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贵州省贵阳市2023-2024学年度第二学期期末监测试卷高一数学试题（含答案）
1．（2024高一下·贵阳期末）已知，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·贵阳期末）周明同学本学期的8次数学测验成绩为：.则这8次成绩的第80百分位数为（　　）
A．86 B．88 C．90 D．87.5
3．（2024高一下·贵阳期末）已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·贵阳期末）关于事件和事件，下列说法错误的是（　　）
A．若与互为互斥事件，则
B．若，则与互斥
C．若与互斥，则
D．若与相互独立，则
5．（2024高一下·贵阳期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（2024高一下·贵阳期末）若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据：，下列结论正确的是（　　）
A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32
C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为8
7．（2024高一下·贵阳期末）如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．（2024高一下·贵阳期末）在中，，且是边上一点，且，则的值为（　　）
A． B．6 C． D．0
9．（2024高一下·贵阳期末）中角所对的边分别为，若，则下列结论正确的有（　　）
A．若，则有一个解
B．若有两个解，则有可能等于
C．若为等腰三角形，则或4
D．若为直角三角形，则一定为2
10．（2024高一下·贵阳期末）如图，在正方体中，点在线段上运动时（包括点），下列命题正确的是（　　）
A．三棱锥的体积不变
B．直线一定与平面平行
C．直线与夹角余弦值的取值范围为
D．当时，二面角的余弦值为
11．（2024高一下·贵阳期末）若复数满足，则复数的虚部为　 　.
12．（2024高一下·贵阳期末）已知向量满足，则　 　.
13．（2024高一下·贵阳期末）有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为　 　.
14．（2024高一下·贵阳期末）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为　 　.
15．（2024高一下·贵阳期末）豌豆是自花传粉 闭花受粉的植物，在自然条件下只能进行自交.踠豆叶子黄色（）相对绿色（）为完全显性，即：都表现为黄色，表现为绿色.现有遗传因子组成为和的亲本植株杂交，子一代植株的遗传因子为.令子一代植株自交，获得的子二代植株遗传因子组成有三种类型：.据此回答下列问题：
（1）通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率为　 　.
（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率为　 　.
16．（2024高一下·贵阳期末）在中，点在边上，且，设.
（1）用表示；
（2）若且，求.
17．（2024高一下·贵阳期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18．（2024高一下·贵阳期末）根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长（用计算），恢复到2019年假日同期水平的（用计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：
得分
频率 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10
（1）求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.
（2）根据表格估计“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（3）陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为的游客中按的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.
19．（2024高一下·贵阳期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点.
（1）设平面与直线相交于点，求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的大小.
20．（2024高一下·贵阳期末）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程
在复数集内的根为，容易得到
设实系数一一元三次方程①
在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为
展开得：②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
（1）对于方程在复数集内的根为，求的值；
（2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系；
（3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数z对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】由复数乘法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数z在复平面内对应的点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为周明同学本学期的8次数学测验成绩为：，
又因为，
所以这8次成绩的第80百分位数为.
故答案为：B.
【分析】将数学测验成绩从小到大排列，再根据第80百分位的定义，从而计算得出这8次成绩的第80百分位数.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设点坐标为，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而得出点C的坐标.
4．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，若与互为互斥事件但不对立，
则不成立，故A符合题意；
对于B，若，这意味着若发生则一定不发生，
换言之，则与互斥，故B不符合题意；
对于C，若与互斥，
则，，故C不符合题意；
对于D，若与相互独立，
则，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由互斥事件、对立事件定义可判断选项A、选项B和选项C；由独立事件定义可判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
5．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，且，
则或斜交或或，故A错误；
对于B，由线面平行的性质可知，若，
则，故B正确；
对于C，设，，，
又因为，
所以，但不成立，故C错误；
对于D，若，
则或异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合线线位置关系判断方法、线面位置关系判断方法、面面位置关系判断方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，
则对于样本数据：，
平均数是，
标准差为.
故答案为：D.
【分析】由平均数、方差（标准差）的公式和性质，从而逐项判断找出正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：延长与直线相交于连接与分别交于点连接，
则五边形即为截面.
故答案为：C.
【分析】利用正方体的结构特征和已知条件，则把截面补形，再利用点共面可得过点的平面截该正方体所得的截面．
8．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
两边平方得，
化简得，
由三角形面积公式可得，
则
代入化简得，可得，
则
故答案为：C.
【分析】根据已知条件两边平方可得，再结合三角形面积公式得的长，从而得到的值，再利用代入计算得出的值.
9．【答案】A,B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，由余弦定理得，
则，
所以，解得，
所以有一个解，故A正确；
对于B，当时，由余弦定理得，
所以，解得，
因为，又因为，
所以有两个解，故B正确；
对于C，当时，，
当时，，
由正弦定理得，
则，
其中
，
所以，解得，故C错误；
对于D，若为直角，，
则；
若为直角，，
则，
则不一定为2，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由余弦定理得到，则三角形只有一个解，则判断出选项A；由余弦定理得的值，再根据得到有两个解，则判断出选项B；当时，，
当时，由正弦定理求出的值，则判断出选项C；若为直角时，，若为直角时，，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，连接，设该正方体的棱长为，
因为平面，平面，
所以平面，
因此点到平面的距离相等，
故，故A正确；
对于B，因为，面，面，
所以面，故B正确；
对于C，因为，
所以直线与夹角的大小等于，
设，
因为平面，平面，
所以，
所以，
在等腰直角三角形中，点在斜边上，
设到的距离为，
所以，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是，故C错误；
对于D，设分别为靠近的三等分点，连接，
显然，
因为，
所以，
又因为平面，
所以平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，平面平面，
平面，平面，
所以二面角的平面角为，
在直角三角形中，，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】只需证明平面，则可判断选项A；由线面平行的判定定理证出直线面，则可判断选项B；由异面直线所成的角得知直线与夹角的大小等于，故只需求出的取值范围，则可进一步得出直线与夹角余弦值的取值范围，则判断出选项C；设分别为靠近的三等分点，由二面角的定义可知二面角的平面角为，再结合解直角三角形知识得出当时的二面角的余弦值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数的虚部为为.
故答案为：.
【分析】由复数除法运算法则和复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，
所以底面是斜边为5的直角三角形，
设其内切圆半径为，三棱柱的高为，
由等面积法有，，解得，
如果该三棱柱存在内切球，这意味着，
所以该三棱柱的体积为.
故答案为：12.
【分析】由等面积法得出底面内切圆的半径，再结合已知条件可得三棱柱的高，再结合三棱柱的体积公式得出该三棱柱的体积.
14．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
结合正弦定理得，
所以，
又因为
所以，
又因为，
由，知，
当时，满足全部条件，此时，
所以周长的最大值为.
【分析】先由已知条件结合正弦定理得到，再证明，最后说明当时，，从而得到周长的最大值.
15．【答案】；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：（1）通过子一代植株自交后，
则子二代植株的叶子颜色是绿色（）的概率为.
（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的子叶颜色是绿色（）的，
则子二代遗传因子组成为：，
又因为子二代得到的概率为，
所以，子二代得到的概率为，
子二代得到的概率为，
则所求为.
故答案为：；.
【分析】（1）第一空由独立事件乘法求概率公式，从而得出通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率.
（2）第二空直接由独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而得出随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率
16．【答案】（1）解：在中，，
，
所以
.
（2）解：，
所以，
则，
由（1）可知，，
.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量的减法运算法则和数乘向量运算，从而用表示.
（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和（1）的结论，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
（1）在中，，
，则
.
（2），则，即，
由（1）可知
17．【答案】（1）解：因为，且角是三角形内的角，
所以，，
由正弦定理，得.
（2）解：由余弦定理，得，
则，
所以；
可得或-3，
因为是的一边，
所以，
由三角形面积公式，可得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件和平方关系以及正弦定理，从而得出的值.
（2）由余弦定理得出的值，再结合三角形面积公式得出的面积.
（1）因为，且角是三角形内的角，所以可得，
由正弦定理可得：.
（2）由余弦定理：，即，即；
可得或-3，因为是的一边，
所以，由三角形面积公式可得.
18．【答案】（1）解：由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为：万，
2019年同期接待游客人次为万.
（2）解：由表可得，游客的平均水平估计为：
.
（3）解：由题意可知，在得分为中分别抽选了2人（记为）
和4人（记为）为“幸运游客”，
所以从中选两人的可能结果有：
共15种，
其中各占一人的结果有：
共8种，
所以所求概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据2022年和2019年的数据的比例关系，从而得出2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次.
（2）由表得平均数等于每一组的平均值乘以频率的和，从而估计出“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平.
（3）根据比例找出得分为分别抽取2人和4人为“幸运游客”，再找出总的组合结果为15，各一人的结果有8种，再利用古典概率公式得出得分为 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.
（1）由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为万；
2019年同期接待游客人次为万.
（2）由表可得，游客的平均水平估计为
（3）由题意可知，在得分为中分别抽选了2人（记为）和4人（记为）为“幸运游客”.
所以从中选两人的可能结果有：共15种，
其中各占一人的结果有：
共8种，所以所求概率为.
19．【答案】（1）证明：因为底面为菱形，
所以，
因为平面，且平面，
所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）解：过作交于，连接，
平面平面，
，
又平面，
平面，
是直线与平面所成的角，
底面为菱形，且，
为等边三角形，且，
，
平面平面，
，且是的中位线，
在中，，
在中，，
，
则直线与平面所成的角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证出直线平面，再结合线面平行的性质定理得出，再结合线面平行的判定定理证出平面.
（2）先说明是直线与平面所成的角，再结合解三角形知识得出直线与平面所成角的大小..
（1）因为底面为菱形，所以，
因为平面，且平面，
所以平面；
因为平面，且平面平面，
所以；
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）过作交于，连接，
平面平面，
，
又平面，
平面，
是直线与平面所成的角，
底面为菱形，且，
为等边三角形，且，
，
平面平面，
，且是的中位线，
在中，，
在中，，
，即直线与平面所成的角为.
20．【答案】（1）解：由阅读材料可知：，
且
则.
（2）解：由材料可知：
一元四次方程可改写为，
展开得：
则.
（3）解：由题意，得的三个实根为，
设，
展开得
则，
则
又因为，
所以，
综上所述：当时，的最大值为-3.
【知识点】函数的最大（小）值；一元次方程根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题中阅读材料，按公式得出三个根之间的关系，再计算出的值.
（2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系.
（3）由题意得出的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得出，再计算出，最后结合求出的最大值.
（1）由阅读材料可知：，且
有：；
（2）由材料可知：一元四次方程可改写为
展开得：
故可得：
（3）由题有的三个实根为.
设，
展开得，
故，
则，
又，故，
综上：当时，的最大值为-3；
1 / 1贵州省贵阳市2023-2024学年度第二学期期末监测试卷高一数学试题（含答案）
1．（2024高一下·贵阳期末）已知，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数z对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】由复数乘法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数z在复平面内对应的点所在的象限.
2．（2024高一下·贵阳期末）周明同学本学期的8次数学测验成绩为：.则这8次成绩的第80百分位数为（　　）
A．86 B．88 C．90 D．87.5
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为周明同学本学期的8次数学测验成绩为：，
又因为，
所以这8次成绩的第80百分位数为.
故答案为：B.
【分析】将数学测验成绩从小到大排列，再根据第80百分位的定义，从而计算得出这8次成绩的第80百分位数.
3．（2024高一下·贵阳期末）已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：设点坐标为，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而得出点C的坐标.
4．（2024高一下·贵阳期末）关于事件和事件，下列说法错误的是（　　）
A．若与互为互斥事件，则
B．若，则与互斥
C．若与互斥，则
D．若与相互独立，则
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，若与互为互斥事件但不对立，
则不成立，故A符合题意；
对于B，若，这意味着若发生则一定不发生，
换言之，则与互斥，故B不符合题意；
对于C，若与互斥，
则，，故C不符合题意；
对于D，若与相互独立，
则，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由互斥事件、对立事件定义可判断选项A、选项B和选项C；由独立事件定义可判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
5．（2024高一下·贵阳期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，且，
则或斜交或或，故A错误；
对于B，由线面平行的性质可知，若，
则，故B正确；
对于C，设，，，
又因为，
所以，但不成立，故C错误；
对于D，若，
则或异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合线线位置关系判断方法、线面位置关系判断方法、面面位置关系判断方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
6．（2024高一下·贵阳期末）若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据：，下列结论正确的是（　　）
A．平均数是124.6，方差为64 B．平均数是124.6，标准差为32
C．平均数是123.6，方差为32 D．平均数是123.6，标准差为8
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：若样本数据：的平均数是62.3，方差为16，
则对于样本数据：，
平均数是，
标准差为.
故答案为：D.
【分析】由平均数、方差（标准差）的公式和性质，从而逐项判断找出正确的选项.
7．（2024高一下·贵阳期末）如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：延长与直线相交于连接与分别交于点连接，
则五边形即为截面.
故答案为：C.
【分析】利用正方体的结构特征和已知条件，则把截面补形，再利用点共面可得过点的平面截该正方体所得的截面．
8．（2024高一下·贵阳期末）在中，，且是边上一点，且，则的值为（　　）
A． B．6 C． D．0
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
两边平方得，
化简得，
由三角形面积公式可得，
则
代入化简得，可得，
则
故答案为：C.
【分析】根据已知条件两边平方可得，再结合三角形面积公式得的长，从而得到的值，再利用代入计算得出的值.
9．（2024高一下·贵阳期末）中角所对的边分别为，若，则下列结论正确的有（　　）
A．若，则有一个解
B．若有两个解，则有可能等于
C．若为等腰三角形，则或4
D．若为直角三角形，则一定为2
【答案】A,B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：对于A，由余弦定理得，
则，
所以，解得，
所以有一个解，故A正确；
对于B，当时，由余弦定理得，
所以，解得，
因为，又因为，
所以有两个解，故B正确；
对于C，当时，，
当时，，
由正弦定理得，
则，
其中
，
所以，解得，故C错误；
对于D，若为直角，，
则；
若为直角，，
则，
则不一定为2，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由余弦定理得到，则三角形只有一个解，则判断出选项A；由余弦定理得的值，再根据得到有两个解，则判断出选项B；当时，，
当时，由正弦定理求出的值，则判断出选项C；若为直角时，，若为直角时，，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．（2024高一下·贵阳期末）如图，在正方体中，点在线段上运动时（包括点），下列命题正确的是（　　）
A．三棱锥的体积不变
B．直线一定与平面平行
C．直线与夹角余弦值的取值范围为
D．当时，二面角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，连接，设该正方体的棱长为，
因为平面，平面，
所以平面，
因此点到平面的距离相等，
故，故A正确；
对于B，因为，面，面，
所以面，故B正确；
对于C，因为，
所以直线与夹角的大小等于，
设，
因为平面，平面，
所以，
所以，
在等腰直角三角形中，点在斜边上，
设到的距离为，
所以，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是，故C错误；
对于D，设分别为靠近的三等分点，连接，
显然，
因为，
所以，
又因为平面，
所以平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，平面平面，
平面，平面，
所以二面角的平面角为，
在直角三角形中，，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】只需证明平面，则可判断选项A；由线面平行的判定定理证出直线面，则可判断选项B；由异面直线所成的角得知直线与夹角的大小等于，故只需求出的取值范围，则可进一步得出直线与夹角余弦值的取值范围，则判断出选项C；设分别为靠近的三等分点，由二面角的定义可知二面角的平面角为，再结合解直角三角形知识得出当时的二面角的余弦值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
11．（2024高一下·贵阳期末）若复数满足，则复数的虚部为　 　.
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数的虚部为为.
故答案为：.
【分析】由复数除法运算法则和复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
12．（2024高一下·贵阳期末）已知向量满足，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
13．（2024高一下·贵阳期末）有一个底面边长分别为的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为　 　.
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，
所以底面是斜边为5的直角三角形，
设其内切圆半径为，三棱柱的高为，
由等面积法有，，解得，
如果该三棱柱存在内切球，这意味着，
所以该三棱柱的体积为.
故答案为：12.
【分析】由等面积法得出底面内切圆的半径，再结合已知条件可得三棱柱的高，再结合三棱柱的体积公式得出该三棱柱的体积.
14．（2024高一下·贵阳期末）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
结合正弦定理得，
所以，
又因为
所以，
又因为，
由，知，
当时，满足全部条件，此时，
所以周长的最大值为.
【分析】先由已知条件结合正弦定理得到，再证明，最后说明当时，，从而得到周长的最大值.
15．（2024高一下·贵阳期末）豌豆是自花传粉 闭花受粉的植物，在自然条件下只能进行自交.踠豆叶子黄色（）相对绿色（）为完全显性，即：都表现为黄色，表现为绿色.现有遗传因子组成为和的亲本植株杂交，子一代植株的遗传因子为.令子一代植株自交，获得的子二代植株遗传因子组成有三种类型：.据此回答下列问题：
（1）通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率为　 　.
（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率为　 　.
【答案】；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：（1）通过子一代植株自交后，
则子二代植株的叶子颜色是绿色（）的概率为.
（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的子叶颜色是绿色（）的，
则子二代遗传因子组成为：，
又因为子二代得到的概率为，
所以，子二代得到的概率为，
子二代得到的概率为，
则所求为.
故答案为：；.
【分析】（1）第一空由独立事件乘法求概率公式，从而得出通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率.
（2）第二空直接由独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，从而得出随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率
16．（2024高一下·贵阳期末）在中，点在边上，且，设.
（1）用表示；
（2）若且，求.
【答案】（1）解：在中，，
，
所以
.
（2）解：，
所以，
则，
由（1）可知，，
.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量的减法运算法则和数乘向量运算，从而用表示.
（2）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和（1）的结论，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
（1）在中，，
，则
.
（2），则，即，
由（1）可知
17．（2024高一下·贵阳期末）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：因为，且角是三角形内的角，
所以，，
由正弦定理，得.
（2）解：由余弦定理，得，
则，
所以；
可得或-3，
因为是的一边，
所以，
由三角形面积公式，可得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件和平方关系以及正弦定理，从而得出的值.
（2）由余弦定理得出的值，再结合三角形面积公式得出的面积.
（1）因为，且角是三角形内的角，所以可得，
由正弦定理可得：.
（2）由余弦定理：，即，即；
可得或-3，因为是的一边，
所以，由三角形面积公式可得.
18．（2024高一下·贵阳期末）根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长（用计算），恢复到2019年假日同期水平的（用计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：
得分
频率 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10
（1）求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.
（2）根据表格估计“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（3）陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为的游客中按的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.
【答案】（1）解：由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为：万，
2019年同期接待游客人次为万.
（2）解：由表可得，游客的平均水平估计为：
.
（3）解：由题意可知，在得分为中分别抽选了2人（记为）
和4人（记为）为“幸运游客”，
所以从中选两人的可能结果有：
共15种，
其中各占一人的结果有：
共8种，
所以所求概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据2022年和2019年的数据的比例关系，从而得出2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次.
（2）由表得平均数等于每一组的平均值乘以频率的和，从而估计出“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平.
（3）根据比例找出得分为分别抽取2人和4人为“幸运游客”，再找出总的组合结果为15，各一人的结果有8种，再利用古典概率公式得出得分为 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.
（1）由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为万；
2019年同期接待游客人次为万.
（2）由表可得，游客的平均水平估计为
（3）由题意可知，在得分为中分别抽选了2人（记为）和4人（记为）为“幸运游客”.
所以从中选两人的可能结果有：共15种，
其中各占一人的结果有：
共8种，所以所求概率为.
19．（2024高一下·贵阳期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点.
（1）设平面与直线相交于点，求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：因为底面为菱形，
所以，
因为平面，且平面，
所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）解：过作交于，连接，
平面平面，
，
又平面，
平面，
是直线与平面所成的角，
底面为菱形，且，
为等边三角形，且，
，
平面平面，
，且是的中位线，
在中，，
在中，，
，
则直线与平面所成的角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证出直线平面，再结合线面平行的性质定理得出，再结合线面平行的判定定理证出平面.
（2）先说明是直线与平面所成的角，再结合解三角形知识得出直线与平面所成角的大小..
（1）因为底面为菱形，所以，
因为平面，且平面，
所以平面；
因为平面，且平面平面，
所以；
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）过作交于，连接，
平面平面，
，
又平面，
平面，
是直线与平面所成的角，
底面为菱形，且，
为等边三角形，且，
，
平面平面，
，且是的中位线，
在中，，
在中，，
，即直线与平面所成的角为.
20．（2024高一下·贵阳期末）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程
在复数集内的根为，容易得到
设实系数一一元三次方程①
在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为
展开得：②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
（1）对于方程在复数集内的根为，求的值；
（2）如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，试找到根与系数之间的关系；
（3）已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值.
【答案】（1）解：由阅读材料可知：，
且
则.
（2）解：由材料可知：
一元四次方程可改写为，
展开得：
则.
（3）解：由题意，得的三个实根为，
设，
展开得
则，
则
又因为，
所以，
综上所述：当时，的最大值为-3.
【知识点】函数的最大（小）值；一元次方程根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题中阅读材料，按公式得出三个根之间的关系，再计算出的值.
（2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系.
（3）由题意得出的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得出，再计算出，最后结合求出的最大值.
（1）由阅读材料可知：，且
有：；
（2）由材料可知：一元四次方程可改写为
展开得：
故可得：
（3）由题有的三个实根为.
设，
展开得，
故，
则，
又，故，
综上：当时，的最大值为-3；
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