资源简介

(共21张PPT)
R·八年级上册
添括号
学习目标
会正确地运用填括号法则.
观察、分析、掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义.
复习导入
去括号：
（1）x + (2y – 3) = __________；
（2）x – (2y – 3) = __________ ；
（3）(a + 1) – (b – c) = ____________.
x + 2y – 3
x – 2y + 3
a + 1 – b + c
去括号时，如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变符号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号.
探究新知
去括号：
a + (b + c) = __________；
a – (b + c) = __________.
a + b + c
a – b – c
反过来，就得到：
a + b + c = __________；
a – b – c = __________.
a + (b + c)
a – (b + c)
a + b + c = __________；
a – b – c = __________.
a + (b + c)
a – (b + c)
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
* 添括号正确与否，可用去括号法则进行检验.
按要求给多项式 –a3 + 2a2 – a + 1添括号.
（1）使最高次项的系数变为正数，且把每一项都放在括号里；
（2）把奇次项放在前面是“–”号的括号里，其余的项放在前面是“+”号的括号里。
解：原式 = – (a3 – 2a2 + a – 1)
（1）
系数为负，括号前为“–”号，括号内各项都变号
（2）
奇次项括号前为“–”号，括号内各项都变号
其余的项括号前为“+”号，括号内各项都不变号
解：原式 = – (a3 + a) + (2a2 + 1)
–a3 + 2a2 – a + 1
–a3 + 2a2 – a + 1
试一试
练习
在括号里填上适当的项：
（1）a + 2b – c = a + (________)；
（2）a – b – c + d = a – (________) ；
（3）(a + b – c)(a – b + c) =
[a + (_______)][a – (______)].
2b – c
b + c – d
b – c
b – c
添括号，看符号：
正号在前直接抄；
负号在前变号抄；
验证对错去括号.
这种结构熟悉吗？
公式中的 a 和 b 是一个字母，可以是一个多项式吗？如果 a 或 b 是一个多项式，如何运算？
a 和 b 可以代替一个多项式，计算时可以看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则，进行运算.
完全平方公式：
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
平方差公式：
(a + b)(a – b) = a2 – b2
例5　运用乘法公式计算：　
(2) (a + b + c)2 .
可利用________公式
平方差
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)；
解：(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)
= [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9
有些整式
相乘需要先适当变形，然后再用公式
例5　运用乘法公式计算：　
可利用________公式
完全平方
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)；
解：(2) (a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(2) (a + b + c)2 .
练习
计算：
解：（1）原式 = [(a – m) + 2n]2
（1）(a – m + 2n)2；
= (a – m)2 +4n(a – m) + 4n2
（2）原式 = [(2x – y) – 3][(2x – y) + 3]
= (2x – y)2 – 9
（2）(2x – y – 3)(2x – y + 3) .
= a2 – 2am + m2 +4an – 4mn + 4n2
= 4x2 – 4xy + y2 – 9
随堂练习
1. 下列去括号或添括号的变形中，错误的是（ ）
A. a – (b – c) = a – b + c
B. a – b + c = a – (b + c)
C. (a + 1) – (b – c) = a + 1 – b + c
D. a – b + c – d = a – (b – c + d)
B
2. 已知 2a – 3b = 2，则 7 – 2a + 3b 的值是_____.
解析：7 – 2a + 3b = 7 – (2a – 3b) = 7 – 2 = 5
5
3. 不改变多项式 –3x5 – 4x2 + 3x3 – 2 的值，把它的最后两项放在：
（1）前面带有“+”号的括号里；
（2）前面带有“–”号的括号里 .
解：（1）原式 = –3x5 – 4x2 + (3x3 – 2)
（2）原式 = –3x5 – 4x2 – (– 3x3 + 2)
【教材P117练习 第1题】
4. 在等号右边的括号里填上适当的项.
（1）a + b – c = a + ( )；
（2）a – b + c = a – ( )；
（3）a + b – c = a – ( )；
（4）a + b + c = a – ( ) .
b – c
b – c
–b + c
–b – c
5. 运用乘法公式计算：
（1）(x + y – 1)(x – y – 1)；
解：(1) (x + y – 1)(x – y – 1)
= (x – 1 + y)(x – 1 – y)
【教材P117练习 第2题】
= [(x – 1) + y][(x – 1) – y]
= (x – 1)2 – y2
= x2 – 2x – y2 + 1
解：(2) (2x + y + z)(2x – y – z)
= [2x + (y + z)][2x – (y + z)]
= 4x2 – (y + z)2
= 4x2 – (y2 + 2yz + z2)
= 4x2 – y2 – 2yz – z2
5. 运用乘法公式计算：
（2）(2x + y + z)(2x – y – z) .
【教材P117练习 第2题】
解：(1) (a + 2b – 1)2
= [(a + 2b) – 1]2
= (a + 2b)2 – 2(a + 2b) + 12
= a2 + 4ab + 4b2 – 2a – 4b + 1
6. 运用乘法公式计算：
（1）(a + 2b – 1)2 ；
【教材P117练习 第3题】
或将括号添在第一项后计算： 原式 = [a + (2b – 1)]2
解：(1) (2x – y + 1)2
= [(2x – y) + 1]2
= (2x – y)2 + 2(2x – y) + 12
= 4x2 – 4xy + y2 + 4x – 2y + 1
6. 运用乘法公式计算：
（2）(2x – y + 1)2 .
【教材P117练习 第3题】
或将括号添在第一项后计算： 原式 = [2x – (y – 1)]2
课堂小结
添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
添括号，看符号：正号在前直接抄，
负号在前变号抄，验证对错去括号.
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.(共25张PPT)
R·八年级上册
完全平方公式
学习目标
理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.
能灵活运用完全平方公式计算.
相等
新课导入
一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？
a
b
b
a
直接求：总面积 =
间接求：总面积 =
ab
b2
a2
ab
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
探究新知
（1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________；
（2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ；
（3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = __________ ；
（4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = __________.
计算下列多项式的积.
p2 + 2p + 1
m + 2
探 究
m + 2
m2 + 4m + 4
p – 1
p – 1
p2 – 2p + 1
m – 2
m – 2
m2 – 4m + 4
（1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1；
（2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4；
（3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1；
（4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1.
p2 + 2·p·1 + 12
m2 + 2·m·2 + 22
p2 – 2·p·1 + 12
m2 – 2·m·2 + 22
你能发现什么规律？
探 究
都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘
右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍
猜想：
(a + b)2 =____________
(a – b)2 =____________
a2 + 2ab + b2
= (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
= (a – b)(a – b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
完全平方公式：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 是多项式乘法 (a+b)·(p+q) 中 p = a，q = b 的特殊情形.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
首平方，尾平方，积的2倍放中央
说一说完全平方公式的特点：
积为二次三项式
积中两项为两数的平方和
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同
公式中的字母 a、b 可以为数、单项式、多项式
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
观察
(a±b)2 a b a2 ± 2ab + b2
(1+x)2
( 3+a)2
(1+a)2
(0.3x 1)2
1
x
3
a
12 + 2x + x2
a2 – 2a·3 + 32
a
1
12 + 2a + a2
0.3x
1
(0.3x)2 – 2×(0.3x)×1 + 12
练习
填一填：
1 + 2x + x2
a2 – 6a + 9
1 + 2a + a2
0.09x2 – 0.6x + 1
思 考
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？
a
a
b
b
a
b
b
直接求：S =
间接求：S =
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
a
S =
S =
(a – b)2
a2 – 2ab + b2
ab
b2
a2
ab
ab
b2
ab
例3　运用完全平方公式计算：　
(1) (4m + n)2；
(2)
解：(1) (4m + n)2
= (4m)2 + 2·(4m)·n + n2
= 16m2 + 8mn + n2
分析：(1) a = ___，b = ____
(2) a = ___，b = ____
4m
n
y
练习
计算：
解：（1）原式 = 72 + 2·7·a + a2
（1）(7 + a)2；
= a2 + 14a + 49
（2） ；
（2）原式 =
（3）原式 = (–3a)2 + 2·(–3a)·2 + 22
= 9a2 – 12a + 4
也可看作(2 – 3a)2
（3）(–3a + 2)2 .
（3）原式 = 22 – 2×3a×2 + 3a2
= 9a2 – 12a + 4
例4　运用完全平方公式计算：　
(1) 1022；
(2) 992 .
解：
(1) 1022
= (100 + 2)2
= 1002 + 2×100×2 + 22
= 10000 + 400 + 4
= 10404
(2) 992
= (100 – 1)2
= 1002 – 2×100×1 + 12
= 10000 – 200 + 1
= 9801
通过合理变形，
利用完全平方公式，可以简化运算.
练习
计算：
(2) 9.72；
(3) 9012 .
（1） ；
解：（1）原式 =
（2）原式 = (10 – 0.3)2
= 102 – 2×10×0.3 + 0.32
= 94.09
（3）原式 = (900 + 1)2
= 9002 + 2×900×1 + 12
= 811801
思考
（1）(a + b)2 与 (– a – b)2 相等吗？
(–a – b)2 = [–(a + b)]2
= (a + b)2
(–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2
或
（2）(a – b)2 与 (b – a)2 相等吗？
(a – b)2 = [–(b – a)]2
= (b – a)2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
= b2 – 2ab + a2
或
= (b – a)2
（3）(a – b)2 与 a2 – b2 相等吗？
(a – b)2 = (a – b)(a – b)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
相等
相等
不相等
练习
计算：
(2) (–4x + 6y)2 .
（1） ；
（1）原式 =
（2）原式 = (6y – 4x)2
= (6y)2 – 2·6y·4x + (4x)2
= 36y2 – 48xy + 16x2
解：
阅读与思考
杨辉三角
练习
利用图中的三角形，写出 (a + b)6 的展开式.
(a + b)6
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
随堂练习
1. 下列计算正确的是（ ）
A. (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1
B.
C. (x + y)2 = x2 + y2
D. (a – b)2 = b2 – a2
A
2.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(a + b)2 ＝ a2 + b2；
（2）(a – b)2 ＝a2 – ab + b2.
【教材P115练习 第1题】
原式 = a2 + 2ab + b2
原式 = a2 – 2ab + b2
3. 运用完全平方公式计算：
（1）(x + 6)2； （2）(y – 5)2；（3）(–2x + 5)2；
（4）
解：(1) (x + 6)2
= x2 + 2·x·6 + 62
(2) (y – 5)2
= y2 – 2·y·5 + 52
【教材P116练习 第2题】
= x2 + 12x + 36
= y2 – 10y + 25
(3) (–2x + 5)2
= 52 – 2·2x·5 + (2x)2
= 4x2 – 20x + 25
= (5 – 2x)2
4. 运用完全平方公式计算：
（1）982； （2）70.52 .
【教材P116练习 第3题】
解：(1) 982
= (100 – 2)2
= 1002 – 2×100×2 + 22
= 10000 – 400 + 4
= 9604
(2) 70.52
= (70 + 0.5)2
= 702 + 2×70×0.5 + 0.52
= 4900 + 70 + 0.25
= 4970.25
课堂小结
完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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