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模拟预测试题
2025年中考数学复习备考
一、单选题
1．湖南省某中学地理兴趣小组开展气温观测活动发现1月某日受强冷空气影响，白昼阳光充足时最高气温达，而夜间辐射降温显著，最低气温降至．该日娄底最高气温比最低气温高（ ）
A．1℃ B．5 ℃ C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．截至2025年 4 月 3 日22点39分，《哪吒之魔童闹海》全球票房 155 亿暂列全球第五，海外票房超 4894 万美元进国产出海前十，影片以中国神话为核心，融合非遗音乐与东方美学，而“我命由我不由天” 的价值观引发全球共鸣，成为中国文化软实力输出的重要里程碑．其中数据“155亿”用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
4．鲁班锁（孔明锁如图1）是中国古代榫卯结构的巅峰之作，相传由鲁班发明．其组件通过木条的穿插咬合形成稳固结构，体现了“天衣无缝”的匠心．某组件由六根等长木条组成，其中一根长木条形状如图2，则其俯视图是（ ）

A． B．
C． D．
5．不等式组的解集为（ ）
A．且 B．且
C． D．且
6．冰壶，这项被誉为冰上 “国际象棋” 的运动，在冰面展开智慧与技巧的较量．瞧，这是奥运会冰壶比赛的某场赛事中红、黄两队某局投壶结束后的场景，冰壶散落分布．此刻，我们以冰壶大本营的中心点作为原点，构建起平面直角坐标系．比赛规则很明确，哪队的冰壶距离原点更近，哪队就是本局赢家．则胜方最靠近原点的壶所在位置位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．东汉数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽弦图”），以形证数，巧妙证明了勾股定理．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（ ）

A．2 B． C．3 D．
9．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且互为相反数，轴，若以为边作面积为24的矩形，点刚好落在的函数图象上，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解： .
12．如图，在正五边形中，连接，则的度数为 ．
13．已知方程组，则x-y的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ．
15．在平面直角坐标系中，点A是反比例函数（）图象上的一点，如图，将线段向左平移，平移后的对应线段为，点落在反比例函数的图象上，已知线段扫过的面积为8，则 ．
16．如图是边长为2的等边三角形，D为内（包括的边）一动点，且满足，则的长度m的取值范围为 ．
17．如图，矩形中，点E，F，G，H分别在，，，上，，连接，作线段关于直线对称的线段，点，恰好落在线段，上，则 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
(2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
20．寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10．
下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4．
(1)上述图表中___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？
21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
(1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
(2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）
22．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
(2)若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
24．【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）
例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形．
【实践与操作】
（1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
求证：四边形为单直邻等四边形；
【拓展应用】
（3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长；
【解决问题】
（4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长．
25．定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”．
(1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________．
(2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标；
(3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且．
①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值；
②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
(4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B A A C B D C
1．D
本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用最高气温减去最低气温即可得到答案．
解：，
∴这天的最高气温比最低气温高，
故选：D．
2．B
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：B．
3．A
本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案．
解：155亿，
故选：A．
4．B
本题考查了简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：该组件的俯视图是：
故选：B．
5．A
本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找来确定不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为且，
故选：A．
6．A
本题主要考查了点所在象限的确定，找到胜方壶所在的位置成为解答本题的关键．先找到最靠近原点的壶所在方位，然后指出其所在的象限即可．
解：根据题意可得，最靠近原点的壶在原点的右上方，
胜方最靠近原点的壶所在位置位于第一象限．
故选：A．
7．C
本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质即可得出答案．
解：为的直径，
，
，
，
，
故选：C．
8．B
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解答本题的关键．证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案．
解：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：B．
9．D
本题考查了反比例函数的图象与性质，根据题意可知，设，则，，由矩形的面积可知，求出，进而即可求出答案．
解：互为相反数，
，
设，则，，
，，
矩形的面积为24，
，
，
点在反比例函数的图象上，
点的横坐标乘以纵坐标等于6，
故选：D．
10．C
本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键．
令，则，再利用建立方程解得，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质进行分析即可．
解：令，则
∴
解得，
∴
∵开口向下，顶点为，
∴的最大值为，
∵或时，，
∴当时，最小值为，则，且时，
解得，
故答案选：C
11．
根据因式分解的概念可得到答案.
a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
本题主要考查了因式分解的概念，解本题的要点在于熟知因式分解的步骤.
12．/72度
本题考查正多边形的性质，掌握正多边形的各边相等，各角也相等是解题的关键．
解：∵是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．-1
用方程①减去方程②进行计算即可解答．
解：，
①-②得：x-y=-1，
∴x-y的值为-1，
故答案为：-1．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中整体的思想是解题的关键．
14．
本题考查坐标与位似，根据关于原点位似，位似比为的两个位似图形对应点的横纵坐标之比为或，进行求解即可．
解：由题意，得：点的坐标为，即：；
故答案为：
15．
本题考查了反比例函数与几何的综合应用，平移的性质，解题的关键是通过平行四边形的面积公式进行求解．
设点，根据平移的性质可得，根据线段扫过的面积为和平行四边形的性质可得，即可求得．
解：设点，根据平移的性质可得，
则，
故线段扫过的面积为，
解得，
∴，
故答案为：．
16．
将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，求出∠BDA=150°，确定点D在以F为圆心，AB为半径的圆上运动，根据点与圆的位置关系即可求解．．
解：将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，由旋转可知，△CDE是等边三角形，EB=AD，∠CEB=∠CDA，
∵，即，
∴∠DBE=90°，∠BDE+∠BED=90°，
∠CDA=∠CEB=60°+∠BED,
∴∠CDA+∠BDE=60°+∠BED +∠BDE =150°，
∵∠CDE=60°，
∴∠BDA=360°-(∠CDA+∠BDE )- ∠CDE =150°，
将点C沿AB翻折，得到点F，
∴点D在以F为圆心，AB为半径的圆上运动，
等边与的边长都为，则等边三角形的高为，
，
，
即，
故答案为：．
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理逆定理、圆周角的性质，解题关键是通过作辅助线，确定点D的运动路径．
17．/
过点于点M，连接，，证明四边形为矩形，得出，根据折叠得出，，，，，根据三角形函数定义得出，求出，证明，得出，证明四边形为菱形，得出，证明，得出．
解：过点于点M，连接，，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，，，，，
∵，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
本题主要考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
18．(1)3
(2)
本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，分式的乘除加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简特殊角以及零次幂，负整数指数幂，绝对值，再运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简后再运算加法，即可作答．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
(2)学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
根据题意得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
20．(1)，，40；
(2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析；
(3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．
本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体．
（1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值；
（2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论；
（3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可．
（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多，
∴；
，
，
∵，
∴下午的中位数在C组，
∴，
，
∴，
故答案为：，，40；
（2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午，
∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高；
（3）解：（人），
答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．
21．(1)
(2)高度是增加了，增加了约
本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解．
（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：支点C离桌面的高度为．
（2）解：过点C作，过点E作于点H，
∴．
∵，，
∴．
当时，；
当时，；
∴
∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约．
22．(1)
(2)当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元
此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质进行解答即可．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为．
把点代入，
得
解得
与之间的函数关系式为．
（2）根据題意，得．
解得．
．
．
∴抛物线的开口向下．
对称轴为直线，
在时，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时，
答：当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元．
23．(1)见解析
(2)
本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
（1）证明：连接，如图，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
过点B作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）2或6．
本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论．
（1）作的垂直平分线，交于点，即可解答；
（2）可得出，可证得，从而，进而得出结论；
（3）连接，作于，可证得，从而，，从而得出点、、、共圆及的值，进而求得的值，解直角三角形求得，进而得出的值；
（4）作于，设，交于点，当点在上时，解直角三角形求得和的值，从而求得的值，从而得出的值，依次求得，的值，进而求得的值；当点在延长线上时，同理求得的值．
（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则可得，
故四边形是单直邻等四边形，
；
（2）证明：是等边三角形，
，，
平分，
，
绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为单直邻等四边形；
（3）解：如图，连接，作于，
，，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，，
，
点、、、共圆，
，，
，，
，
，
；
（4）解：如图，作于，设，交于点，当点在线段上时，
，，
，
，，
，
，
，平分，
，
，
，
如图，
当点在的延长线上时，
由上知，，，
，
，
，
，
综上所述：或6，
故答案为：2或6．
25．(1)；
(2)点A的坐标是或；
(3)①；②存在，a的值是1或；
(4)或．
（1）根据“m阶差值点”的定义，逐一分析判断即可；
（2）根据题意，可设，根据“2阶差值点”的定义可得关于的方程，整理并求解，即可获得答案；
（3）①首先确定点坐标，点坐标，结合“阶差值点”的定义，即可获得答案；
②根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，当点C，M是一对“1阶差值点”时，首先确定点坐标，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，证明，结合全等三角形的性质可确定点坐标，进而确定的值；同理当点在点C上方时，求解a 的值，即可获得答案；
（4）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，易知直线经过由组成的正方形区域（含边界），然后分和两种情况讨论，分别求解即可．
（1）解：对于点，，
∵，
∴点，不是一对“3阶差值点”；
对于点，，
∵，
∴点，是一对“3阶差值点”；
对于点，，
∵，
∴点 不是一对“3阶差值点”．
故答案为：；
（2）根据题意，可设，
∵点，是一对“2阶差值点”，
∴，整理可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴点A的坐标为或；
（3）①∵抛物线的对称轴为，
∴，
将代入，可得，
∴点，
∵点M，C是一对阶差值点，
∴，解得，
②存在，
根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，
当点C，M是一对“1阶差值点”时，如下图，
则有，解得，
∴，
过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
将点代入，
得；
同理当点在点C上方时，如下图，
可得，
将点代入，
得 ．
综上所述，a 的值是1或；
（4）若点，是一对“m阶差值点”，
则有，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，
又，可得，
∴，
又∵直线过点，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，
即直线经过由组成的正方形区域（含边界），如图，
当时，
令，则有，
此时，解得，即m的取值范围为；
当时，
令，则有，
此时，解得，即m的取值范围为．
综上所述，m的取值范围为或．
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