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2024-2025学年第二学期第2次月考 高一级数学科试卷
一、单选题
1．设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．已知复数，，则（ ）
A． B．3 C． D．2
3．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．平行于同一个直线的两个平面平行
6．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，角所对的边分别是，且，点在边上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数z满足，则（ ）
A．为纯虚数 B．对应的点在第四象限
C． D．和是方程的两个根
10．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为5
D．若，则当三点共线时，
11．已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，点Q是的中点，点P满足，下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹的周长为
B．点P的轨迹的周长为
C．三棱锥的体积的最大值为
D．三棱锥的体积的最大值为
三、填空题
12．已知向量，.若.则 .
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为_____
14．已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为 .
四、解答题
15．已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．如图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）.电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg，问电10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）？
17．函数(A，，常数，A>0，>0，)的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
(Ⅱ)将函数的图象向左平移(0<<)个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若的图象过点(，2)，求函数的单调递减区间.
18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，P为CD的中点．
（1）求证：CD⊥平面MAP；
（2）求证：MP∥平面OBC；
（3）求三棱锥M﹣PAD的体积．
19．已知函数．
(1)若，且，求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围．数学科参考答案
1．【详解】由题意知，a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选：A.
2．【详解】由题意，则.故选：D.
3．【详解】在上的投影向量的坐标为.故选：.
4．【详解】向量，，，则，所以.故选：A
5．【详解】垂直于同一个直线的两条直线可能相交，则A错误；
根据平行的传递性可知，B正确；
平行于同一个平面的两条直线可能相交，则C错误；
平行于同一个直线的两个平面可能相交，则D错误； 故选：B
6．【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以溶液的体积. 故选：B
7．【详解】将代入已知条件，得到，
则，则，则. 故选：B
8．【详解】由正弦定理可知：
即
即

在中，，即解得： 本题正确选项：
9．【详解】因为，所以，
对于A，显然不是纯虚数，A不正确；
对于B，，对应的点在第四象限，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，所以和不是方程的根, D不正确. 故选：BC
10．【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由A知，，
，故B错误；
对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，设，
所以，
当时，的最大值为5，故C正确；
对于D，当三点共线时，，
，所以，
又因为，所以，
所以，所以，故D正确.故选：ACD.
11．【详解】取的中点为，取的中点为，取的中点为，取的中点为，
取的中点为，分别连接，
由，且，所以平面，
由题意可得P的轨迹为正六边形，其中，
所以点P的轨迹的周长为，所以A不正确，B正确；
当点P在线段上运动时，此时点到平面的距离取得最大值，
此时有最大值，最大值为，
所以C不正确，D正确．故选：BD
12．【详解】向量，，由，得，
所以或.故答案为：或3
13．
14．【详解】设正三棱锥，取三棱锥的两底面中心为，
连接，取的中点，连接，则为正三棱柱外接球的半径，
因为是边长为3的正三角形，为的中心，
所以，
又因为，
所以，
所以正三棱柱外接球的体积为.
15．【详解】（1）因为，， 所以，.
所以.
（2）.
16．【详解】解：∵圆柱的侧面积，棱柱的表面积，
∴该机器零件的表面积.
则10000个零件的表面积为.
故需锌的质量为.
答：电镀10000个零件需锌1.74kg.
17．【详解】(Ⅰ)由图可知，， ∴, 又 ∴
由
∵，取k=0，得 ∴.
(Ⅱ)，∵的图象过点
∴ ∴ ∴,∴
∵,∴ ∴
由 即
∴函数的单调递减区间为.
18．（1）证明：∵OA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD， ∴OA⊥CD
∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°， ∴△ACD为正三角形，
∵P为CD的中点， ∴AP⊥CD
又OA∩AP=A， ∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）证明：设N为线段OB的中点，连接MN、CN，则
∵M为OA的中点，∴MN∥AB，且，
∴MN∥CP且MN=CP， ∴四边形MNCP为平行四边形， ∴MP∥CN
∵MP 平面OBC，CN 平面OBC ∴MP∥平面OBC；
（3）解：∵OA=CD=2，∴，
∴
19．【详解】（1）因为，
所以，
又，则，所以，
又，故.
（2）由，又，所以，即．
由正弦定理，可得，
因为是锐角三角形，
所以，即．
所以，所以．即的取值范围为.

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