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第七章实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，中，，是等腰三角形，，，交于E，，则的值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
2．如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
3．下列各数：，，，，是无理数的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
4．定义：顺次连接平面内不在同一条直线上的任意三点A，B，C，称为A，B，C，三点的勾股差，记作，即．若D、E、F是平面内不在同一条直线上的任意三点，顺次将其连接，根据上述定义，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
5．如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A．16 B．12 C． D．
6．如果直径为1个单位长度的圆上一点P从数轴上表示3的点A出发，沿数轴向左滚动一周，圆上这一点到达数轴上另一点B，则B点表示的实数为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知在中，，，则下列说法：①若为等腰三角形，则的周长为10；②若是直角三角形，则斜边长为5；③若是的中线，则AD的取值范围是；④面积的最大值为6，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．无理数的整数部分是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图,在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°,AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（ ）
A．1 B． C．2- D．2﹣2
10．在实数﹣，，0，，﹣3.14，中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
12．下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　）
A．与 B．23与32 C．与 D．与
二、填空题
13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为 ．

14．在一张矩形纸片中，，M，N分别为，的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为 ．
15．若，则 ．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
17．如图，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③PCQ面积的最小值为；
④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
18．求下列各式中的值
(1)
(2)
19．求下列各式中的x．
(1)，
(2)．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）．
22．已知是的边上的高，若，，，求的长．
23．阅读下列材料：
，，，，，
．
解答下列问题：
(1)在和式中，第项为______，第项是______．
(2)上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：．
24．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．
《第七章实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B D B A C C A
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据等式的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题参考直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键．
2．B
【分析】设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，根据较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积可得a2+b2=c2，进而根据勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形，可得答案．
【详解】设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b，
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴，
∴a2+b2=c2，
∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，
符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，正确得出a2+b2=c2，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键
3．B
【分析】本题考查了对无理数的定义，根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】下列各数：，，，，
无理数有，共1个．
故选：B．
4．B
【分析】根据定义，并结合有关的几何知识，可以对选项的正确性作出判断，从而选出错误选项．
【详解】A、由已知定义，,,通过比较，成立，A正确；
B、由A可知，不管是否成立，都有成立，所以B不一定正确；
C、若，则为直角三角形，根据勾股定理有：，所以，C正确；
D、若，，，则，D正确；
故选B．
【点睛】本题综合考查阅读能力以及勾股定理等有关几何知识的应用，解题关键是根据题目给出的定义对各选项的有关符号作出表示．
5．D
【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：过作，如图所示：
在菱形中，，，
设，则，
，
，
，
，
，即菱形边长最小是4，
当时，则，即菱形边长最小时，在中，，，
，
过作，如图所示：
在中，，，则，
，由勾股定理可得，
菱形的周长最小时，菱形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、动点最值问题、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，分析出菱形周长最小时的位置，正确记忆相关知识点是解题的关键．
6．B
【分析】圆从A点沿数轴向左滚动一周，可知AB=π，再根据数轴的特点及π的值即可解答；
【详解】解：直径为1的圆滚动一周它上面的点所滚得距离为π，
故B点表示的实数为，
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴．掌握数轴的特点及圆的周长公式是解题关键．
7．A
【分析】由等腰三角形的性质分情况求出周长可判断①；根据勾股定理及直角三角形的性质分情况求出斜边长可判断②；延长到点E，使，连接，证明，可得，在中，由三角形三边关系求出，可判断③；根据当时，的面积最大，求出面积的最大值进而可判断④．
【详解】解：①若为等腰三角形，
当时，的周长为，
当时，的周长为，故①说法错误；
②若是直角三角形，
当是斜边时，，
当是斜边时，则斜边长为4，故②说法错误；
③如图，延长到点E，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，由三角形三边关系得：，即，
∴，故③说法错误；
④在中，，，
当时，的面积最大，面积的最大值为，故④说法正确；
综上，正确的说法有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系定理、三角形面积以及周长等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，先判断40在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴无理数的整数部分是6．
故选C．
9．C
【分析】根据题意可得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2，根据勾股定理求得BB′=2 ，再由BC=2可得B′C=BB′-BC=2-2，
【详解】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，
∴根据折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2，
∴=2，
∵BC=2，
∴B′C= BB′-BC=2-2，
∴△FCB′为等腰直角三角形，B’F=CF，
∴，
解得：2-，
故选C．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理解三角形等．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．A
【分析】根据无理数的定义，找出其中的无理数即可．
【详解】解：在实数﹣，，0，，﹣3.14，中，无理数有，，共有2个；
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如 等；②无限不循环小数，如0.101001000 … 等；③字母，如π等．
11．B
【分析】根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（定、动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作，
，即当三点共线，时，的最小值为，
在中，，连接，如上图所示，，则，
在矩形ABCD中，，，则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．
12．D
【分析】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及有理数乘方的法则是解题的关键．分别计算出各数值，再进行比较即可．
【详解】解：A、，
，本选项不符合题意；
B、，，
，本选项不符合题意；
C、，
，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意．
故选：D．
13．
【详解】∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13－5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，
解得：．
故答案为：
14．4
【分析】先过点F作于点H，得矩形，根据三角函数求出的值，再根据勾股定理，求出各边的值，即可求出答案．
【详解】如图，过点F作于点H，得矩形．
∵M为的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．
15．1
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】∵
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．
16．//
【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题．
【详解】解：根据上图，进行如下标注：
由题知，，，，，，
，
梯子长度不变，
，
，
，
故答案为：．
17．①②④．
【详解】①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ，∴①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)
=360°﹣(120°+120°)
=120°，
∴∠PCQ的大小不变；∴②正确；
③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，tan∠QCE=，
∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，
∵CP=CD=CQ，
∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，
∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=BC=2，即：CD最短为2，
∴S△PCQ最小===，∴③错误；
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形，
∴④正确，
故答案为①②④．
考点：几何变换综合题；定值问题；最值问题；综合题；翻折变换（折叠问题）．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴
∴
【点睛】本题考查利用平方根、立方根的定义解高次方程．掌握相关定义是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先移项，然后利用平方根求解方程即可；
（2）先移项，然后利用平方根求解方程即可．
【详解】（1）解：
移项得：，
∴，
∴，
∴
（2）
，
∴
∴
∴．
【点睛】题目主要考查利用平方根解方程，熟练掌握解方程方法是解题关键．
20．(1)5
(2)
【分析】（1）先计算乘方，并求绝对值，再计算加减即可；
（2）先运用积的乘方法则计算，再约分，然后运用负整指数幂法则计算．
【详解】（1）解：原式．
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，分式化简，熟练掌握实数的混合运算法则、分式运算法则、负整指数幂法则、零整指数幂法则是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分析】（1）把2写成，运用平方差公式分解即可；
（2）把5写成，3写成，运用平方差公式分解即可．
【详解】（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟练运用二次根式的性质把一个非负数转化成平方的形式是解题的关键．
22．的长为2或2
【分析】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．分两种情况：①当是锐角或直角三角形，如图1，②当是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算和即可．
【详解】解：分两种情况：
当是锐角或直角三角形，如图1，
，
，
，，
，
，
，
，
；
当是钝角三角形，如图2，
同理得：，，
．
综上所述，的长为或．
23．(1)；
(2)
【分析】(1)由已知中所给的条件找出规律解答；
(2)把每一个分式先分列为两个分式，找抵消规律，再计算．
【详解】（1）解：由算式规律可得：分子都是1，第几项分母就是从小到大的第几个正奇数与比它大的相邻奇数的积，
∴第项为，第项是 ；
（2）解：将分式方程变形为，
整理得，
方程两边都乘以，
得，
解得．
经检验，是原分式方程的根．
【点睛】解答此类题目关键是找出规律再解答，在计算分式时若分母有规律可循是可将其分开以简化计算．
24．李叔叔不超速，理由见解析
【分析】先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论．
【详解】解：李叔叔不超速，理由如下：
如图，
Rt△ABC中，AC=7，AB=25，
由勾股定理得：BC==24，
v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h），
∵57.6＜60，
∴李叔叔不超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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