资源简介

镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足，则的虚部为 （ ）
A. B. C. D.
2．的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知菱形的边长为2，则 ( )
A． B． C． D．
4．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是 （ ）
A． B．
C．与相交 D．
5．在中，上一点，且，则 （ ）
A． B． C． D．
6.已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7． 在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若
的面积时，则的长为 （ ）
A. B. C. D.
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9．如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是 （ ）
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
10.如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是 （ ）
A．存在点，，使得
B．异面直线与所成的角为60°
C．三棱锥的体积为
D．点到平面的距离为
11．关于函数，下列结论正确的是 （ ）
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则
C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为
D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．已知，且，则 .
13．在平行四边形中，分别为边的中点，若,则 .
14．在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点，若异面直线MN，PB所成角的余弦值为，则PA的长为_____；三棱锥P－ABC的外接球表面积为__ ___．
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知复数，，.
（1）当时，求的值.
（2）若是纯虚数，求的值.
（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围.
16．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
17．记的内角的对边分别为，已知，点上，
（1）证明：；
（2）若
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由.
19．如图所示，是在沿海海面上相距海里的两个哨所，的正南方向，哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上，两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里.
（1）求刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度方向上？（3）若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/小时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷3
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足，则的虚部为 （ C ）
A. B. C. D.
2．的值为 （ A ）
A． B． C． D．
3．已知菱形的边长为2，则 ( B )
A． B． C． D．
4．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是 （ D ）
A． B．
C．与相交 D．
5．在中，上一点，且，则 （ C ）
A． B． C． D．
6.已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为 （ D ）
A． B． C． D．
【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如图所示，所以
，则，
而棱台的高，
所以，则该三棱台的体积为.故选D.
7． 在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.若
的面积时，则的长为 （ A ）
A. B. C. D.
8．已知，，则（ A ）
A． B． C． D．
【详解】，.
，，，，，
又因为，所以，
则，所以
.
.故选：A
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9．如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是 （ ABD ）
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
【详解】由题意，所以，故A正确；
因为，所以在上的投影向量为，故B正确；
，即，所以或，故C错误；由，两边平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，所以，得，故D正确.故选:ABD.
10.如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列说法中正确的是（ BCD ）
A．存在点，，使得
B．异面直线与所成的角为60°
C．三棱锥的体积为
D．点到平面的距离为
【详解】连接.对于A选项，平面，平面，，
所以与是异面直线，所以A选项错误；对于B选项，，所以异面直线与所成的角为，由于三角形是等边三角形，所以，所以B选项正确；
对于C选项，设，根据正方体的性质可知，
由于平面，所以平面，
所以到平面的距离为.
，所以C选项正确.
对于D选项，设点到平面的距离为，
，
，
解得，所以D选项正确.故选BCD.
11．关于函数，下列结论正确的是 （ BCD ）
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则
C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为
D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为
【详解】因为
，对于A：因为，所以，的最大值为，故A错误；对于B：，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，，在上单调递减，，
又方程在区间有两个不相等的实根，即与在区间有两个交点，，，故B正确；对于C：，为锐角，则，，，，，
，可得，当且仅当时等号成立，面积为，当且仅当时等号成立，的面积最大值为，故C正确；
对于D：，为锐角，则，，，
面积为，，
又，所以
，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，最小值为，故D正确．故选：BCD ．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．已知，且，则 .
13．在平行四边形中，分别为边的中点，若,则 .
14．在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点，若异面直线MN，PB所成角的余弦值为，则PA的长为___. 2 __；三棱锥P－ABC的外接球表面积为__ ##___．
【详解】取BC中点E，连接NE，ME，
设，∴．
取AC中点F，连接NF、MF，则，因为PA⊥平面ABC，所以NF⊥平面ABC，由MF平面ABC，所以，所以
∴，∴
设底面△ABC外心为，由正弦定理得，过作⊥平面ABC，则三棱锥P—ABC外接球球心O一定在O1Q上，由，取PA中点R，则，∴
∴外接球半径故答案为：2，
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知复数，，.
（1）当时，求的值.
（2）若是纯虚数，求的值.
（3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围.
15．解：（1）当时，可得；
（2）由复数为纯虚数，可得，解得；
（3）由，
可得在复平面上复数对应点，
因为点位于第二象限点，可得，解得，所以的范围是.
16．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
16．解：（1）解：因为向量，，且，
则，，则，可得，
所以，，解得.
（2）解：当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，
解得，
且与不共线，则，可得，
综上所述，实数的取值范围是.
17．记的内角的对边分别为，已知，点上，
（1）证明：；（2）若
17．（1）证明：由正弦定理知：
，
，
即；
（2）由（1）知，
在中，由余弦定理知，
，
在中，由余弦定理知，
，
，
化简得，
，
在中，由余弦定理知，
，
当
当，
综上所述，
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由.
18．解：（1）因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为，面面，面面面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中点的中点，连接，
则且，
故，
因为面面，面面面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面所以，
则即为侧面与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面与底面所成二面角的余弦值为；
（3）当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱上是否存在点，当时，平面平面.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
19．如图所示，是在沿海海面上相距海里的两个哨所，的正南方向，哨所在凌晨1点时发现其南偏东方向的点处有一膄走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上，两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里.
（1）求刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度方向上？（3）若缉私艇得知走私船以海里/小时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/小时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19．解：（1）根据点点的南偏东，在点的东北方向，可得
,
由正弦定理
结合，
可得,
即走私船与观测点的距离为海里；
（2）由（1）的结论，，
，
由余弦定理，
，可知
刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上；
（3）设小时缉私艇处追上走私船，则
，
在中，由余弦定理得
，
即化简得
，
因此，缉私艇至少需要小时追上走私船.

展开更多......

收起↑