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2025 新海协作体高一数学参考答案
具体评分标准参考教研群
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
答 B D B C D A B B BCD ACD
案
题 11
号
答 CD
案
12．4
．
．
． （ ） 因 为 ，所 以 ，所 以 ，
因为 ，则 ，所 以 ， ；
（ ） 因 为 ，
，
所以 ，
设 与 量 的夹 角 为 ，则
，
因为 ，所 以 ，即 与 的夹 角 为
（ ） 由 正 弦 定 理 得 ， ，
又 ， ，
，
， ，
，
， ，
（ ） 面积 为 ，
，
，
由 得
即 ， ，
.
． （ ） 在 直 三 棱 柱 中 设 点 到 平 面 的距 离 为 ，
解得 ，
则所以 点 到 平 面 的距 离 为 ； ，
． （ ） 由 已 知 当 时， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所 ，
（ ） 当 时， ，即 为 的中 点 ，
因为 三点 共 线 ，
设 ，则
，
因为 三点 共 线 ，
设 ，则
又 不共 线 ， ，
由（ ） ，又 ，
所以
，
因为 ，所 以 当 时，
． （ ） 记 水 面 与 棱 分别 交 于 点
根据 平 面 向 量 基 本 定 理 得 解得
所以 ，又 ，则
所以
（ ） 因 为
，
所以
，
，取得最小值，且
最小值为 .
，
当侧面 水平放置时，水是以 为底，高为 8 的直棱柱，因为
， 分别 为 棱 的中 点 ，
所以，所以水的体积为
，
当底 面 水 平 放 置 时 ， 设 水 面 高 为 ，
则 ，解得 ，
即当底面 ABC 水平放置时，水面高为 6.
（ ） 因 为 三 棱 柱 体积 为 ，
所以 三 棱 锥 的体 积 为 ，
空气 部 分 的 体 积 为 ，
因为 ，所 以 当 水 面 经 过 段 时， 水 面 与 棱 交于点 ，如
图，
记
由 ，
的中 点 为 ，连 接 ，则 ，因为
，所 以 ，
又 平面 ， 平面 ，所 以 ， ，
因为 ， 平面 ，所 以 平面 ，因为
平面 ，所以平面 平面 ，所以直线 在平面 内的投影为 ，所以
为直线 与水平面所成角，又
，所 以
所以 ，
，
因为 ，所以水面到地面的距 离为
（3）由上可知，水面第一次过顶点 C 之前，水
面与棱 相交，如图：
记 的中 点 分 别 为 ， 在 上， 且 ， ，
易知 ， 为正 三 角 形 ， 设 ，
，所 以 ，
整理 得 ①，
又因 为 平面 ， 平面 ，平 面 平面
则
，所以 与 的交点必在 上，所以 为棱台，
所以 ，
整理 得 ②，
联立 ① 可 得 ， ，
因为 ，所 以 为平 行 四 边 形 ，
所以 ，
易知 为等 腰 梯 形 ， 所 以 为等 腰 梯 形 的高 ，
所以 水 面 面 积 ，
则
当水 面 刚 好 过 点 时， ，解 得 ，
则 ， ，
由题 意 可 知 ， 则 ，
记 ， ，
由二 次 函 数 性 质 可 知 ， ，即
所以 ，所 以 ，
即水 面 面 积 的 取 值 范 围 为 ，2024-2025学年度连云港市新海协作体第二学期学业质量监测
高一数学试题
注意事项
1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3.请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确。
4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
一、单选题（共8小题 满分40分）
1．已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．设向量，若，则（ ）
A． B． C． D．0
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．在中， 若， 则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题 满分18分）
9．已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则；反之，若，则
C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为
D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为12
10．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．当是棱的中点时，平面
D．直线与平面所成的角的正切值最大为
11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．点P的轨迹长度为
C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题（共3小题 满分15分）
12．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则 ．
13．已知，且，则 .
14．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ．
四、解答题（共5大题 满分77分）
15．（13分；已知向量，，，且，
(1)求与；
(2)若，，求向量，夹角的大小.
16．（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，面积为，求的值.
17．（15分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
18．（17分）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
(1)当时，求的值；
(2)当时，与交于点，求的值；
(3)求的最小值.
19．（17分）如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
(1)如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少
(2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少
(3)试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）
高一数学试题 第1页 共3页

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