江苏省盐城市建湖县第二中学2025届高三第五次模拟测试数学试题(含答案)

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江苏省盐城市建湖县第二中学2025届高三第五次模拟测试数学试题(含答案)

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建湖县第二中学 高三第五次模拟测试
数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,复数,则( )
A. B.的虚部为
C. D.在复平面内对应的点在第四象限
3. 已知等差数列前项和为,公差,若,且,,成等比数列,则的值为( )
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
4.若非零向量,满足,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数,若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
6.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4,当棱台的高为2,体积为时,则此时正三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.已知是抛物线:上一点,且位于第一象限,点到抛物线的焦点的距离为4,过点向抛物线作两条切线,切点分别为,,则( )
A. B.1 C.16 D.
8. 定义在上的函数满足:都有,,且,则( )【答案】B
A. 45 B. 46 C. 91 D. 92
二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.若,则下列正确的是( )BCD
A. B.
C. D.
10.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )BD
A.当时, B.
C.随机变量,当,都减小时,概率增大
D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变
14.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中,把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点,则( )
A.关于原点成中心对称 B.上满足的点有2个
C.面积的最大值为 D.当直线与有3个交点时,的取值范围是
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.已知直线(,),若直线被圆所截得的弦长为,则的最大值为_____
13.已知函数f(x)=ln x-ax+1,其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),直线AB的斜率为k,若x1+x2+k>0恒成立,a的取值范围为_____
14.在2024年欧洲杯某小组赛中,共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛,即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次,最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前,积分同者名次并列),积分规则为每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为,则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 .
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某企业前8个月月底的盈利金额(万元)与月份之间的关系如下表所示:
1 2 3 4 5 6 7 8
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)用模拟与的关系,求出回归方程;
(2)根据(1)的结果计算,在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元?
附:①;
②;
③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为:.
16. 在中,角所对的边分别 ,且 .
(1)求角 的值;
(2)若为锐角三角形,且 ,求面积的取值范围.
17.(15分)
已知椭圆的左右顶点分别为,点在椭圆上.点为直线上的动点,直线与直线的斜率之比为.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆的长轴上是否存在定点,使得直线与椭圆交于两点,当点在直线上运动时,恒构成等差数列?若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
18.如图,在三棱柱中,为的重心,平面,记二面角与的大小分别为.
(1)当时,时.
(i)证明:;
(ii)求;
(2)若,求的取值范围.
19.已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)定义函数,对于数列,若,则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”.
①已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
②已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.建湖县第二中学 高三第五次模拟测试
数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若集合,集合,则( )【答案】B
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,复数,则( )【答案】D
A. B.的虚部为
C. D.在复平面内对应的点在第四象限
3. 已知等差数列前项和为,公差,若,且,,成等比数列,则的值为( )
A. 11 B. 13 C. 19 D. 17
【答案】C
4.若非零向量,满足,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】B
5.已知函数,若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
【答案】A
6.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4,当棱台的高为2,体积为时,则此时正三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令正三棱台的上底面积为,则下底面积为,
依题意,,解得,
而,则,同理,
为两底面的中心,为的中点,过作下底面垂线,垂足为,
则在上.
,,,
则斜高,
所以正三棱台的侧面积.
故选A.
7.已知是抛物线:上一点,且位于第一象限,点到抛物线的焦点的距离为4,过点向抛物线作两条切线,切点分别为,,则( )
A. B.1 C.16 D.
【答案】B
8. 定义在上的函数满足:都有,,且,则( )【答案】B
A. 45 B. 46 C. 91 D. 92
二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.若,则下列正确的是( )BCD
A. B.
C. D.
10.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )BD
A.当时, B.
C.随机变量,当,都减小时,概率增大
D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变
14.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布 伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中,把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点,则( )
A.关于原点成中心对称 B.上满足的点有2个
C.面积的最大值为 D.当直线与有3个交点时,的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A,设动点,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立;对于B,易得若|则在轴上再根据的轨迹方程求解即可;对于C,由三角形得面积公式求解判断即可;对于D,联立方程组,由判别式分析求解即可.
【详解】对于A,设动点,由题可得的轨迹方程,
把关于原点对称的点 代入轨迹方程显然成立,故A正确;
对于B,时的双纽线的方程为,
若,则在的中垂线轴上,故此时,
代入得,即,所以只有一个点,故B错误;
对于C,因为,是上的一点,
故,
当,即时等号成立,
下面说明垂直时可取到,
,则,
代入,
得,解得,故C正确;
对于D,直线与有3个交点时,
联立与,
得,当时,适合上述方程,
当时,,
即,则,则,
所以直线与有3个交点时,的取值范围是,故D正确;
故选:ACD.
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.已知直线(,),若直线被圆所截得的弦长为,则的最大值为_____【答案】
13.已知函数f(x)=ln x-ax+1,其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),直线AB的斜率为k,若x1+x2+k>0恒成立,a的取值范围为_____
【答案】(-∞,2].
14.在2024年欧洲杯某小组赛中,共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛,即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次,最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前,积分同者名次并列),积分规则为每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为,则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 .
【答案】
【分析】分(1)甲胜乙丙,且甲平或负丁,(2)甲胜乙丁,平或负丙,(3)甲胜丙丁,三种情况分别分析,由相互独立事件的概率公式求解,再相加即可.
【详解】(1)甲胜乙丙,且甲平或负丁:
① 乙胜丙,且乙平或负丁,概率为;
② 乙胜丁,且乙平或负丙,同①,概率为.
因此,(1)概率为.
(2)甲胜乙丁,平或负丙,同(1),概率为.
(3)甲胜丙丁:
① 甲平乙,乙胜丙,且乙平或负丁,此时概率为;
② 甲平乙,乙胜丁,且乙平或负丙,同①,概率为;
③ 甲负乙,乙平或负丙、丁,此时概率为,
因此,(3)概率为.
综上:甲胜两场且乙胜一场的概率为.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:根据题意,甲队胜两场且乙队胜一场,可分为甲胜乙丙,且甲平或负丁;甲胜乙丁,平或负丙;甲胜丙丁三种情况分析,分别由相互独立事件的概率公式求解,再相加即可.
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某企业前8个月月底的盈利金额(万元)与月份之间的关系如下表所示:
1 2 3 4 5 6 7 8
1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70
(1)用模拟与的关系,求出回归方程;
(2)根据(1)的结果计算,在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元?
附:①;
②;
③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为:.
16.【答案】(1)
(2)10月
【详解】(1)令,则,
,,故.
(2)令,
故,故10月开始超过.
15. 在中,角所对的边分别 ,且 .
(1)求角 的值;
(2)若为锐角三角形,且 ,求面积的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】(1)根据正弦定理可得,进而可得,可得;
(2)由为锐角三角形可得,根据正弦定理可得,进而可得,,进而可得.
【小问1详解】
由及正弦定理可得,
得,
得,
得,
因,故,故,即,
又,故.
【小问2详解】
由得,
由为锐角三角形可得得,
由正弦定理可得,故,
即,
因,故,故,
故,,故,
故面积的取值范围为
17.(15分)
已知椭圆的左右顶点分别为,点在椭圆上.点为直线上的动点,直线与直线的斜率之比为.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆的长轴上是否存在定点,使得直线与椭圆交于两点,当点在直线上运动时,恒构成等差数列?若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
17.(15分)
解:(1)设,且点,得,.
由直线与直线的斜率之比为,得:
又因为点在上,所以,,
将代入,解得,所以,的方程为.
(2)当直线斜率为0时,分别为轴上两个端点,
此时,若满足,则
当直线斜率不为0时,设
由得
也成立
综上,椭圆的长轴上存在定点,使得直线与椭圆交于两点时,恰好成等差数列.
18.如图,在三棱柱中,为的重心,平面,记二面角与的大小分别为.
(1)当时,时.
(i)证明:;
(ii)求;
(2)若,求的取值范围.
18.【答案】(1)(i)证明见解析;(ii)
(2)
【详解】(1)(i)延长交于,则是的中点;
,,平面,平面,,
,平面,平面,平面,
,.
(ii)为的重心,,所以,
由平面得,故,
如图,过作,以分别为轴建立空间直角坐标系,
因为二面角与的大小分别为,知即二面角,,
故,设平面的一个法向量,
则,取
平面的一个法向量,
设平面的一个法向量,,
则,取,
所以平面的一个法向量,
.
(2)如图,过作,过作,以分别为轴建立空间直角坐标系,
因为,设,则,
故,
设平面的一个法向量,
则,
取,平面的一个法向量为,
平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量,,
则,
取,所以平面的一个法向量为,
由得二面角与相等,
,即,
整理得,所以,,
所以.
19.已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)定义函数,对于数列,若,则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”.
①已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
②已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
【答案】(1)单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2)①证明见解析;②假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列,理由见解析.
【分析】(1)求导得,即可得到结果;
(2)①根据题意,构造函数,求导可得在恒成立,即可证明;②根据题意,结合“源数列”以及“生成数列”的概念,然后假设存在,代入计算,即可得到方程无解,故不存在.
【解析】(1)当时,,,
令,则,解得或,
当时,;
当时,;
所以的单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2)①,,故,
构造函数,
,则
函数在上单调递增,,故在恒成立,单调递增,
故,即,,
当时,,
综上所述:恒成立,即.
②,则,,
设,即,则,
设函数,函数单调递增,对于任意,有唯一的与之对应,
即数列中每一项,都有中的项与之相等,单调递增,
故,
假设数列中存在连续三项构成等比数列,,,,
故,整理得到,无正整数解.
故假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列.
【点睛】关键点睛:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合,难度较大,解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念,再由导数与数列的知识进行解答.

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