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2025年广东省惠州市中考数学模拟收关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.图是正方体的表面展开图，该正方体从图所示的位置折叠成图的正方体，在图标注的顶点、、、中，与点重合的顶点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，与是位似图形，位似中心是点，若：：，且的周长为，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
5.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.如图，，平分，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.九章算术中记载了这样一道题：牛头和羊只共值金，牛头和羊只共值金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程组为( )
A. B. C. D.
8.在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物下列卡片除正面图案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物现将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片不放回，亮亮再从中随机抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是( )
A. B. C. D.
9.“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度含糖浓度与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足根据图象，下列结论正确的是( )
A. 甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多
B. 丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多
C. 甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多
D. 丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多
10.如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点则：( )
A.
B. ：
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，通过画边长为的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为______．
12.我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥如图所示主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列在图的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为，那么用的长和的三角函数表示主跨长的表达式应为 ______．
13.在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是______．
14.不等式组的解集为______．
15.如图，是菱形的对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，画直线交于点，若，则______
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
如图，已知，是以为直径的半圆上两点．
尺规作图：在半圆上求作一点，使不要求写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，已知，，，求的值．
18.本小题分
惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．
数据整理：小明将本班甲、乙两组同学每组人初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数分 中位数分 众数分 方差 优秀率
甲组
乙组
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
填空： ______， ______， ______；
从方差的角度看，______组的成绩比较稳定填甲或乙
小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由．
19.本小题分
某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了元，购买化学实验器材用了元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵元．
求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
该学校计划再购买物理、化学实验器材共套，再购买总费用不超过元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
20.本小题分
如图，在中，，，点是上一点，且．
的最大值为______；
若与相切，延长，交于点，过点作于点，求的长．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，对角线与交于点，，反比例函数的图象经过点，分别与，交于点，．
若，求的值；
连接，若的面积是，试判断点是否在直线上，并说明理由．
22.本小题分
内接于，为直径，弦平分交于．
如图，求证：；
如图，连接，在上取点，连接，使得，求证：；
如图，在的条件下，在上取点，连接，且，，，求的长．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点．
求点、、的坐标；
连接，点为抛物线第四象限上的动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交轴于点，连接、、、，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】．
【解析】解：
．
17.【解析】点即为所求；
过点作于点，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
18.【解析】甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
；
乙组成绩出现最多的是分，
；
，
故答案为：；；．
甲组方差是，乙组方差是，乙组方差小于甲组，
乙组的成绩比较稳定．
故答案为：乙；
小惠的观点比较片面．
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小惠的观点比较片面．
19.【解析】设物理实验器材的单价为元，则化学实验器材的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
，
答：物理实验器材的单价为元，化学实验器材的单价为元；
设该校此次计划能购买套物理实验器材，则能购买套化学实验器材，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为，
答：该校此次计划最多能购买套物理实验器材．
20.【解析】点是上一点，且，，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
是的半径，与相切，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
的长为．
21.【解析】矩形的顶点，在轴的正半轴上，对角线与交于点，，，
，，
，
又，
，，，，
对角线与交于点，
点为的中点，
，
反比例函数的图象经过点，
；
点在直线上，理由：
，
，
设，则，，
反比例函数的图象经过点，，
，解得，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
点在直线上．
22.【解析】证明：为直径，
，
平分，
，
连接，
，，
，
；
证明：设，
，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：连接，如图，
，
，
，
，
延长交于，
，，
，
连接，延长交于，
，，
，
，
，
延长至，使，连接，
，，
在和中，
，
≌，
，，
由知≌，
，
，
，
，
，
过作于点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
或舍去，
，，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
23.【解析】已知抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点．
当时；，解得，，
当时；，
点、、的坐标分别为，，；
如图：
由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，
，
解得，
直线的表达式为，
设，则点坐标为，
，都在第四象限，
，
当时，此时点为，．
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