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嘉祥锦江高2022级高考适应性考试一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2. D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D
1. 因为复数满足，则，因此，复数的虚部为.故选B.
2. 由，则. 故选：D.
3. 若直线与互相平行，则，解得或，
当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意；综上所述：选C.
4. 因为，且，
所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：A.
5. 设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设等差数列的公差为尺，
由题可知，，即，解得；，即，解得；
所以，所以，即谷雨日影长为5.5尺，故选：D
6. 设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，化简得，
所以，解得，所以离心率. 故选：B
7. 因为，，所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数，所以是R上的增函数，不等式，对任意的恒成立，
即，，又，，令，，
，所以实数的取值范围为. 故选：A.
8. 甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率，
若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；
若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以. 故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．AD 10．ACD 11．BCD
9. A：因为，所以，故A正确；
B：由题意，所以该10个数据的下四分位数为第2个数和第3个数的平均数11，故错误；
C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误；
D：∵展开式的二项式系数之和为，∴，故，则含项的系数为.故正确.
10. 对于A，根据正方体性质可得，可知，
故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示：
则其轨迹的长度为，故A正确；
对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大，
此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误；
对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为，
易知，，点平面的距离为；
可得球心到平面的距离为，
故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确；
对于D，如下图：先固定点，当点在上时，最小，
再让点移动，当三点共线时，最小，
此时，故D正确. 故选：ACD
11. 解：对A：当y＝x旋转时与y轴重合，此时1个x对应多个y值，故A错误；
对B：将x＝c旋转﹣α后所得直线为y＝﹣tanα（x﹣c），则只需与原函数仅有一个交点；
令，当k∈[1，+∞）时，p（x）只有一个零点，所以tanα∈（0，1]，即，故B正确；
对C：令g（x）＝x+t，当在定义域内仅有唯一解时，即（a﹣1）x2﹣tx﹣2＝0，
当a＝1时，﹣tx﹣2＝0仅有一个解，故满足题意；
当a≠1时，（a﹣1）x2﹣tx﹣2＝0的判别式Δ＝t2+8（a﹣1），
对任意的a，都存在t使得判别式大于0，不满足题意；故a＝1，故C正确；
对D：若h（x）是“旋转函数”，当mxex+1＝x+t仅有唯一解时，即t＝mxex﹣x+1，令m（x）＝mxex﹣x+1，
m′（x）＝mex+mxex﹣1＝m（x+1）ex﹣1，令q（x）＝m（x+1）ex﹣1，则q′（x）＝m（x+2）ex，
当m＝0时，方程为1＝x+t，得x＝t﹣1，仅有唯一解，符合题意；
当m＞0时，当x＜﹣2，q′（x）＜0，当x＞﹣2，q′（x）＞0，所以m′（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，
又因为x→﹣∞时，，所以可得m（x）先减后增，不符合题意；
当m＜0时，当x＜﹣2，q′（x）＞0，当x＞﹣2，q′（x）＜0，所以m′（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
所以当x＝﹣2时，m′（x）有极大值也是最大值m′（x）＝﹣me2﹣1≤0，即m≥﹣e2，则m∈[﹣e2，0）；
综上得存在m∈[﹣e2，0]时，h（x）是“旋转函数”，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 13． 14．2022
12. 设，则，由，可得，解得，
则，所以. 故答案为：
13. ，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根.
即存在唯一变号根，设，，
函数在上单减；在上单增，在上单减；
当时，；当时，；则实数a的取值范围为.
14. 由知
，故
所以
，故答案为：2022
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人，
不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人，
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10 15 25
男生 20 5 25
总计 30 20 50
………… 2分
零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得
，………… 5分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；………… 6分
（2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为，
表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为1，2，3，………… 8分
则，，，
所以的分布列为
1 2 3
………… 11分
∴数学期望. ………… 13分
16．（1）由，得，
又平面，则平面，………… 2分
而平面，于是，由为中点，，得，………… 4分
又平面，因此面，………… 5分
又平面，所以平面平面．………… 6分
（2）由（1）知，二面角的平面角为，则，………… 7分
由平面，得为与平面所成的角，………… 8分
在中，，则，，
而，则，此时，………… 10分
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，于是，………… 12分
在中，，则，
所以四面体的体积.………… 15分
17．（1）在中，由及正弦定理，得，而，
则， 即有，而为钝角，则为锐角，因此，………… 2分
由，得，由，为锐角，得，
由正弦定理，得，
，………… 5分
由余弦定理得，
于是，解得，…………7分
所以的周长为.………… 8分
（2）由（1）知，
则
，.………… 11分
又，即，.………… 13分
因此，所以的取值范围..………… 15分
18．（1）∵椭圆的离心率为，∴，则，又椭圆C过点，
∴，∴，则椭圆C的方程为．.………… 4分
（2）设，，联立，得．
由，得，.………… 6分
且，因此，所以.
又，所以，整理得．………… 8分
因为，所以．
令，，故．所以．………… 11分
因为，所以，当时，
所以在上单调递增，所以，当时等号成立，此时，
所以，即，………… 14分
由，可得，即且.
设，则，所以的最小值为，………… 16分
从而的最小值为，此时直线的斜率是0．
综上所述：当，时，取到最小值．………… 17分
19．（1），则
所以，可得在处的切线斜率为………… 2分
（2）令，由题知上恒成立.
而，
下面证明：对任意恒成立,
先证明：对任意. 设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，故，故，………… 3分
继续证明：对任意.
证明如下：令，则，
因此在上单调递增；所以，故………… 4分
注：也可直接对直接求导分析，说理清楚也得分。
因此：，则.………… 5分
当时，对，都有，函数在上单调递增，
则，解得；………… 6分
当时，对，都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去. ………… 7分
综上所述，实数的取值范围是.. ………… 8分
注：也可先寻找必要条件，再证其充分性成立，说理清楚，也得分。
（3）（i），令，则,
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立；. ………… 10分
（ii）下面证明：当时，成立，令，
则，由前问解答过程，对任意成立，所以
所以在上单调递增，所以,
所以当时，成立. ………… 11分
令且，可得，
即，………… 12分.
由题意，令且，可得，
因为所以，………… 13分
由①当时，，所以令且，可得
所以，………… 14分
由前面解答过程得，对任意成立，令且，可得，
所以，
又且，所以，所以………… 15分
所以可得
，
即可得.………… 17分
试卷第2页，共5页嘉祥锦江高2022级高考适应性一数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存。
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效。
4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。
第 Ⅰ 卷 （选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则复数的虚部为
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．“”是“直线与直线互相平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．要得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为
A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺
6．双曲线的左 右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为
A． B． C． D．
7．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是
A．若随机变量X服从正态分布，且，则
B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18
C．若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为
10．已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是
A．点的轨迹的长度为
B．直线与平面所成角的正切值最大为
C．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
D．若动点在线段上，为的中点，则的最小值为
11．．在平面直角坐标系中，如果将函数y＝f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转α（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f（x）为“α旋转函数”，则
A．，函数y＝x都为“α旋转函数”
B．若函数f（x）＝sinx，x∈[0，π]为“α旋转函数”，则
C．若函数为“旋转函数”，则a＝1
D．当m≤﹣2e2或m≥1时，函数h（x）＝mxex+1不是“旋转函数”
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量a =(1,1)，b = (2,4)，若a // c，且a⊥(bc)，则| c |= .
13．若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
14．已知数列满足，
则 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10
男生 5
总计 50
已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关；
（2）为了做进一步的阅卷调查，从喜欢哪吒角色的同学中按分层随机抽样的方式抽取了6人．从这6人中随机选出3人采访发言，设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，.
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．（本小题满分15分）
如图，在四面体中，，，点为
棱的中点，点为棱上的动点．
（1）求证：平面平面；
（2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的
正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
17．（本小题满分15分）
设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，.
（1）若，求的周长;
（2）求的取值范围.
18．（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图所示，动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，的半径为．设D为的中点，与分别相切于点E，F，求的最小值．
19．（本小题满分17分）
意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么 这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
（1）求曲线在处的切线斜率；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
试卷第2页，共5页

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