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湖南省株洲市芦淞区体育路中学2024-2025学年中考一模数学试题
注意事项：
1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.
2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.
3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.
4.本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟.
阅卷人 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
得分
1．在实数，，5，0中，最大的实数是（　　）
A． B． C．5 D．0
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，中，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．10 B． C． D．
5．太空中微波理论上可以在秒内接收到相距约的信息，数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
6．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的外接圆，已知，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．当时，
10．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG=30°，有下列结论：①DC=3OG；②OG=BC；③连结AF，CE，四边形AECF为菱形；④其中正确的是（　　）
A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④
阅卷人 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）
得分
11．分解因式：　 　．
12．如图，在数轴上点M、N分别表示数2、，则x的取值范围是 　 　
13． 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中随机选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为　 　．
14．某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为　 　分；
15．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是　 　．
16． 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　 　．
17． 方程组的解为　 　.
18．如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为　 　．
阅卷人 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
得分
19．计算：．
20．（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：，试从，，三个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
21．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
22．某校在校园文化艺术节期间，举办了歌咏、小品、书法、绘画共四个项目的比赛，要求每名学生必须参加且仅参加一项．小明随机调查了部分学生的报名情况，根据调查结果绘制出了如下不完整的“各项目参赛人数及比例”统计表，请根据图表中提供的信息，解答下列的问题：
各项目参赛人数及比例统计表
项目 人数 百分比
歌咏 20 10%
小品 60 a
书法 b 40%
绘画 40 20%
（1）本次调查中共抽取了　 　名学生
（2）表中的a＝　 　，b＝　 　.
（3）根据统计表中的数据和所学统计图的知识，任选绘制一幅统计图，能直观反映各项目的参加人数或参赛人数的比例．
23．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图所示为某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．雪道长为，雪道长为．求该滑雪场的高度．
24．近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
25．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是　 　；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，如果，求的值；
（3）如图2，如果，求的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：，是负数，正数负数，
在实数中，
故答案为：C．
【分析】利用实数的大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，据此可得到最大的实数的选项.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算求解即可。
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】C
【解析】【解答】解：．
故选C．
【分析】
用科学记数法把绝对值较小的数字表示成的形式，其中，取左边第一个非0数字前面0的个数．
6．【答案】C
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵是的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D
【分析】先根据圆的性质结合等腰三角形的性质得到，进而根据三角形的内角和定理结合圆心角与圆周角的关系即可求解。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设人数为人，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设人数为人，根据“每人坐一辆车，则有辆车是空的；每人坐一辆车，那么有人需要步行”列方程即可 ．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，
∴，故选项A结论错误，不符合题意；
∵该函数图象与x轴有两个交点，
∴，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴，，即，
∵当时，，
∴，即，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察图形可知，抛物线和y轴交于y轴的下半轴，据此可判断A；图像和x轴交于两点，根据判别式的公式，据此可判断B；根据抛物线的对称轴公式，求出b和a的关系，然后再结合图形，确定a的取值范围，进而即可判断C；观察图形，可知，y有两部分，据此即可求解
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，G是AE的中点，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=AC=OC，
设BC=a，AC=2a，
在中，由勾股定理得：，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，AO=OC=a，
解三角形得：OE=，AE=，
∴OG=，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=≠a=BC，故②错误；
连接AF、CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC与△EOA中，
，
∴△FOC△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵=，=a a=，
∴=，故④正确，
综上所述，结论正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求出，解直角三角形AOE，得AE=，根据直角三角形性质可得OG=，即可判断①正确；OG=≠a=BC，故②错误；根据对角线互相垂直平分，即可判断③正确；根据三角形、矩形的面积公式，即可判断④正确，即可得解.
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】81
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可.
16．【答案】
【解析】【解答】由图可得
为等腰三角形，
过点B作，垂足为点D，如图，
可得
故答案为：.
【分析】先根据网格特点求得AB，AC，BC的值，得到为等腰三角形，过点B作，垂足为点D，又等腰三角形的性质求得AD的值，再根据三角函数的定义即可求解.
17．【答案】
【解析】【解答】解：
①+②得：
3x=5，
，
把代入第一个方程得：
，
即
故答案为：.
【分析】运用加减消元法解二元一次方程即可.
18．【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，与BD交于点P，
在边长为4的菱形ABCD中，AC⊥BD，BD=2BP，
∵，AB=4，
∴，
∴，
由勾股定理得：
，
∴∠CBP=30°，
∴∠ABD=∠CBP=30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EFG，
∴EF=AB=4，EF//AB
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB//CD
∴∠BAD=120°，
∴EF=CD，EF//CD
∴四边形EFCD是平行四边形
∴ED=FC，
∴EC+EC的最小值=EC+ED的最小值，
∵点E在过点A月平行于BD的定直线AE上，
∴作点D关于定直线AE的对称点M，连接CM交BG于O.
∴CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD=∠ADB=30°，AD=4，
∴∠ADM=60°，
∵D，M关于AH对称，
∴，
∴DM=4，
∴DM CD，
∵∠CDM=∠MDO+∠CDB=90°+30°=120°
∴∠M=∠DCM=30°，
∴∠CBD=∠CDB=∠M=∠DCM
∵CD=CD，
∴△CDM≌△BCD(AAS)，
∴，
则EC+FC的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质得到AB=4，∠ABD=30°，根据平移的性质得到EG=AB=4，推出四边形EFCD是平行四边形，得到ED=FC，于是得到EC+FC的最小值EC+ED的最小值，根据平移的性质得到点在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M连接CM交定直线于AB，解直角三角形即可得到结论.
19．【答案】解：
=-4
【解析】【分析】本题首先判断绝对值里面的的正负性、tan30°的值、（π-3.14）0的值，并对进行变形，然后进行计算即可。
20．【答案】（1）
（2），
21．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC，DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF，
∴OE＝OF
【解析】【分析】在平行四边形ABCD中OA＝OC，DF∥EB，故由两直线平行内错角相等可得∠E＝∠F，再结合对顶角相等即∠EOA＝∠FOC，从而可利用AAS证得△OAE≌△OCF，即可得到OE＝OF.
22．【答案】（1）200
（2）30%；80
（3）
【解析】【解答】解：（1）20÷10%=200人；（2）a=60÷200×100%=30%；b=200×40%=80
故答案为：（1）200；（2）30%，80.
【分析】（1）从“参赛人数及统计表”中的歌咏项目或者绘画项目，即可计算出参赛总人数，即本次调查中共抽取的学生数量；（2）根据（1）题的计算结果，即可分别求出a和b的值；（3）因为四个项目都有百分比数据，因此用扇形图更加直观反映各项目参赛人数的比例。
23．【答案】
24．【答案】（1）A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
（2）当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元．
25．【答案】（1）N1(1，1)，N2(2，2)
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
点是抛物线上的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，，当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
是直角三角形；
（3）解：抛物线上存在点P、使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形 ，理由如下：
由（2）可得，，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，
，
点、在直线上，
点在二次函数上，
联立，
解得：，
点的坐标为或．
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别为A(-1，2)，B(-1，-1)，C(3，-1)，D(3，2)，
∴矩形ABCD的“梦之点”(x，y)满足-1≤x≤3，-1≤y≤2，
∴点N1(1，1)，N2(2，2)是矩形ABCD的“梦之点”，点N3(3，3)不是矩形ABCD的“梦之点”；
故答案为：N1(1，1)，N2(2，2)；
【分析】（1）根据矩形各顶点坐标及“梦之点”定义判断出矩形矩形ABCD的“梦之点”(x，y)满足-1≤x≤3，-1≤y≤2，从而即可逐个判断得出答案；
（2）由“梦之点”定义可得点A、B的横坐标与纵坐标相同，从而令抛物线解析式中的y=x，求解得出x、y的值，得到A（3，3），B（-3，-3）；然后将抛物线的解析式配成顶点式得到点C（1，5），根据平面内两点间的距离公式算出AC、BC、AB，进而再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（3）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x，根据菱形对角线互相垂直得出PQ⊥AB，从而可得直线PQ为y=-x，联立直线PQ与抛物线的解析式求解即可得出点P的坐标.
26．【答案】（1）证明：∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠AEB=∠BCD，
∴AE//DC，
∴四边形AECD为平行四边形.
（2）解：∵AE⊥BF，
∴BG=GF
∵AE//DC，
∴
设GE=a，则CF=2a，
∵AE//DC，
∴
∵AH=CH，
∴AG=CF=2a，
∴AB=AE=3a，
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，
∴，
在Rt△BGE中，∠BEG=90°，
∴，
∴，
∴
（3）解：∵AE//DC
∴，
∵AH=CH，
∴CH=HF，AG=CF，
∵BG=GH，
∴BG=GH=HF，
∵AE//DC，
∴
∴
作AI⊥BC，垂足为点I，联结AF，
∵AB=AE
∴BI=IE，
设AB=x，BI=a，则，IC=5a，
∵AB=AE，
∴∠ABG=∠AFH，
∴△ABG≌△AFH(SAS)，
∴
∴
在Rt△ABI中，∠AIB=90°，
∴AI2=AB2-BI2=x2-a2，
在Rt△ACI中，∠AIC=90°，
∴，
∴，
∴
在Rt△ABI中，∠AIB=90°，
∴
【解析】【分析】(1)根据圆的性质以及等腰梯形的性质，可以得出AE//CD，在根据梯形中AD//CE，即可证明；
(2)由垂径定理可以得出BG=GF，在根据平行线分线段成比例可以得出CF和GE的关系，设GE=a，根据勾股定理以及平行线分线段成比例表示出AB和BC的长即可求解；
(3)过A作BE垂线，交BE于I，连接AF，根据平行线分线段成比例可以得出EG和AG的比，设AB=x，BI=a，用x和a表示出CI和AC，根据勾股定理求出，即为∠ABC的余弦值.

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