形的对角线互相垂直；菱形的四边相等；对角线平分它所在的一组对角是解题的关键．
9．C
【分析】过B′作BD⊥y轴于D，由折叠的性质可得∠B′CP=∠BCP=30°，CB′=BC=4，根据正方形的性质可求出∠OCB′=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD′的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出OD的长，即可得点B′的坐标.
【详解】过B′作B′D⊥y轴于D，
∵四边形OABC是正方形，∠CPB=60°，
∴∠BCP=30°，
∵沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点处，
∴∠B′CP=∠BCP=30°，B′C=BC =4，
∴∠OCB′=30°，
∵B′D⊥y轴，
∴B′D=B′C=2，
∴CD==，
∴OD=OC-CD=4-，
∴点B′的坐标为（2，4-）.
故选C.
【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质及含30°角的直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握折叠的性质是解题关键.
10．B
【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
，
，
∠EBC＝45°，
，
为等腰直角三角形，
，
，
则△EBC的面积是．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
11．B
【分析】根据矩形的性质推出AH=BF，BF∥AH得到矩形BFHA，推出AB∥HF，AB=HF，同理得到BC=EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】连接HF、EG交于点O，
∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵H、F分别为边AD、BC的中点，
∴AH=BF，
∴四边形BFHA是矩形，
∴AB=HF=3，AB∥HF，
同理BC=EG=4，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质与判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．
12．B
【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE=16．
13．①②④
【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键．
根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到，进而求得的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知为中点，则，进而求得与的数量关系，可判断③正确；根据，利用，可判断④正确．
【详解】①∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴，．
在和中，
，
∴．
∴．
故①正确．
②∵四边形为平行四边形，
∴，．
又，
∴．
∴．
故②正确．
③∵为的中点，
∴．
∴．
故③错误．
④∵，
∴．
∴．
故④正确．
故答案为：①②④．
14．24cm2．
【详解】解：因为AD=12cm，AB=7cm，且AE：BE=5：2，则AE=5，BE=2，
则阴影部分的面积=12×7﹣12×5=24cm2．
故答案为：24cm2．
【点睛】本题考查矩形的性质．
15．
【分析】根据已知求出DC、CF、CE长，分别求出△BCD和△CEF的面积，即可求出答案．
【详解】在矩形中，是的中点，∠C=90°，.，四边形的面积．
故答案为:.
【点睛】本题考查矩形性质和三角形面积公式的计算.
16．
【分析】作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=，即可求得BD的长．
【详解】解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：

则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，
∴四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，
∴BE=DE，BE2=10 cm2，
∴BE=(cm)，
∴BD=BE=2(cm)．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．4
【分析】连接，，，对角线相交于点O，根据菱形的轴对称性可知是的垂直平分线，则，故当点D、E、P三点共线时，的最小值为的长，再根据等边三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：连接，，，对角线相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，，，
∴，
∴，
∴当点D、E、P三点共线时，的最小值为的长，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∴和都是等边三角形的高，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据已知条件证明和全等即可得出答案．
（2）由平行四边形的面积公式求出，然后即可得出答案．
【详解】（1）四边形是正方形，是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）由题意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质及三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用．
19．证明见解析
【分析】连接PR和PQ，根据三角形中位线的性质得出PQ=PR，∠APQ=∠BPR=60°，进而求出∠QPR的度数，结合等边三角形的性质求出，即可得出答案.
【详解】证明：如图所示，连接PR、PQ，
∵是等边三角形，
∴，．
∵为的中点，为的中点，为的中点，
∴，，，，
∴，，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据三角形中位线证出∠BPQ=60°.
20．
【分析】根据题意过点作的平行线，与过点所作的的平行线交于点，连接，则可得四边形为平行四边形，即可证明，再结合证明，即可得到，因此可证明是等边三角形，设,根据列方程，即可计算的度数.
【详解】如图②，过点作的平行线，与过点所作的的平行线交于点，连接，则四边形为平行四边形，所以，，.
，，.
在与中，，，，
，.
又，是等边三角形，.
设，则，，，所以.
由，可列出方程，解得，
.
【点睛】本题主要考查平行四边形的综合性问题，关键在于利用角的相等关系列方程，求解未知数.
21．(1)见解析
(2)当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．
22．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，，可证；
（2）由题意可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的周长为44，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
23．(1)块
(2)个
【分析】（1）根据墙壁的长可求出横向所需瓷砖，根据墙壁宽可求出纵向所需瓷砖，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质，菱形图中中的直角三角形的特点，瓷砖的特点，由此即可求解．
【详解】（1）解：墙壁长，宽，矩形瓷砖长，宽，
∴，，则可知矩形瓷砖横排块，竖排块可毫无空隙地贴满墙面，
∴至少需要这种瓷砖 (块)．
（2）解：每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半，另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，
∴一共有淡黄色花纹菱形个，面积相等的菱形一共有 (个)．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接，掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析．
【分析】（1）用平行四边形的定义判定；
（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形．
【详解】（1）（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴2DE＝BC，DE∥BC，
∵CF∥AB，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC=DF；
（2）（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DB＝AD，
∵四边形DBCF是平行四边形，
∴DB＝CF，
∴AD＝CF，
∵AB∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵BC＝AC，BC=CF，
∴AC=DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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