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期末综合试题 2024-2025学年下期
初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．7，24，25 D．，，
3．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为S，将从扭动到，则四边形面积为（ ）
A．S B． C． D．
4．使二次根式有意义的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
6．某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元 5 10 20 50 100
人数 4 16 15 9 6
则他们捐款金额的中位数和众数分别是（ ）
A．10，20.6 B．20，16 C．10，30.6 D．20，10
7．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣5，0） C．（1，0） D．（0，﹣1）
8．如图，函数()和()的图象相交于点A，则不等式＞的解集为（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
9．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
10．如图，菱形对角线交于点O，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B．设运动时间是x秒，的长度是y米，右图反映了y随x变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ）

A．点H与点N、点Q的纵坐标相同 B．的最小值为米
C． D．的周长是16米
二、填空题
11．请写出一个介于和之间的数为 ．
12．如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ．
13．某食堂午餐供应10元、16元、20元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是 元．
14．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 ．

15．如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为

三、解答题
16．计算．
17．今年春节期间，开封跻身全国热门文旅目的地前五名，人们常常穿着汉服进入各大景区，汉服的销售成为热门，某汉服商店计划购进，两款汉服，为调研顾客对两款汉服的满意度，调整进货方案，设计了下面的调查表．
序号 维度 分值 款得分 款得分 满意度打分标准
1 舒适性 20 不满意 基本满意 满意 非常满意
2 性价比 20
3 时尚性 20
商店随机抽取了20名顾客试穿两款汉服，并对其进行评分，收回全部问卷，并将调查结果绘制成如下统计图和统计表．
、两款汉服性价比满意度人数分布统计图 、两款汉服各项得分平均数统计表
舒适性得分平均数 性价比得分平均数 时尚性得分平均数 综评平均数
注：将舒适性、性价比和时尚性三个方面得分的平均数按的权重计算，可得出综评平均数．（表中数据精确到0.1）
款汉服性价比满意度得分在范围的数据是：
11 12 13 13 13 14 14 14
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次调研中款汉服性价比满意度达到“非常满意”的人数为________；
(2)补全条形统计图，根据图、表中信息可得出：款汉服性价比得分的中位数为________分；
(3)根据统计图、表中数据，请计算款汉服综评平均数，并参照调查问卷中的满意度打分标准，直接写出顾客对款汉服的满意度情况．
18．如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行40海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．

(1)直接写出的度数；
(2)小刚想知道轮船行驶到处时，该轮船距灯塔的距离，他过做于点．请帮小刚画出图形并求的长．
19．求证：平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．
以下是不完整的证明过程，请补充完整并证明．
已知：如图，中，，相交于点，过点作，________，垂足分别为，．求证：________
20．如图，在矩形中，，是对角线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长．
21．某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题．
(1)如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________；
(2)如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案．
22．随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间．某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电．经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，其电量y与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段 ．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求线段和线段所代表的函数解析式；（写出取值范围）
(2)在某次出行之前，李梅要对余电的电车充电，先用快速充电桩充电，再用普通充电桩充电，要求用2.5小时完成充电，请你设计一个合理的充电方案．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．在正方形的边上选一点，沿折叠，使点落在正方形的内部．
(1)操作判断
①如图①，当点落在正方形的对角线上的点处时，连接并延长，交的延长线于点，则________．
②如图②，改变点的位置，当点落在正方形的内部任意一点处时，________．
(2)迁移探究
如图③，当点落在正方形的对角线上的点处时，过点作于点，于点，连接，，试猜想，的数量关系并证明．
(3)拓展应用
延长交正方形的一边于点，已知正方形的边长为8，当是等腰三角形时，直接写出的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C D A A B B
1．B
【详解】试题分析：判断一个二次根式是最简二次根式的条件是：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.据此判断，A项中被开方数4，可以写成22，能被开方，不是最简二次根式，B项中的被开方数5，符合条件，所以是最简二次根式，C项中的被开方数是分数，不符合条件，D项中的根式作分母，不符合条件，故选B.
考点：最简二次根式的定义.
2．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：一个三角形中，若较短两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．依次检验各个选项当中较短的两条线段的平方和是否等于最长的线段的平方．若相等，则此三条线段能组成直角三角形，若不相等，则此三条线段不能组成直角三角形．
【详解】解：A．，
∴4，5，6不能组成直角三角形，故不符合题意；
B．，
∴5，12，15不能组成直角三角形，故不符合题意；
C．，
∴7，24，25能组成直角三角形，故符合题意；
D．，
∴，，不能组成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
作，交于点，如图所示，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件，即可解答．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得．
故选D．
5．C
【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、平行四边形性质等知识，由题意，根据三角形的中位线定理可得，再由平行四边形的性质可得答案，熟记三角形中位线判定与性质、平行四边形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在中，是边的中点，是对角线的中点，则是的中位线，
，解得，
在中，，
故选：C．
6．D
【分析】此题考查了中位数与众数，解题时注意：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)．根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，进行判断即可．
【详解】解：共有50名学生的捐款，
中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为20，20，,
中位数是；
金额10元出现的次数最多，
众数为10，
故选：D．
7．A
【分析】根据OA=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，从而求出OP的长即可．
【详解】解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AB=，
∴AP=AB=5，
∴OP=1，
∴P（-1，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AP是解题的关键．
8．A
【详解】解：由图象可以看出当 时，的图象在 图象的上方，
所以 的解集为.
故选：A.
9．B
【分析】首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°．
∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，∴∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=60°．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．B
【分析】题目主要考查函数图象及菱形的性质，根据题意，结合函数图象得出运动路线为是解题关键．
根据题意得出，结合图形确定运动路线为，得出点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置，然后利用菱形的性质及勾股定理依次判断即可．
【详解】解：根据题意，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，
∴，
根据图象得最低点P对应点O位置，运动路线为，
∴点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置，
∴点H与点N、点Q的纵坐标相同，正确，A选项不符合题意；
∵，
∴，
∴的最小值为3米，B选项错误，符合题意；
根据图象得运动时间一共是9秒，总路程为9a，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，
解得：（负值舍去），正确，C选项不符合题意；
∴，
的周长为：米，正确，D选项不符合题意；
故选：B．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
直接根据无理数比较大小即可得出结果．
【详解】解：，
介于和之间的数为：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12．4
【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可．
【详解】解：∵中，
∴，
∵以为直径的半圆面积分别为9和5，
∴，
即，
∴以为直径的半圆面积为：，
故答案为：4．
13．13
【详解】试题解析：
故答案为
点睛：题目主要考查加权平均数.分别用单价乘以相应的百分比然后相加，计算即可得解.
14．2
【分析】根据一次函数解析式求出点的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出点的坐标，从而得出点的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．
【详解】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
∴OD＝OB＝×4＝2．
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴ OCDE的面积＝OC OD＝1×2＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．
15．
【分析】如图所示：连接，在菱形中，得，由，可得四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即的最小值，即可得出．
【详解】解：如图所示：连接，

∵在菱形中，，
，，，
，
，，
∴四边形是矩形，
，
的最小值，即最小值，
∴当时，最小，
，
，
最小为，
即的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解此题的关键．
16．．
【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的混合运算，先计算完全平方公式，二次根式的乘法，化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：原式，
．
17．(1)6
(2)11.5，图见解析
(3)B款汉服综评平均数分，顾客对B款汉服非常满意
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握运用百分比求总体数量的方法，中位数的计算方法，根据数据作决策的方法是解题的关键．
（1）根据非常满意的百分比即可求解；
（2）根据条形图的数据可求出基本满意的人数，可补全条形统计图，根据中位数的计算方法可得中位数，由此即可求解；
（3）根据B款汉服的数据即可求解，根据B款汉服的各项得分即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意，非常满意的百分比为，
∴（人），
故答案为：6；
（2）解：共有人，
∴基本满意的人数为：（人），补全条形统计图如下，
B款汉服性价比得分的中位数是第10，11位顾客分数的平均值，
∴，
故答案为：；
（3）解：，
∴款汉服综评平均数为，
舒适性得分和性价比得分都是非常满意，时尚性得分平均数是满意，
∴顾客对B款汉服非常满意．
18．(1)
(2)的长为海里，图见解析
【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）由题意得出，，，，求出，的度数，再利用三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）根据题意画出图即可，由题意得出海里，根据含角的直角三角形的性质得出的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，，，，
∴，，
∴；
（2）解：如图，过做于点，则，

由题意得：海里，
由（1）可得，，
∴海里，
∴海里，
∴海里，
∴的长为海里．
19．；；证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全都三角形的判定与性质，由题意得出，由平行四边形的性质得出，，证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：已知：，求证：
证明：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)图见解析
(2)
【分析】（1）根据作垂直平分线的步骤作图即可；
（2）如图，记与的交点为，则，，，证明，则，由，证明四边形为菱形，设，则，，由勾股定理得，，即，可求，进而可求菱形的周长．
【详解】（1）解：如图，垂直平分线，点，即为所作；
（2）解：如图，记与的交点为，
∵垂直平分，
∴，，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，
∵，
∴菱形的周长为．
【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
21．(1)，详见解析
(2)，详见解析
(3)当人数时，按普通门票购票省钱；当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；当人数时，按团体门票购票省钱，详见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用，
（1）买普通门票可根据：买票总费用＝门票单价×门票张数，列函数关系式；
（2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即，利用打折后的票价乘人数即可；
（3）根据8张普通门票的费用张团体门票费用，分类讨论：、、三种情况讨论；
根据数字特点找出临界点是解决问题的关键．
【详解】（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴，
故答案为：；
（2）∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴；
（3）∵，
当人数时，按普通门票购票省钱；
当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；
当人数时，按团体门票购票省钱．
22．(1)线段所对应的函数解析式为，线段所对应的函数解析式为
(2)先用快速充电桩充电小时，再用普通充电桩充电小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次方程的应用，求出解析式是解决本题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）设先用快充充电x小时，建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：设线段所对应的函数解析式为：，将分别代入得：，解得，
∴线段所对应的函数解析式为 ，
设设线段所对应的函数解析式为：，将分别代入得：，解得，
∴线段所对应的函数解析式为．
（2）解：设先用快充充电x小时，则再用慢充充电小时，
由题意得：，
解得：，
所以方案为：先用快速充电桩充电小时，再用普通充电桩充电小时．
23．(1)①；②；
(2)，证明见解析
(3)6或
【分析】（1）①过点作于点，根据正方形的性质和折叠的性质，得到，，易证，得到，进而得出，即可求出的度数；
②过点作于点，同①可得出，即可求出的度数；
（2）连接，根据正方形的性质，易证，得出，再证明四边形是矩形，得到，即可得出结论；
（3）由题意可知，只有时，等腰存在，分两种情况讨论：①当点在边上时；②当点在边上时，设，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：①如图①，过点作于点，
四边形是正方形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②如图②，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
由折叠的性质可知，，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图③，连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
（3）解：正方形的边长为8，
，，
由折叠的性质可知，，
当是等腰三角形时，
由题意可知，，
即只有时，等腰三角形存在，
①如图④，当点在边上时，
设，则，，
在中，，
，
解得：，即，
；
②如图⑤，当点在边上时，
设，则，，
在中，，
，
解得：，即，
；
综上可知，当是等腰三角形时，的长为6或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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