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2025年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是( )
A. 四棱锥
B. 四棱柱
C. 三棱锥
D. 三棱柱
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是：，那么与的面积之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5.若，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.九章算术中记载：今有好田亩，价值钱；坏田亩，价值钱．今共买好、坏田顷顷亩，价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了亩，坏田买了亩，则下面所列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
8.电影哪吒之魔童闹海累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位第二名是长津湖，第三名是战狼，第四名是美人鱼，若小惠想从这部电影中随机选取部，其中恰好是哪吒之魔童闹海和战狼的概率是( )
A. B. C. D.
9.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示当压强由时，气体体积压缩了．
A. 加到 B. 加到
C. 加到 D. 加到
10.如图，在中，，，，、的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个比大且比小的整数______．
12.如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度______米
13.在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是______．
14.不等式组的解集为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上若抛物线经过点，，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
如图，在中，是钝角．
实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；保留作图痕迹，不要求写作法
应用与计算：在的条件下，连接，若，，求的大小．
18.本小题分
惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．
数据整理：小明将本班甲、乙两组同学每组人初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数分 中位数分 众数分 方差 优秀率
甲组
乙组
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
填空： ______， ______， ______；
从方差的角度看，______组的成绩比较稳定填甲或乙
小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由．
19.本小题分
某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了元，购买化学实验器材用了元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵元．
求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
该学校计划再购买物理、化学实验器材共套，再购买总费用不超过元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
20.本小题分
如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，．
若，求的度数．
求证：．
21.本小题分
综合与实践：
主题：纸的研究
在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识系列中最大的规格为，面积约为平方米，对半裁开得到：再对裁得到，，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示．
初步研究查阅资料知纸张的规格如下：
规格
长
宽
长与宽的比值保留两位小数
请计算、纸的长宽比，并填在上面表中：通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数请你猜想这个无理数为______设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想．
深入研究
已知矩形图是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明．
22.本小题分
实践与研究：
根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图象．
观察两个函数图象，的图象可以由的图象怎么变换得到？
当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图象无交点，试确定的取值范围．
23.本小题分
综合探究：
如图，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形．
如图，已知的直径为，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度．
如图，在题中，改变与直径相切的切点的位置，若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.解：
．
17. 【解析】图形如图所示：
由作图可知，，
，
，
，
．
18. 【解析】甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
；
乙组成绩出现最多的是分，
；
，
故答案为：；；．
甲组方差是，乙组方差是，乙组方差小于甲组，
乙组的成绩比较稳定．
故答案为：乙；
小惠的观点比较片面．
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小惠的观点比较片面．
19. 【解析】甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
；
乙组成绩出现最多的是分，
；
，
故答案为：；；．
甲组方差是，乙组方差是，乙组方差小于甲组，
乙组的成绩比较稳定．
故答案为：乙；
小惠的观点比较片面．
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小惠的观点比较片面．
20. 【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
；
证明：过作于，
平分，，
，
，，
≌，
．
21. 【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
；
证明：过作于，
平分，，
，
，，
≌，
．
22. 【解析】描点，连线，如图即为两函数图象；
将的图象向右平移个单位，得到的图象．
的图象由的图象向右平移个单位得到，
此时动直线与函数图象的交点也向右平移个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
的图象与轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图象无交点，则．
23. 【解析】描点，连线，如图即为两函数图象；
将的图象向右平移个单位，得到的图象．
的图象由的图象向右平移个单位得到，
此时动直线与函数图象的交点也向右平移个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
的图象与轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图象无交点，则．

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