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数学试题
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. C. D. 0
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图有可能是半圆的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ）
A. 20m B. C. D. 10m
7. 在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，，，轴，轴，反比例函数经过点，交于点，且，则的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
9. 因式分解：_____．
10. 若，且、是两个连续整数，则的值是___________．
11. 关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是________（写出一个即可）．
12. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为______．
13. 如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_________．
14. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点，过点作，垂足为点．①；②；③；④当点与点重合时，若，则阴影部分的面积为；⑤当时，与的面积比为．上述结论中，正确结论的序号是__________．
三、解答题（共10题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 某博物馆一号展厅有两道门，参观者需先进第一道门，参观部分展台，再进第二道门参观另一部分展台．佳佳进入展厅参观时，先随机选择第一道门的一个门，再随机选择第二道门的一个门．用画树状图的方法或列表的方法，求佳佳全部参观完一号展厅所选择的两道门门号都是奇数的概率．
17. 从甲地到乙地长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？
18. 如图，在四边形中，，点E是的中点，连接、，，．求证：四边形是矩形．
19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题：
（1）在图1中，画出圆心O．
（2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦．
（3）在图3中，点M圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得．
20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82
【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示：
成绩
七年级 1 5 2 a
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据平均数、中位数、众数方差如表：
年级统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 72 66.6
八年级 80 80 c 33
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______；______；
（2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生；
（3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？
21. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒）
变化的函数关系图象如图．
（1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________：
（2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式；
（3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温．
22. 【问题原型】
如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值．
【问题探究】
如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题．
以下是小明确认为定值的部分过程：
证明：由【问题探究】的作法可知，．
证明过程缺失
．
请你补全缺失证明过程
【问题解决】
请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹）
【问题拓展】
如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______．
23. 如图，在中，，D是边中点，E是边上一动点，连结，当E不与B重合时，以为邻边作．
（1）______；
（2）求的最小值；
（3）当为轴对称图形时，求的面积．
（4）连结，当时，直接写出长度．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（c是常数）经过点，点M是抛物线上一动点，且横坐标为m，将M向右平移两个单位得到点N，A点坐标为，当M、A、N不共线时，连结MA、AN、MN得到．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当关于y轴对称时，求的正切值；
（3）若点A在y轴的负半轴上，且的面积等于1，求m的值；
（4）M、N关于A的对称点分别为B、C，当直线BC与抛物线有两个公共点分别为P、Q（P在Q的左侧）时，若，直接写出m的值．
数学试题
一、选择题（共8题，每题3分，共24分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】5
【11题答案】
【答案】（答案不唯一）
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】①②⑤
三、解答题（共10题，共78分）
【15题答案】
【答案】，
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】甲，乙两地之间的高速公路是320千米.
【18题答案】
【答案】见解析
【19题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【20题答案】
【答案】（1）2；78.5；80
（2）七 （3）60人
【21题答案】
【答案】（1）20；80；1
（2）
（3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为
【22题答案】
【答案】问题探究：见解析；问题解决：；问题拓展：
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）或12
（4）2或
【24题答案】
【答案】（1）
（2）1 （3）或
（4）

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