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期末综合试题 2024-2025学年下期
初中数学人教版七年级下册（新教材）
一、单选题
1．刺梨花是贵州黔南好花红布依族的标志，它象征着坚韧不拔的精神．如图，将其放在平面直角坐标系中，若图片中A，B两点的坐标分别为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．36的平方根是（ ）
A． B． C．6 D．
3．若整数满足，则等于（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
4．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．某地为了方便人们绿色出行，推出了共享单车服务．如图1是共享单车的实物图，图2是其示意图，其中，，，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列式子变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
7．方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（ ）
A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1
8．某校拟用不超过3600元的资金在新华书店购买《九章算术》和《几何原本》共40本供学生借阅，其中《九章算术》每本72元，《几何原本》每本60元，学校最多可以购买《九章算术》多少本？设学校可以购买《九章算术》x本，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题
11．已知：实数满足关系式，求的平方根是 ．
12．以下问题：①调查某校六年级学生的视力情况，②调查某班学生的兴趣爱好，③调查全国私营企业的经营情况，④调查某校40岁以下青年教师的学历情况，⑤调查某车企生产的某批次新能源车的防撞安全性．其中适合采用抽查的是 （填写序号）．
13．已知关于、的方程组的解满足，则的值是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．
15．如图，将沿边向右平移得到，DE交AC于点G．若，，连接AD，则的值为 ．
16．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组，并写出它的所有正整数解．
19．已知和是某正数的两个平方根，的立方根为2，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
20．请将解答过程填写完整：
如图，，，若，求的度数．
解：（已知），
（_____）．
，
_____（等量代换）．
∥_____．
_____（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
_____（等式的性质）．
21．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校900名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图，请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求本次调查的学生的人数；
(2)请通过计算将条形统计图补充完整；
(3)试估算全校大约有多少学生读完了2部以上（含2部）名著？
22．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点．
(1)点的坐标________，的坐标________；
(2)请画出平移后的三角形；
(3)求三角形的面积．
23．某商店准备采购甲、乙两种玩具360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件．
(1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元；
(2)若甲种玩具数量不高于80件，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？
(3)若甲种玩具每件售价降低元，乙种玩具售价不变，在（2）的采购方案中，该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，直接写出的值．
24．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．
【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______；
【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数；
【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
25．在平面直角坐标系中、，a、b满足．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C B C D D A D
1．C
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，即可得到点C的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系；
则点C的坐标为，
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：36的平方根是，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法．
分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可．
【详解】解：∵，即，
，即，
，即，
∴，即
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据有理数与无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故A选项不符合题意；
B、，是整数，属于有理数，故B选项不符合题意；
C、是无理数，故C选项符合题意；
D、是分数，属于有理数，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等得到即得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】此题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，等式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．由，得，故选项A错误；
B．由，得，故选项B错误；
C．由，得，故选项C正确；
D．由，得，故选项D错误．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值．
把代入中即可求出的值，然后即可计算的值，从而求出被遮盖的两个数．
【详解】解：把代入中得，，
把，代入中得，，
∴□表示的数是5，△表示的数是1，
故选：D．
8．D
【分析】利用数量乘以单价等于费用，分别计算各自需要的费用，利用总费用小于等于3600元，建立不等式解答即可．
本题考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键．
【详解】解：设学校可以购买《九章算术》x本，根据题意得，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可．
【详解】解：如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组．
设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可．
【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，

∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方根．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方，并进一步求其平方根即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
∴，的平方根为．
故答案为：．
12．③⑤/⑤③
【分析】本题考查了普查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据两种调查的特征进行判断即可．
【详解】解：根据两种调查的特征，适宜普查的有①②④，适宜抽样调查的有③⑤；
故答案为：③⑤．
13．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，确定字母与方程组的解之间的关系是解题的关键．
结合方程组用含有k的代数式表示出，再代入关系式，求出解即可．
【详解】解：，
，得，
即．
因为，
所以，
解得．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据点的坐标的平移规律计算即可得解．
【详解】解：∵将的顶点A平移至点的位置，
∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴平移后点C的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查平移的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质．由平移的性质得到：，由得到，由，得到，由，推出，进而求出的值．
【详解】解：由平移的性质得到：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．3
【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可．
【详解】解：分析第二个方程
1.若为偶数，
则, 化简得：
，
2.若为奇数，
则, 化简得：
，
处理第一个方程，
情况1：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：
奇偶性分析：
为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。
因此，外层运算结果为：
，
根据方程：
，整理得：，
3.联立方程1和方程3，
，
解得：。
情况2：，
1.计算内层运算，
，
因此，。
2.计算外层运算，和为：(必为奇数)，
因此，外层运算结果为：，
根据方程：
，
解得： (非整数，不符合题意)，
综上所述，的值为3．
17．
【分析】本题考查实数混合运算，解题的关键步骤包括：立方根符号的处理、平方根的非负性、绝对值的化简．本题首先分别处理每个根号和绝对值，再将结果相加即可得出答案．
【详解】解：
．
18．不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2．
【分析】本题考查解不等式组与不等式组的正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键．
先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是，
则不等式组的正整数解是1，2．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据平方根的概念求出 ，即可得到 ；
（2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把, , 代入 计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵和是某正数的平方根，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵的立方根是，
∴，
∴；
∵是的整数部分，，
∴，
∴，
的平方根是．
20．见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据题意，利用平行线的判定和性质填空即可．
【详解】解：（已知）
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴．
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知）
（等式的性质）．
21．(1)40人
(2)见解析
(3)全校大约有540名学生读完了2部以上（含2部）名著
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）利用阅读2部的人数除以其百分比，即可解题；
（2）利用总人数减去阅读0、2、3、4部的人数，进而得到阅读1部的人数，进而补全条形统计图，即可解题；
（3）利用900乘以读完了2部以上（含2部）的人数所占比，即可解题．
【详解】（1）解：本次调查被调查的学生为：（人）；
（2）解：1部的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
∴全校大约有540名学生读完了2部以上（含2部）名著．
22．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了作图-平移变换，作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．
（1）先根据点的对应点判断平移的方式，进而可求出点，的坐标；
（2）根据（1）的结论描点连线即可；
（3）用割补法求解即可．
【详解】（1）∵点的对应点，
∴将三角形先向左平移5个单位，再向下平移2个单位得三角形，
∵，，
∴，．
故答案为：，；
（2）如图，三角形即为所求
（3）．
23．(1)甲、乙两种玩具每件的进价分别为90元，70元；
(2)该商店有5种采购方案．
(3)
【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的应用，一次函数的应用；
（1）设甲、乙两种玩具每件的进价分别为元，元．利用购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元，再建立方程组解题即可；
（2）设该商店购进甲种玩具件，则依题意知购进乙种玩具件，利用乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，再建立不等式组解题即可；
（3）设总利润为元．则，再结合一次函数的性质解答即可；
【详解】（1）设甲、乙两种玩具每件的进价分别为元，元．
依题意可得：，
解得：，
答：甲、乙两种玩具每件的进价分别为90元，70元；
（2）解：设该商店购进甲种玩具件，则依题意知购进乙种玩具件，
依题可得，
解得：
∵为整数，
或或或或．
故该商店有5种采购方案．
（3）解：设总利润为元．则
，
∵，∴，
当时，，
解得：．
24．操作判断：
迁移探究：
拓展应用：不变，
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键：
[操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系；
[迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可；
[拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解．
【详解】［操作判断］：如图1，过点E作
，
，，
∵
∴

故答案为：
［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
［拓展应用］：不变，
理由如下：过点E作
，
，
设，则，
、分别平分、
，
25．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解；
（2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解；
（3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：设E为，
分以下两咱情况讨论：
①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接，
则
，
∴，，
②当E在直线下方时，同样可得，
∴，，
∴点E的坐标为或；
（3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、，
依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P在梯形的内部时，
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
解得，
∴；
②如图，当点P在梯形的下方时，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点在x轴上，
如图，作轴于G，连接，
，
，
∴，
解得，
∴，
综上所述，P点的坐标为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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