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建湖县第二中学 高三第五次模拟测试
数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则（ ）
A. B.的虚部为
C. D.在复平面内对应的点在第四象限
3. 已知等差数列前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ）
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
4.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
6.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B．1 C．16 D．
8. 定义在上的函数满足：都有，，且，则（ ）【答案】B
A. 45 B. 46 C. 91 D. 92
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分.
9．若，则下列正确的是（ ）BCD
A． B．
C． D．
10．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ）BD
A．当时， B．
C．随机变量，当，都减小时，概率增大
D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变
14.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（ ）
A．关于原点成中心对称 B．上满足的点有2个
C．面积的最大值为 D．当直线与有3个交点时，的取值范围是
三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12.已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____
13.已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，a的取值范围为_____
14.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 .
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)用模拟与的关系，求出回归方程；
(2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？
附：①；
②；
③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：.
16. 在中，角所对的边分别 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围.
17.（15分）
已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为.
(1)当时，时.
（i）证明：；
（ii）求；
(2)若，求的取值范围.
19.已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．建湖县第二中学 高三第五次模拟测试
数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若集合，集合，则（ ）【答案】B
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则（ ）【答案】D
A. B.的虚部为
C. D.在复平面内对应的点在第四象限
3. 已知等差数列前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ）
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
【答案】C
4.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5.已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
6.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令正三棱台的上底面积为，则下底面积为，
依题意，，解得，
而，则，同理，
为两底面的中心，为的中点，过作下底面垂线，垂足为，
则在上.
，，，
则斜高，
所以正三棱台的侧面积.
故选A.
7.已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B．1 C．16 D．
【答案】B
8. 定义在上的函数满足：都有，，且，则（ ）【答案】B
A. 45 B. 46 C. 91 D. 92
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分.
9．若，则下列正确的是（ ）BCD
A． B．
C． D．
10．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ）BD
A．当时， B．
C．随机变量，当，都减小时，概率增大
D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变
14.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（ ）
A．关于原点成中心对称 B．上满足的点有2个
C．面积的最大值为 D．当直线与有3个交点时，的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A，设动点，把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；对于B，易得若|则在轴上再根据的轨迹方程求解即可；对于C，由三角形得面积公式求解判断即可；对于D，联立方程组，由判别式分析求解即可.
【详解】对于A，设动点，由题可得的轨迹方程，
把关于原点对称的点 代入轨迹方程显然成立，故A正确；
对于B，时的双纽线的方程为，
若，则在的中垂线轴上，故此时，
代入得，即，所以只有一个点，故B错误；
对于C，因为，是上的一点，
故，
当，即时等号成立，
下面说明垂直时可取到，
，则，
代入，
得，解得，故C正确；
对于D，直线与有3个交点时，
联立与，
得，当时，适合上述方程，
当时，，
即，则，则，
所以直线与有3个交点时，的取值范围是，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12.已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____【答案】
13.已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，a的取值范围为_____
【答案】(－∞，2].
14.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 .
【答案】
【分析】分（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁，（2）甲胜乙丁，平或负丙，（3）甲胜丙丁，三种情况分别分析，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可.
【详解】（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁：
① 乙胜丙，且乙平或负丁，概率为；
② 乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为．
因此，（1）概率为．
（2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为．
（3）甲胜丙丁：
① 甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为；
② 甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为；
③ 甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为，
因此，（3）概率为．
综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据题意，甲队胜两场且乙队胜一场，可分为甲胜乙丙，且甲平或负丁；甲胜乙丁，平或负丙；甲胜丙丁三种情况分析，分别由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)用模拟与的关系，求出回归方程；
(2)根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？
附：①；
②；
③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：.
16.【答案】(1)
(2)10月
【详解】（1）令，则，
，，故.
（2）令，
故，故10月开始超过.
15. 在中，角所对的边分别 ，且 .
（1）求角 的值；
（2）若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理可得，进而可得，可得；
（2）由为锐角三角形可得，根据正弦定理可得，进而可得，，进而可得.
【小问1详解】
由及正弦定理可得，
得，
得，
得，
因，故，故，即，
又，故.
【小问2详解】
由得，
由为锐角三角形可得得，
由正弦定理可得，故，
即，
因，故，故，
故，，故，
故面积的取值范围为
17.（15分）
已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
17.（15分）
解：（1）设，且点，得，.
由直线与直线的斜率之比为，得：
又因为点在上，所以，，
将代入，解得，所以，的方程为.
（2）当直线斜率为0时，分别为轴上两个端点，
此时，若满足，则
当直线斜率不为0时，设
由得
也成立
综上，椭圆的长轴上存在定点，使得直线与椭圆交于两点时，恰好成等差数列.
18．如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为.
(1)当时，时.
（i）证明：；
（ii）求；
(2)若，求的取值范围.
18．【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
【详解】（1）（i）延长交于，则是的中点；
，，平面，平面，，
，平面，平面，平面，
，.
（ii）为的重心，，所以，
由平面得，故，
如图，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系，
因为二面角与的大小分别为，知即二面角，，
故，设平面的一个法向量，
则，取
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，，
则，取，
所以平面的一个法向量，
.
（2）如图，过作，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，设，则，
故，
设平面的一个法向量，
则，
取，平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，，
则，
取，所以平面的一个法向量为，
由得二面角与相等，
，即，
整理得，所以，，
所以.
19.已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)①证明见解析；②假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列，理由见解析．
【分析】（1）求导得，即可得到结果；
（2）①根据题意，构造函数，求导可得在恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在.
【解析】（1）当时，，，
令，则，解得或，
当时，；
当时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）①，，故，
构造函数，
，则
函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即．
②，则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，
故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，无正整数解．
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合，难度较大，解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念，再由导数与数列的知识进行解答.

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