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2025北京师大附中高三三模考试
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，那么集合（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量、满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某建筑物部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 10 C. D.
8. 已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
A. 若，则数列是等比数列
B. 若，则数列是递增数列
C. 若数列常数列，则
D. 若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知，则_______.
12. 设抛物线的焦点为，准线为，则抛物线上一点到准线的距离为_____.
13. 已知等比数列的前项和为，满足，.则为_____；满足的最小的整数为_____.
14. 在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____.
15. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分.已知过坐标原点.且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.有以下四个结论：
①；
②曲线上存在点，满足；
③若点是曲线第一象限上的点，则的面积的最大值为；
④当点在上时，不等式恒成立；
其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面.
（1）证明：F是的中点；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知函数.
（1）若，求值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在，求出，的值，并证明：当时，.
条件①：；
条件②：当时，的最小值为；
条件③：图象关于直线对称.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.
为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.
活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表.
壶1 壶2 壶3
投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中
高三年级 40 160 90 60 60 90
假设用频率估计概率
（1）若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率.
（2）投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束.
某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率.
（3）为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大 （只需写出结论）.
19. 已知椭圆：过，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程.
20. 已知函数，，．
（1）若在点处的切线平行于直线：，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，求证：对任意，恒有成立．
21. 记集合，表示集合中元素个数.
（1）求和；
（2）求证：当为奇数时，；
（3）求.
2025北京师大附中高三三模考试
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】 ①. ②. 2
【15题答案】
【答案】①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）或
【20题答案】
【答案】（1）
（2）函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间；
（3）见解析
【21题答案】
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）

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