资源简介

2025届甘肃省高三下学期3月（一模）数学试卷
1．（2025·甘肃模拟）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．
2．（2025·甘肃模拟）设集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃模拟）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表：
0 1 2 3
研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·甘肃模拟）高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（　　）
A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.8
5．（2025·甘肃模拟）从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（　　）
A．84 B．120 C．504 D．720
6．（2025·甘肃模拟）若，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·甘肃模拟）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·甘肃模拟）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·甘肃模拟）已知双曲线方程为，则（　　）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率是
C．双曲线的虚轴长是8
D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6
10．（2025·甘肃模拟）函数，则（　　）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是
D．的零点是
11．（2025·甘肃模拟）若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，以下判断正确的是（　　）
A．若，则为减函数
B．若，则为增函数
C．若，则为增函数
D．若，则为减函数
12．（2025·甘肃模拟）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是　 　.
13．（2025·甘肃模拟）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和　 　.
14．（2025·甘肃模拟）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是　 　（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为　 　米.（结果精确到米，参考数据：，）
15．（2025·甘肃模拟）为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.
（1）依据频率分布直方图，完成以下列联表：
成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计
（2）依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16．（2025·甘肃模拟）正四面体的三条棱是圆锥的三条母线，点在圆锥的底面内，过且与圆锥底面垂直的平面与圆锥侧面交于（不同于）.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
17．（2025·甘肃模拟）数列满足，数列满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）若数列满足是数列的前项和，对恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025·甘肃模拟）设为坐标原点，点，、为椭圆上的两个动点，.
（1）证明：向量是直线的一个法向量；
（2）若线段与椭圆交于点，求面积的最大值.
19．（2025·甘肃模拟）函数，且.
（1）时，判断的单调性；
（2）若，判断与的大小，且，并说明理由；
（3）证明：对于任意的，有.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，
若其在第二象限，则，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据复数的几何意义结合题意，从而列出不等式，进而解不等式得出实数a的取值范围.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为函数中，，
所以集合，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用奇次根式函数求定义域的方法，从而求出集合A，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】D
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由图表中数据可知函数模型满足：
第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过，
则函数和图象不过，不符合条件，
故选项B、选项C错误；
因为函数单调递增，故A错误；
因为满足上述条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先分析表中数据，再结合函数的单调性和函数图象过点的性质，从而判断出最符合实际的函数模型．
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为，
所以，估计本次比赛高一年级的总体均分为分.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样的均值公式，从而估计出本次比赛高一年级的总体均分.
5．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，
所以.
故答案为：A.
【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序，再利用组合数公式得出满足条件的三位数的个数.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
则
.
故答案为：C.
【分析】先根据的范围确定的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用两角差的余弦公式求的值即可.
7．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，
则，，
设，
则，，
所以，
令，则，
则，
可得.
故答案为：D.
【分析】先建立平面直角坐标系，则得出点的坐标，设，从而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的余弦值的坐标表示结合换元法，令，则，则，再由函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意，可知，
设为坐标原点，
则，
，得，
则，
轴，
，
因为，
.
故答案为：B.
【分析】利用点参法，设点坐标，再利用得出点的坐标，再利用转化的思想，将转化为，再结合诱导公式和正弦函数的定义，从而得出的值.
9．【答案】C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线，
所以.
对于A：因为双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于B：因为离心率为，故B错误；
对于C：因为双曲线的虚轴长是，故C正确；
对于D：因为双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先根据题意结合双曲线方程和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a、b、c的值，再利用双曲线的渐近线方程、离心率公式、虚轴长、两点距离公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：因为，故为的周期，
显然，没有比更小的正周期，
所以的最小正周期为，故A正确；
对于B：考虑到的最小正周期为，
故只需考虑在的值域；
则，，
故 ，
则，
因为，所以，
则当时，，
则，此时，单调递减；
当时，，
则，此时，单调递增，
又因为，，
，
所以的值域为，故B正确；
对于C：因为
则，
所以，
则不是的对称轴，故C错误；
对于D：令，则，，
所以，
则或，
解得或，，
又因为，，
所以，函数的零点为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】检验，则可判断选项A；利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的值域，则判断出选项B；检验的结果是否为零，则可判断选项C；令，从而得出函数的零点，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于函数，
因为为正常数，
所以为上的减函数，故A正确：
对于函数，
因为为正常数，
所以为常函数，故B错误；
对于函数，
则，
因为为正常数，
所以为减函数，故C错误；
对于函数，
，
令，
则，
当时，为增函数，
因为为正常数，
所以，
则，
所以为减函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将四个选项中的函数代入 中化简，从而得出关于的函数，再判断其单调性，从而逐项判断找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，
在正方体中，
分别是的中点，
连接，
则六边形是正六边形，
根据对称性可知，截出的两部分几何体的体积之比是.
故答案为：.
【分析】先画出正六边形截面，再根据图形的对称性得出截出的两部分几何体的体积比.
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，
解得，
所以，，
所以，，
所以，，
则数列为等差数列，
所以，.
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，从而解出这两个量的值，进而可得的表达式，则可得的表达式，再利用等差数列的求和公式得出数列的前项和.
14．【答案】甲；
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：连接、，
可知，，
则，，
在中，，
所以，，
所以，，，
所以，，
则甲跑步的距离约为米，
因为，，
则乙跑步的距离约为米，
所以甲跑动的距离更短，少跑米.
故答案为：甲；.
【分析】连接、，求出的值，从而求出、的长，进而求出甲、乙两人的跑动的距离，则得出在该路段跑动距离更短的人；再结合作差法得出两人跑动距离之差的绝对值.
15．【答案】（1）解：根据频率分布直方图，可得：
成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题 14 6 20
未每天整理错题 5 15 20
合计 19 21 40
（2）解：假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关，
计算可得，
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，
即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据数表分析计算，从而完善列联表.
（2）利用卡方计算公式和与表中数据比较，再利用独立性检验思想，从而认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
（1）根据频率分布直方图，可得
　 成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题 14 6 20
未每天整理错题 5 15 20
合计 19 21 40
（2）假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关.
计算可得
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，
即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
16．【答案】（1）证明：平面平面平面，平面，
平面，且，
又平面，
为正三角形，为中心，
，
，
平面平面，，
平面.
（2）解：设，则是的中点，
以为坐标原点，的平行线为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为1，
则，，，
设平面的法向量为，
因为，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
则平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先根据平面平面平面，平面，从而得到平面且，再由为等边三角形得到为其中心，则，所以，再利用平面得出，再根据线面垂直的判定定理证出平面.
（2）先利用已知条件和中点的性质，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出两个平面PAB和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值.
（1）平面平面平面，平面，
平面，且.
又平面，
为正三角形，为中心，，，
平面平面，，
平面.
（2）设，则是的中点.
以为坐标原点，的平行线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为1，则，
，，
设平面的法向量为，，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：，且，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
.
（2）解：由（1）可知，，
，
，
因为对恒成立，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列定义以及等比数列通项公式，从而证出数列是等比数列，并求其通项公式.
（2）利用等比数列前n项和公式结合对数运算法则，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而计算得出实数的取值范围.
（1），且由题，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
由于对恒成立，
所以.
18．【答案】（1）证明：因为点在椭圆外，、为椭圆上的两个动点，
设、，
则，
则，
由①②得，
则，
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为，
则直线的一个方向向量为，
所以为直线的一个法向量.
（2）解：由，
得，
则，
由（1）可知，直线的斜率为，
设直线方程为，

若，则直线过原点，
则，
则与矛盾，故，
由，
得，
则，
解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
，
因为点到直线的距离，
所以，
令，则，
令，
则，
当时，时；
当时，，
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，即当时，取到最大值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设、，利用点差法和两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再根据直线斜率与直线方向向量的关系，从而证出向量是直线的一个法向量.
（2）先求出点的坐标，设直线方程为，再将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理表达式，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，从而求出以及点到直线的距离，再利用导数判断函数的单调性，从而求出面积的最大值.
（1）由于点在椭圆外，、为椭圆上的两个动点，设、，
，
则，由①②得，
即，由于直线的斜率为，
所以直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，
从而为直线的一个法向量.
（2）由得，即，
由（1）可知，直线的斜率为，设直线方程为，
若，则直线过原点，则，从而与矛盾，故，
由得，
则，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
，
由于到直线的距离，
所以，
令，则，
令，则，
当时，时；当时，.
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，即当时，取到最大值.
19．【答案】（1）解：因为
当时，时，，
则当时，函数在为减函数，在为增函数，
同理可得，当时，函数在为增函数，在为减函数.
（2）解：由（1）可知，当时，，
则，
令，
因为，所以，
可得，
所以，当且仅当时“”成立.
（3）证明：由（1）可知，当时，，
当时，，
故时，，
则，
令，可得；
令，可得，
两式相加可得，
则，
所以
，当且仅当时“”成立，
由，可得，
令，
可得，
两边同乘，整理得，
用替换可得，
同理可得，
两式相加可得：
，
则，
所以
，
当且仅当时“”成立，
所以
，当且仅当时“”成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）分类讨论三种情况，再根据导函数正负判断函数单调性.
（2）利用（1）的结论结合三角型函数的值域求解方法，从而判断出时的与的大小.
（3）利用（1）的结论结合三角型函数的值域求解方法和不等式的性质，从而证出对于任意的，有
（1）由于
当时，时，
故当时，函数在为减函数，在为增函数，
同理，当时，函数在为增函数，在为减函数：
（2）由（1）可知，当时，，故，
令，由于，则，
可得，所以，
当且仅当时“”成立.
（3）由（1）可知，当时，.
又当时，，
故时，，即，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得，即，
所以
，当且仅当时“”成立.
由可得，
令，可得，
两边同乘，整理得，
用替换可得，
同理可得，
两式相加可得
，
故，
所以
，当且仅当时“”成立.
所以
当且仅当时“”成立.
1 / 12025届甘肃省高三下学期3月（一模）数学试卷
1．（2025·甘肃模拟）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，
若其在第二象限，则，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据复数的几何意义结合题意，从而列出不等式，进而解不等式得出实数a的取值范围.
2．（2025·甘肃模拟）设集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为函数中，，
所以集合，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用奇次根式函数求定义域的方法，从而求出集合A，再利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025·甘肃模拟）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表：
0 1 2 3
研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由图表中数据可知函数模型满足：
第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过，
则函数和图象不过，不符合条件，
故选项B、选项C错误；
因为函数单调递增，故A错误；
因为满足上述条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先分析表中数据，再结合函数的单调性和函数图象过点的性质，从而判断出最符合实际的函数模型．
4．（2025·甘肃模拟）高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（　　）
A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.8
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：因为，
所以，估计本次比赛高一年级的总体均分为分.
故答案为：C.
【分析】利用分层抽样的均值公式，从而估计出本次比赛高一年级的总体均分.
5．（2025·甘肃模拟）从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（　　）
A．84 B．120 C．504 D．720
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，
所以.
故答案为：A.
【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序，再利用组合数公式得出满足条件的三位数的个数.
6．（2025·甘肃模拟）若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
则
.
故答案为：C.
【分析】先根据的范围确定的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用两角差的余弦公式求的值即可.
7．（2025·甘肃模拟）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，
则，，
设，
则，，
所以，
令，则，
则，
可得.
故答案为：D.
【分析】先建立平面直角坐标系，则得出点的坐标，设，从而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的余弦值的坐标表示结合换元法，令，则，则，再由函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
8．（2025·甘肃模拟）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：依题意，可知，
设为坐标原点，
则，
，得，
则，
轴，
，
因为，
.
故答案为：B.
【分析】利用点参法，设点坐标，再利用得出点的坐标，再利用转化的思想，将转化为，再结合诱导公式和正弦函数的定义，从而得出的值.
9．（2025·甘肃模拟）已知双曲线方程为，则（　　）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率是
C．双曲线的虚轴长是8
D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6
【答案】C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线，
所以.
对于A：因为双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于B：因为离心率为，故B错误；
对于C：因为双曲线的虚轴长是，故C正确；
对于D：因为双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先根据题意结合双曲线方程和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a、b、c的值，再利用双曲线的渐近线方程、离心率公式、虚轴长、两点距离公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025·甘肃模拟）函数，则（　　）
A．的最小正周期是
B．的值域是
C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是
D．的零点是
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A：因为，故为的周期，
显然，没有比更小的正周期，
所以的最小正周期为，故A正确；
对于B：考虑到的最小正周期为，
故只需考虑在的值域；
则，，
故 ，
则，
因为，所以，
则当时，，
则，此时，单调递减；
当时，，
则，此时，单调递增，
又因为，，
，
所以的值域为，故B正确；
对于C：因为
则，
所以，
则不是的对称轴，故C错误；
对于D：令，则，，
所以，
则或，
解得或，，
又因为，，
所以，函数的零点为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】检验，则可判断选项A；利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的值域，则判断出选项B；检验的结果是否为零，则可判断选项C；令，从而得出函数的零点，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025·甘肃模拟）若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，以下判断正确的是（　　）
A．若，则为减函数
B．若，则为增函数
C．若，则为增函数
D．若，则为减函数
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对于函数，
因为为正常数，
所以为上的减函数，故A正确：
对于函数，
因为为正常数，
所以为常函数，故B错误；
对于函数，
则，
因为为正常数，
所以为减函数，故C错误；
对于函数，
，
令，
则，
当时，为增函数，
因为为正常数，
所以，
则，
所以为减函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将四个选项中的函数代入 中化简，从而得出关于的函数，再判断其单调性，从而逐项判断找出正确的选项.
12．（2025·甘肃模拟）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是　 　.
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：如图所示，
在正方体中，
分别是的中点，
连接，
则六边形是正六边形，
根据对称性可知，截出的两部分几何体的体积之比是.
故答案为：.
【分析】先画出正六边形截面，再根据图形的对称性得出截出的两部分几何体的体积比.
13．（2025·甘肃模拟）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和　 　.
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
则，
解得，
所以，，
所以，，
所以，，
则数列为等差数列，
所以，.
故答案为：.
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，从而解出这两个量的值，进而可得的表达式，则可得的表达式，再利用等差数列的求和公式得出数列的前项和.
14．（2025·甘肃模拟）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是　 　（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为　 　米.（结果精确到米，参考数据：，）
【答案】甲；
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：连接、，
可知，，
则，，
在中，，
所以，，
所以，，，
所以，，
则甲跑步的距离约为米，
因为，，
则乙跑步的距离约为米，
所以甲跑动的距离更短，少跑米.
故答案为：甲；.
【分析】连接、，求出的值，从而求出、的长，进而求出甲、乙两人的跑动的距离，则得出在该路段跑动距离更短的人；再结合作差法得出两人跑动距离之差的绝对值.
15．（2025·甘肃模拟）为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.
（1）依据频率分布直方图，完成以下列联表：
成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计
（2）依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】（1）解：根据频率分布直方图，可得：
成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题 14 6 20
未每天整理错题 5 15 20
合计 19 21 40
（2）解：假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关，
计算可得，
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，
即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据数表分析计算，从而完善列联表.
（2）利用卡方计算公式和与表中数据比较，再利用独立性检验思想，从而认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
（1）根据频率分布直方图，可得
　 成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计
每天整理错题 14 6 20
未每天整理错题 5 15 20
合计 19 21 40
（2）假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关.
计算可得
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，
即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.
16．（2025·甘肃模拟）正四面体的三条棱是圆锥的三条母线，点在圆锥的底面内，过且与圆锥底面垂直的平面与圆锥侧面交于（不同于）.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：平面平面平面，平面，
平面，且，
又平面，
为正三角形，为中心，
，
，
平面平面，，
平面.
（2）解：设，则是的中点，
以为坐标原点，的平行线为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为1，
则，，，
设平面的法向量为，
因为，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
则平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先根据平面平面平面，平面，从而得到平面且，再由为等边三角形得到为其中心，则，所以，再利用平面得出，再根据线面垂直的判定定理证出平面.
（2）先利用已知条件和中点的性质，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出两个平面PAB和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值.
（1）平面平面平面，平面，
平面，且.
又平面，
为正三角形，为中心，，，
平面平面，，
平面.
（2）设，则是的中点.
以为坐标原点，的平行线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为1，则，
，，
设平面的法向量为，，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，
则，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
，
即平面与平面所成角的余弦值为.
17．（2025·甘肃模拟）数列满足，数列满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）若数列满足是数列的前项和，对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：，且，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
.
（2）解：由（1）可知，，
，
，
因为对恒成立，
所以.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列定义以及等比数列通项公式，从而证出数列是等比数列，并求其通项公式.
（2）利用等比数列前n项和公式结合对数运算法则，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而计算得出实数的取值范围.
（1），且由题，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
由于对恒成立，
所以.
18．（2025·甘肃模拟）设为坐标原点，点，、为椭圆上的两个动点，.
（1）证明：向量是直线的一个法向量；
（2）若线段与椭圆交于点，求面积的最大值.
【答案】（1）证明：因为点在椭圆外，、为椭圆上的两个动点，
设、，
则，
则，
由①②得，
则，
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为，
则直线的一个方向向量为，
所以为直线的一个法向量.
（2）解：由，
得，
则，
由（1）可知，直线的斜率为，
设直线方程为，

若，则直线过原点，
则，
则与矛盾，故，
由，
得，
则，
解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
，
因为点到直线的距离，
所以，
令，则，
令，
则，
当时，时；
当时，，
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，即当时，取到最大值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设、，利用点差法和两点求斜率公式，从而求出直线的斜率，再根据直线斜率与直线方向向量的关系，从而证出向量是直线的一个法向量.
（2）先求出点的坐标，设直线方程为，再将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理表达式，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，从而求出以及点到直线的距离，再利用导数判断函数的单调性，从而求出面积的最大值.
（1）由于点在椭圆外，、为椭圆上的两个动点，设、，
，
则，由①②得，
即，由于直线的斜率为，
所以直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，
从而为直线的一个法向量.
（2）由得，即，
由（1）可知，直线的斜率为，设直线方程为，
若，则直线过原点，则，从而与矛盾，故，
由得，
则，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
，
由于到直线的距离，
所以，
令，则，
令，则，
当时，时；当时，.
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，即当时，取到最大值.
19．（2025·甘肃模拟）函数，且.
（1）时，判断的单调性；
（2）若，判断与的大小，且，并说明理由；
（3）证明：对于任意的，有.
【答案】（1）解：因为
当时，时，，
则当时，函数在为减函数，在为增函数，
同理可得，当时，函数在为增函数，在为减函数.
（2）解：由（1）可知，当时，，
则，
令，
因为，所以，
可得，
所以，当且仅当时“”成立.
（3）证明：由（1）可知，当时，，
当时，，
故时，，
则，
令，可得；
令，可得，
两式相加可得，
则，
所以
，当且仅当时“”成立，
由，可得，
令，
可得，
两边同乘，整理得，
用替换可得，
同理可得，
两式相加可得：
，
则，
所以
，
当且仅当时“”成立，
所以
，当且仅当时“”成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）分类讨论三种情况，再根据导函数正负判断函数单调性.
（2）利用（1）的结论结合三角型函数的值域求解方法，从而判断出时的与的大小.
（3）利用（1）的结论结合三角型函数的值域求解方法和不等式的性质，从而证出对于任意的，有
（1）由于
当时，时，
故当时，函数在为减函数，在为增函数，
同理，当时，函数在为增函数，在为减函数：
（2）由（1）可知，当时，，故，
令，由于，则，
可得，所以，
当且仅当时“”成立.
（3）由（1）可知，当时，.
又当时，，
故时，，即，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得，即，
所以
，当且仅当时“”成立.
由可得，
令，可得，
两边同乘，整理得，
用替换可得，
同理可得，
两式相加可得
，
故，
所以
，当且仅当时“”成立.
所以
当且仅当时“”成立.
1 / 1

展开更多......

收起↑