江苏省连云港市海州区新海协作体高一联考2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题(含答案)

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江苏省连云港市海州区新海协作体高一联考2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题(含答案)

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2025 新海协作体高一数学参考答案
具体评分标准参考教研群
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答 B D B C D A B B BCD ACD

题 11

答 CD

12.4


. ( ) 因 为 ,所 以 ,所 以 ,
因为 ,则 ,所 以 , ;
( ) 因 为 ,

所以 ,
设 与 量 的夹 角 为 ,则

因为 ,所 以 ,即 与 的夹 角 为
( ) 由 正 弦 定 理 得 , ,
又 , ,

, ,

, ,
( ) 面积 为 ,


由 得
即 , ,
.
. ( ) 在 直 三 棱 柱 中 设 点 到 平 面 的距 离 为 ,
解得 ,
则所以 点 到 平 面 的距 离 为 ; ,
. ( ) 由 已 知 当 时, ,
所以 , ,
所以 ,
因为 ,所 ,
( ) 当 时, ,即 为 的中 点 ,
因为 三点 共 线 ,
设 ,则

因为 三点 共 线 ,
设 ,则
又 不共 线 , ,
由( ) ,又 ,
所以

因为 ,所 以 当 时,
. ( ) 记 水 面 与 棱 分别 交 于 点
根据 平 面 向 量 基 本 定 理 得 解得
所以 ,又 ,则
所以
( ) 因 为

所以

,取得最小值,且
最小值为 .

当侧面 水平放置时,水是以 为底,高为 8 的直棱柱,因为
, 分别 为 棱 的中 点 ,
所以,所以水的体积为

当底 面 水 平 放 置 时 , 设 水 面 高 为 ,
则 ,解得 ,
即当底面 ABC 水平放置时,水面高为 6.
( ) 因 为 三 棱 柱 体积 为 ,
所以 三 棱 锥 的体 积 为 ,
空气 部 分 的 体 积 为 ,
因为 ,所 以 当 水 面 经 过 段 时, 水 面 与 棱 交于点 ,如
图,

由 ,
的中 点 为 ,连 接 ,则 ,因为
,所 以 ,
又 平面 , 平面 ,所 以 , ,
因为 , 平面 ,所 以 平面 ,因为
平面 ,所以平面 平面 ,所以直线 在平面 内的投影为 ,所以
为直线 与水平面所成角,又
,所 以
所以 ,

因为 ,所以水面到地面的距 离为
(3)由上可知,水面第一次过顶点 C 之前,水
面与棱 相交,如图:
记 的中 点 分 别 为 , 在 上, 且 , ,
易知 , 为正 三 角 形 , 设 ,
,所 以 ,
整理 得 ①,
又因 为 平面 , 平面 ,平 面 平面

,所以 与 的交点必在 上,所以 为棱台,
所以 ,
整理 得 ②,
联立 ① 可 得 , ,
因为 ,所 以 为平 行 四 边 形 ,
所以 ,
易知 为等 腰 梯 形 , 所 以 为等 腰 梯 形 的高 ,
所以 水 面 面 积 ,

当水 面 刚 好 过 点 时, ,解 得 ,
则 , ,
由题 意 可 知 , 则 ,
记 , ,
由二 次 函 数 性 质 可 知 , ,即
所以 ,所 以 ,
即水 面 面 积 的 取 值 范 围 为 ,2024-2025学年度连云港市新海协作体第二学期学业质量监测
高一数学试题
注意事项
1.本试卷共4页,满分为150分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确。
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。作答非选择题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
一、单选题(共8小题 满分40分)
1.已知复数,则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题中正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
3.设向量,若,则( )
A. B. C. D.0
4.如图所示,梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图,,则平面图形的面积为( )
A. B.2 C.3 D.
5.正四棱台的上、下底面边长分别为,,侧棱长为,则棱台的侧面积为( )
A. B.
C. D.
6.在中, 若, 则的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7.若,且,则( )
A. B. C. D.
8.在正四棱锥中,底面四边形是边长为的正方形,当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时,则该正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题(共3小题 满分18分)
9.已知中,内角,,所对的边分别为,,,则下列命题中,正确的命题是( )
A.若,则为等腰三角形
B.若,则;反之,若,则
C.,,,要使此三角形的解有两个,则的取值范围为
D.,角的平分线交边于,且,则的最小值为12
10.在底面是菱形的四棱锥中,,,,点在上,且,点是棱的动点,则下列说法正确的是( )
A.
B.三棱锥的体积为
C.当是棱的中点时,平面
D.直线与平面所成的角的正切值最大为
11.如图,已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,点P在侧面内运动(包含边界),且AP与平面所成角的正切值为,点Q为上一点,且,则下列结论中正确的有( )
A.正三棱台的高为
B.点P的轨迹长度为
C.高为,底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D.过点A,B,Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题(共3小题 满分15分)
12.已知为一单位向量,与之间的夹角是120°,而在方向上的投影向量为,则 .
13.已知,且,则 .
14.在锐角中,内角、、的对边分别为、、,已知,,点是线段的中点,则线段长的取值范围为 .
四、解答题(共5大题 满分77分)
15.(13分;已知向量,,,且,
(1)求与;
(2)若,,求向量,夹角的大小.
16.(15分)已知的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若,面积为,求的值.
17.(15分)如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.
(1)求A到平面的距离;
(2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
18.(17分)在平行四边形中,是线段的中点,点在直线上,且.
(1)当时,求的值;
(2)当时,与交于点,求的值;
(3)求的最小值.
19.(17分)如图1,一个正三棱柱形容器中盛有水,底面边长为4,侧棱,若侧面水平放置时,水面恰好过AC,BC,,的中点.现在固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜.随着倾斜程度不同,水面的形状也不同.
(1)如图2,当底面ABC水平放置时,水面高为多少
(2)当水面经过线段时,水面与地面的距离为多少
(3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中(不包括起始和终止位置),水面面积S的取值范围.(假设旋转过程中水面始终呈水平状态,不考虑水面的波动)
高一数学试题 第1页 共3页

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