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浙江省温州市平阳县万全综合高级中学2023-2024学年高一下学期期末普高单考数学试题
1．（2024高一下·平阳期末） 已知，：“”，：“”，则是的（　　）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高一下·平阳期末）直线的倾斜角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．（2024高一下·平阳期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．（2024高一下·平阳期末）与向量平行的单位向量为（　　）
A． B．
C．或 D．或
5．（2024高一下·平阳期末）直线与的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·平阳期末）已知圆的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·平阳期末）直线l：与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
8．（2024高一下·平阳期末）手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0
其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·平阳期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（　　）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
10．（2024高一下·平阳期末）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·平阳期末）已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为　 　.
12．（2024高一下·平阳期末）已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为　 　.
13．（2024高一下·平阳期末）已知向量，，，若，则　 　.
14．（2024高一下·平阳期末）已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为　 　.
15．（2024高一下·平阳期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离为　 　
16．（2024高一下·平阳期末）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为　 　．
17．（2024高一下·平阳期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求的面积.
18．（2024高一下·平阳期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．
19．（2024高一下·平阳期末） 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
20．（2024高一下·平阳期末）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得或，故是的必要但不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：易知直线与轴垂直的直线，则倾斜角为90°.
故答案为：B.
【分析】易知直线与轴垂直，结合倾斜角的概念求解即可.
3．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解： 由直线l的倾斜角为， 可得直线的斜率，
因为直线过点，所以直线方程为，即，则直线在y轴上的截距为.
故答案为：A.
【分析】根据直线的点斜式写出直线方程，再求出截距即可.
4．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量的模上为，
则与向量平行的单位向量为，即或.
故答案为：C.
【分析】先求向量的模，再求与向量平行的单位向量即可.
5．【答案】B
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立，解得，则两直线的交点坐标为.
故答案为：B.
【分析】联立方程组求解即可.
6．【答案】B
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：因为圆，
所以，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】由题意确定圆的半径，再结合圆的面积公式建立方程，从而解方程得出实数m的值.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C的圆心坐标为，半径为2，
又因为直线l的方程为，
所以，圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故答案为：A.
【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小，从而判断出直线l：与圆的位置关系.
8．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【解答】解：由统计表可知：顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），则从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.故答案为：B.
【分析】由统计表可知：顾客年龄在且未使用手机支付的人数，结合古典概型的概率公式求额解即可.
9．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】是双曲线左支上的一点，
所以，解得：，
由双曲线定义可知，，所以13.
故选：B.
【分析】本题考查双曲线的定义.根据双曲线的方程可得：，根据双曲线的定义可知：，变形可得：，代入数据可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知：，，
由离心率为，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆方程用表示出离心率求解即可.
11．【答案】
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：点，则边所在直线的斜率为，
即边上的高所在的直线的斜率为2，因为高所在直线过点，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】利用垂直求出高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程即可．
12．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：记正方体棱长为a，外接球半径为R，
由题意可得：，解得，
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，所以，解得，
则正方体的体积为.
故答案为：.
【分析】记正方体棱长为a，外接球半径为R，根据球的体积公式求半径，再根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，求正方体体积即可.
13．【答案】2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意，，因为，所以.
故答案为：2.
【分析】由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线化为标准方程可得，
令，解得，则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】先化双曲线方程为标准方程，再利用渐近线求法直接计算即可.
15．【答案】
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行 ，
所以，则，即直线：，
故与之间的距离：.
故答案为：.
【分析】利用两直线平行的条，结合两直线平行间的距离公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知正三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
则四棱锥的体积.
故答案为：.
【分析】利用割补法结合柱体、锥体的体积公式求解即可.
17．【答案】（1）解：设圆心坐标为，
因为圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
所以，解得，即圆心坐标为，
由圆与轴相切于点，可得圆的半径，
则圆的方程为；
（2）解：易知圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于两点，所以弦长，
则.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，由题意可得，解方程组求得圆心，再根据圆与轴相切于点求圆的半径即可；
（2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求即可.
（1）设圆心坐标为，
由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
可得，解得，即圆心坐标为，
由于圆与轴相切于点，则半径.
所以圆的方程为.
（2）依题意，圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于两点，
所以弦长，
所以.
18．【答案】解： 圆锥 中，因为是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为，
圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
剩下几何体的体积为，
剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，
则.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【分析】由题意，求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积即可.
19．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式得出a，b的关系式，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的标准方程以及点代入法，进而得出t的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设与直线平行的直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，从而结合判别式法得出m的值，进而得出与直线平行的直线的方程，再利用两平行直线的距离公式得出直线到直线的距离，再结合几何法得出椭圆上的点到直线的距离的最大值。
20．【答案】解：（1）易知，由渐近线方程为，可得，
由，可得 ，解得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）设，AB中点的坐标为，
因为在双曲线上，所以①，②，
②①得：，即，
又因为，所以，
则直线的方程为，即.
【知识点】直线的点斜式方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
1 / 1浙江省温州市平阳县万全综合高级中学2023-2024学年高一下学期期末普高单考数学试题
1．（2024高一下·平阳期末） 已知，：“”，：“”，则是的（　　）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得或，故是的必要但不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
2．（2024高一下·平阳期末）直线的倾斜角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：易知直线与轴垂直的直线，则倾斜角为90°.
故答案为：B.
【分析】易知直线与轴垂直，结合倾斜角的概念求解即可.
3．（2024高一下·平阳期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解： 由直线l的倾斜角为， 可得直线的斜率，
因为直线过点，所以直线方程为，即，则直线在y轴上的截距为.
故答案为：A.
【分析】根据直线的点斜式写出直线方程，再求出截距即可.
4．（2024高一下·平阳期末）与向量平行的单位向量为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量的模上为，
则与向量平行的单位向量为，即或.
故答案为：C.
【分析】先求向量的模，再求与向量平行的单位向量即可.
5．（2024高一下·平阳期末）直线与的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立，解得，则两直线的交点坐标为.
故答案为：B.
【分析】联立方程组求解即可.
6．（2024高一下·平阳期末）已知圆的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：因为圆，
所以，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】由题意确定圆的半径，再结合圆的面积公式建立方程，从而解方程得出实数m的值.
7．（2024高一下·平阳期末）直线l：与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆C的圆心坐标为，半径为2，
又因为直线l的方程为，
所以，圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故答案为：A.
【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小，从而判断出直线l：与圆的位置关系.
8．（2024高一下·平阳期末）手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0
其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【解答】解：由统计表可知：顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），则从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.故答案为：B.
【分析】由统计表可知：顾客年龄在且未使用手机支付的人数，结合古典概型的概率公式求额解即可.
9．（2024高一下·平阳期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（　　）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】是双曲线左支上的一点，
所以，解得：，
由双曲线定义可知，，所以13.
故选：B.
【分析】本题考查双曲线的定义.根据双曲线的方程可得：，根据双曲线的定义可知：，变形可得：，代入数据可求出答案.
10．（2024高一下·平阳期末）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知：，，
由离心率为，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆方程用表示出离心率求解即可.
11．（2024高一下·平阳期末）已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为　 　.
【答案】
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：点，则边所在直线的斜率为，
即边上的高所在的直线的斜率为2，因为高所在直线过点，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】利用垂直求出高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程即可．
12．（2024高一下·平阳期末）已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：记正方体棱长为a，外接球半径为R，
由题意可得：，解得，
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，所以，解得，
则正方体的体积为.
故答案为：.
【分析】记正方体棱长为a，外接球半径为R，根据球的体积公式求半径，再根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，求正方体体积即可.
13．（2024高一下·平阳期末）已知向量，，，若，则　 　.
【答案】2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意，，因为，所以.
故答案为：2.
【分析】由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．（2024高一下·平阳期末）已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线化为标准方程可得，
令，解得，则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】先化双曲线方程为标准方程，再利用渐近线求法直接计算即可.
15．（2024高一下·平阳期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离为　 　
【答案】
【知识点】用斜率判定两直线平行；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行 ，
所以，则，即直线：，
故与之间的距离：.
故答案为：.
【分析】利用两直线平行的条，结合两直线平行间的距离公式求解即可.
16．（2024高一下·平阳期末）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为　 　．
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知正三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
则四棱锥的体积.
故答案为：.
【分析】利用割补法结合柱体、锥体的体积公式求解即可.
17．（2024高一下·平阳期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求的面积.
【答案】（1）解：设圆心坐标为，
因为圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
所以，解得，即圆心坐标为，
由圆与轴相切于点，可得圆的半径，
则圆的方程为；
（2）解：易知圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于两点，所以弦长，
则.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，由题意可得，解方程组求得圆心，再根据圆与轴相切于点求圆的半径即可；
（2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求即可.
（1）设圆心坐标为，
由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
可得，解得，即圆心坐标为，
由于圆与轴相切于点，则半径.
所以圆的方程为.
（2）依题意，圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于两点，
所以弦长，
所以.
18．（2024高一下·平阳期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．
【答案】解： 圆锥 中，因为是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为，
圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
剩下几何体的体积为，
剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，
则.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【分析】由题意，求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积即可.
19．（2024高一下·平阳期末） 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式得出a，b的关系式，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的标准方程以及点代入法，进而得出t的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设与直线平行的直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，从而结合判别式法得出m的值，进而得出与直线平行的直线的方程，再利用两平行直线的距离公式得出直线到直线的距离，再结合几何法得出椭圆上的点到直线的距离的最大值。
20．（2024高一下·平阳期末）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】解：（1）易知，由渐近线方程为，可得，
由，可得 ，解得，，
则双曲线的标准方程为；
（2）设，AB中点的坐标为，
因为在双曲线上，所以①，②，
②①得：，即，
又因为，所以，
则直线的方程为，即.
【知识点】直线的点斜式方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
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