江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高一下学期期数学末模拟试卷(含答案)

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江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高一下学期期数学末模拟试卷(含答案)

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镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3
姓名
一 单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足,则的虚部为 ( )
A. B. C. D.
2.的值为 ( )
A. B. C. D.
3.已知菱形的边长为2,则 ( )
A. B. C. D.
4.设是两个平面,是两条直线,则的一个充分条件是 ( )
A. B.
C.与相交 D.
5.在中,上一点,且,则 ( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱台的下底面边长为,侧棱长为2,侧棱与底面所成的角为,则该三棱台的体积为 ( )
A. B. C. D.
7. 在中,三个内角所对的边分别为是的三等分点,且.若
的面积时,则的长为 ( )
A. B. C. D.
8.已知,,则( )
A. B. C. D.
二 多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全
9.如图,设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴,其中分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标,记为,则下列结论正确的是 ( )
A. 若,则
B. 若,则在上的投影向量为
C. 若的最小值为,则
D. 若对任意的,恒有,则
10.如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,,且,则下列说法中正确的是 ( )
A.存在点,,使得
B.异面直线与所成的角为60°
C.三棱锥的体积为
D.点到平面的距离为
11.关于函数,下列结论正确的是 ( )
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根,则
C. 在中,若为锐角且,角的对边,则面积的最大值为
D. 在中,若为锐角且,面积为,边的中点为,则中线的最小值为
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.已知,且,则 .
13.在平行四边形中,分别为边的中点,若,则 .
14.在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是边长为2的正三角形,PA⊥平面ABC,M,N分别是AB,PC的中点,若异面直线MN,PB所成角的余弦值为,则PA的长为_____;三棱锥P-ABC的外接球表面积为__ ___.
四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知复数,,.
(1)当时,求的值.
(2)若是纯虚数,求的值.
(3)若在复平面上对应的点在第二象限,求的取值范围.
16.已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若,与的夹角为锐角,求实数m的取值范围.
17.记的内角的对边分别为,已知,点上,
(1)证明:;
(2)若
18.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在点使平面平面成立?如果存在,求出,如果不存在,说明理由.
19.如图所示,是在沿海海面上相距海里的两个哨所,的正南方向,哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船,同时,哨所也发现走私船在其东北方向上,两哨所立即联系缉私艇前往拦截,缉私艇位于点南偏西的点,且与相距海里.
(1)求刚发现走私船时,走私船与哨所的距离;(2)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度方向上?(3)若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜,立即以30海里/小时的速度进行追截,缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船?镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3
姓名
一 单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足,则的虚部为 ( C )
A. B. C. D.
2.的值为 ( A )
A. B. C. D.
3.已知菱形的边长为2,则 ( B )
A. B. C. D.
4.设是两个平面,是两条直线,则的一个充分条件是 ( D )
A. B.
C.与相交 D.
5.在中,上一点,且,则 ( C )
A. B. C. D.
6.已知正三棱台的下底面边长为,侧棱长为2,侧棱与底面所成的角为,则该三棱台的体积为 ( D )
A. B. C. D.
【详解】将正棱台补全为一个棱锥,为底面中心,如图所示,所以
,则,
而棱台的高,
所以,则该三棱台的体积为.故选D.
7. 在中,三个内角所对的边分别为是的三等分点,且.若
的面积时,则的长为 ( A )
A. B. C. D.
8.已知,,则( A )
A. B. C. D.
【详解】,.
,,,,,
又因为,所以,
则,所以
.
.故选:A
二 多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全
9.如图,设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴,其中分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标,记为,则下列结论正确的是 ( ABD )
A. 若,则
B. 若,则在上的投影向量为
C. 若的最小值为,则
D. 若对任意的,恒有,则
【详解】由题意,所以,故A正确;
因为,所以在上的投影向量为,故B正确;
,即,所以或,故C错误;由,两边平方得.即任意,,若,上式恒成立,即,若,所以,得,故D正确.故选:ABD.
10.如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,,且,则下列说法中正确的是( BCD )
A.存在点,,使得
B.异面直线与所成的角为60°
C.三棱锥的体积为
D.点到平面的距离为
【详解】连接.对于A选项,平面,平面,,
所以与是异面直线,所以A选项错误;对于B选项,,所以异面直线与所成的角为,由于三角形是等边三角形,所以,所以B选项正确;
对于C选项,设,根据正方体的性质可知,
由于平面,所以平面,
所以到平面的距离为.
,所以C选项正确.
对于D选项,设点到平面的距离为,


解得,所以D选项正确.故选BCD.
11.关于函数,下列结论正确的是 ( BCD )
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根,则
C. 在中,若为锐角且,角的对边,则面积的最大值为
D. 在中,若为锐角且,面积为,边的中点为,则中线的最小值为
【详解】因为
,对于A:因为,所以,的最大值为,故A错误;对于B:,,
令,解得,令,解得,
所以在上单调递增,,在上单调递减,,
又方程在区间有两个不相等的实根,即与在区间有两个交点,,,故B正确;对于C:,为锐角,则,,,,,
,可得,当且仅当时等号成立,面积为,当且仅当时等号成立,的面积最大值为,故C正确;
对于D:,为锐角,则,,,
面积为,,
又,所以
,当且仅当时等号成立,
即,当且仅当时等号成立,最小值为,故D正确.故选:BCD .
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.已知,且,则 .
13.在平行四边形中,分别为边的中点,若,则 .
14.在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是边长为2的正三角形,PA⊥平面ABC,M,N分别是AB,PC的中点,若异面直线MN,PB所成角的余弦值为,则PA的长为___. 2 __;三棱锥P-ABC的外接球表面积为__ ##___.
【详解】取BC中点E,连接NE,ME,
设,∴.
取AC中点F,连接NF、MF,则,因为PA⊥平面ABC,所以NF⊥平面ABC,由MF平面ABC,所以,所以
∴,∴
设底面△ABC外心为,由正弦定理得,过作⊥平面ABC,则三棱锥P—ABC外接球球心O一定在O1Q上,由,取PA中点R,则,∴
∴外接球半径故答案为:2,
四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知复数,,.
(1)当时,求的值.
(2)若是纯虚数,求的值.
(3)若在复平面上对应的点在第二象限,求的取值范围.
15.解:(1)当时,可得;
(2)由复数为纯虚数,可得,解得;
(3)由,
可得在复平面上复数对应点,
因为点位于第二象限点,可得,解得,所以的范围是.
16.已知向量,.
(1)若,求的值;
(2)若,与的夹角为锐角,求实数m的取值范围.
16.解:(1)解:因为向量,,且,
则,,则,可得,
所以,,解得.
(2)解:当时,,则,
因为与的夹角为锐角,则,
解得,
且与不共线,则,可得,
综上所述,实数的取值范围是.
17.记的内角的对边分别为,已知,点上,
(1)证明:;(2)若
17.(1)证明:由正弦定理知:


即;
(2)由(1)知,
在中,由余弦定理知,

在中,由余弦定理知,


化简得,

在中,由余弦定理知,


当,
综上所述,
18.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在点使平面平面成立?如果存在,求出,如果不存在,说明理由.
18.解:(1)因为侧面是正三角形,是的中点,
所以,
因为,面面,面面面,
所以面,
又面,所以,
又平面,
所以平面;
(2)取的中点的中点,连接,
则且,
故,
因为面面,面面面,
所以面,
因为面,所以,
又平面,所以平面,
又平面所以,
则即为侧面与底面所成二面角的平面角,
设,则,故,
所以,
即侧面与底面所成二面角的余弦值为;
(3)当面时,平面平面,证明如下:
如图,连接交于点,连接,
因为底面是正方形,所以,
由(2)得面,
因为面,所以,
因为面时,,所以,
又平面,
所以平面,
又平面,所以平面平面,
因为,所以,
因为,所以,
所以在棱上是否存在点,当时,平面平面.
【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:
(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有:
①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;
(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
19.如图所示,是在沿海海面上相距海里的两个哨所,的正南方向,哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船,同时,哨所也发现走私船在其东北方向上,两哨所立即联系缉私艇前往拦截,缉私艇位于点南偏西的点,且与相距海里.
(1)求刚发现走私船时,走私船与哨所的距离;(2)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度方向上?(3)若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜,立即以30海里/小时的速度进行追截,缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船?
19.解:(1)根据点点的南偏东,在点的东北方向,可得
,
由正弦定理
结合,
可得,
即走私船与观测点的距离为海里;
(2)由(1)的结论,,

由余弦定理,
,可知
刚发现走私船时,走私船距缉私艇30海里,在缉私艇的北偏东方向上;
(3)设小时缉私艇处追上走私船,则

在中,由余弦定理得

即化简得

因此,缉私艇至少需要小时追上走私船.

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