资源简介 镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3姓名一 单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数满足,则的虚部为 ( )A. B. C. D.2.的值为 ( )A. B. C. D.3.已知菱形的边长为2,则 ( )A. B. C. D.4.设是两个平面,是两条直线,则的一个充分条件是 ( )A. B.C.与相交 D.5.在中,上一点,且,则 ( )A. B. C. D.6.已知正三棱台的下底面边长为,侧棱长为2,侧棱与底面所成的角为,则该三棱台的体积为 ( )A. B. C. D.7. 在中,三个内角所对的边分别为是的三等分点,且.若的面积时,则的长为 ( )A. B. C. D.8.已知,,则( )A. B. C. D.二 多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全9.如图,设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴,其中分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标,记为,则下列结论正确的是 ( )A. 若,则B. 若,则在上的投影向量为C. 若的最小值为,则D. 若对任意的,恒有,则10.如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,,且,则下列说法中正确的是 ( )A.存在点,,使得B.异面直线与所成的角为60°C.三棱锥的体积为D.点到平面的距离为11.关于函数,下列结论正确的是 ( )A. 函数的最大值是3B. 若方程在区间有两个不相等的实根,则C. 在中,若为锐角且,角的对边,则面积的最大值为D. 在中,若为锐角且,面积为,边的中点为,则中线的最小值为三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.已知,且,则 .13.在平行四边形中,分别为边的中点,若,则 .14.在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是边长为2的正三角形,PA⊥平面ABC,M,N分别是AB,PC的中点,若异面直线MN,PB所成角的余弦值为,则PA的长为_____;三棱锥P-ABC的外接球表面积为__ ___.四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知复数,,.(1)当时,求的值.(2)若是纯虚数,求的值.(3)若在复平面上对应的点在第二象限,求的取值范围.16.已知向量,.(1)若,求的值;(2)若,与的夹角为锐角,求实数m的取值范围.17.记的内角的对边分别为,已知,点上,(1)证明:;(2)若18.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面是的中点.(1)求证:平面;(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值;(3)在棱上是否存在点使平面平面成立?如果存在,求出,如果不存在,说明理由.19.如图所示,是在沿海海面上相距海里的两个哨所,的正南方向,哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船,同时,哨所也发现走私船在其东北方向上,两哨所立即联系缉私艇前往拦截,缉私艇位于点南偏西的点,且与相距海里.(1)求刚发现走私船时,走私船与哨所的距离;(2)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度方向上?(3)若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜,立即以30海里/小时的速度进行追截,缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船?镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3姓名一 单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数满足,则的虚部为 ( C )A. B. C. D.2.的值为 ( A )A. B. C. D.3.已知菱形的边长为2,则 ( B )A. B. C. D.4.设是两个平面,是两条直线,则的一个充分条件是 ( D )A. B.C.与相交 D.5.在中,上一点,且,则 ( C )A. B. C. D.6.已知正三棱台的下底面边长为,侧棱长为2,侧棱与底面所成的角为,则该三棱台的体积为 ( D )A. B. C. D.【详解】将正棱台补全为一个棱锥,为底面中心,如图所示,所以,则,而棱台的高,所以,则该三棱台的体积为.故选D.7. 在中,三个内角所对的边分别为是的三等分点,且.若的面积时,则的长为 ( A )A. B. C. D.8.已知,,则( A )A. B. C. D.【详解】,.,,,,,又因为,所以,则,所以..故选:A二 多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全9.如图,设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴,其中分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标,记为,则下列结论正确的是 ( ABD )A. 若,则B. 若,则在上的投影向量为C. 若的最小值为,则D. 若对任意的,恒有,则【详解】由题意,所以,故A正确;因为,所以在上的投影向量为,故B正确;,即,所以或,故C错误;由,两边平方得.即任意,,若,上式恒成立,即,若,所以,得,故D正确.故选:ABD.10.如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,,且,则下列说法中正确的是( BCD )A.存在点,,使得B.异面直线与所成的角为60°C.三棱锥的体积为D.点到平面的距离为【详解】连接.对于A选项,平面,平面,,所以与是异面直线,所以A选项错误;对于B选项,,所以异面直线与所成的角为,由于三角形是等边三角形,所以,所以B选项正确;对于C选项,设,根据正方体的性质可知,由于平面,所以平面,所以到平面的距离为.,所以C选项正确.对于D选项,设点到平面的距离为,,,解得,所以D选项正确.故选BCD.11.关于函数,下列结论正确的是 ( BCD )A. 函数的最大值是3B. 若方程在区间有两个不相等的实根,则C. 在中,若为锐角且,角的对边,则面积的最大值为D. 在中,若为锐角且,面积为,边的中点为,则中线的最小值为【详解】因为,对于A:因为,所以,的最大值为,故A错误;对于B:,,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,,在上单调递减,,又方程在区间有两个不相等的实根,即与在区间有两个交点,,,故B正确;对于C:,为锐角,则,,,,,,可得,当且仅当时等号成立,面积为,当且仅当时等号成立,的面积最大值为,故C正确;对于D:,为锐角,则,,,面积为,,又,所以,当且仅当时等号成立,即,当且仅当时等号成立,最小值为,故D正确.故选:BCD .三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.已知,且,则 .13.在平行四边形中,分别为边的中点,若,则 .14.在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是边长为2的正三角形,PA⊥平面ABC,M,N分别是AB,PC的中点,若异面直线MN,PB所成角的余弦值为,则PA的长为___. 2 __;三棱锥P-ABC的外接球表面积为__ ##___.【详解】取BC中点E,连接NE,ME,设,∴.取AC中点F,连接NF、MF,则,因为PA⊥平面ABC,所以NF⊥平面ABC,由MF平面ABC,所以,所以∴,∴设底面△ABC外心为,由正弦定理得,过作⊥平面ABC,则三棱锥P—ABC外接球球心O一定在O1Q上,由,取PA中点R,则,∴∴外接球半径故答案为:2,四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知复数,,.(1)当时,求的值.(2)若是纯虚数,求的值.(3)若在复平面上对应的点在第二象限,求的取值范围.15.解:(1)当时,可得;(2)由复数为纯虚数,可得,解得;(3)由,可得在复平面上复数对应点,因为点位于第二象限点,可得,解得,所以的范围是.16.已知向量,.(1)若,求的值;(2)若,与的夹角为锐角,求实数m的取值范围.16.解:(1)解:因为向量,,且,则,,则,可得,所以,,解得.(2)解:当时,,则,因为与的夹角为锐角,则,解得,且与不共线,则,可得,综上所述,实数的取值范围是.17.记的内角的对边分别为,已知,点上,(1)证明:;(2)若17.(1)证明:由正弦定理知:,,即;(2)由(1)知,在中,由余弦定理知,,在中,由余弦定理知,,,化简得,,在中,由余弦定理知,,当当,综上所述,18.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面是的中点.(1)求证:平面;(2)求侧面与底面所成二面角的余弦值;(3)在棱上是否存在点使平面平面成立?如果存在,求出,如果不存在,说明理由.18.解:(1)因为侧面是正三角形,是的中点,所以,因为,面面,面面面,所以面,又面,所以,又平面,所以平面;(2)取的中点的中点,连接,则且,故,因为面面,面面面,所以面,因为面,所以,又平面,所以平面,又平面所以,则即为侧面与底面所成二面角的平面角,设,则,故,所以,即侧面与底面所成二面角的余弦值为;(3)当面时,平面平面,证明如下:如图,连接交于点,连接,因为底面是正方形,所以,由(2)得面,因为面,所以,因为面时,,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面,因为,所以,因为,所以,所以在棱上是否存在点,当时,平面平面.【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有:①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.19.如图所示,是在沿海海面上相距海里的两个哨所,的正南方向,哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船,同时,哨所也发现走私船在其东北方向上,两哨所立即联系缉私艇前往拦截,缉私艇位于点南偏西的点,且与相距海里.(1)求刚发现走私船时,走私船与哨所的距离;(2)刚发现走私船时,走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度方向上?(3)若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜,立即以30海里/小时的速度进行追截,缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船?19.解:(1)根据点点的南偏东,在点的东北方向,可得,由正弦定理结合,可得,即走私船与观测点的距离为海里;(2)由(1)的结论,,,由余弦定理,,可知刚发现走私船时,走私船距缉私艇30海里,在缉私艇的北偏东方向上;(3)设小时缉私艇处追上走私船,则,在中,由余弦定理得,即化简得,因此,缉私艇至少需要小时追上走私船. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3(学生版).docx 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3(教师版).docx