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江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学考前热身训练
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2．二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的项的个数为
A.3 B.5 C.6 D.7 （ ）
3．已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则 （ ）
A. B. C. D.
4．若，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．已知的图象上的三点，且轴上，轴，
A． B． C． D． （ ）
7．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
8．在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为 （ ）
A B. 2 C. D.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9．下列说法中，正确的命题是 （ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C．若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是.
10．关于函数，下列结论正确的是 （ ）
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则
C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为
D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为
11．在边长为2菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得分别为棱的中点，则 （ ）
A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为
C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的表面积为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．现要安排6名大四学生（其中4名男生、2名女生）到，，三所学校实习，每所学校2人，若男生甲不安排到学校，2名女生必须安排到不同的学校且不安排到学校，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）
13．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：
甲：z＋＝2； 乙：z－＝2i； 丙：z·＝4； 丁：＝．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝________．
14．若直线与圆相切于点，且交椭圆于，两点．设为坐标原点，射线与椭圆交于点的面积与的面积分别为，，则的最大值为 ；当取得最大值时，的值为 ．
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知的内角所对的边分别为，点
（1）若；（2）若的周长为4，
①求证：；②求面积的最大值.
16．已知函数在区间内有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围.
17．在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
18．某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径(单位：)，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大
19．已知椭圆的左 右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点，焦点是的顶点.点在上，且位于第一象限，直线与的交点分别为和，其中在轴上方.
（1）求和的方程；
（2）求证：为定值；
（3）设点满足直线的斜率为1，记的面积分别为.从下面两个条件中选一个，求的取值范围.①；②.江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学考前热身训练
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则 （ D ）
A. B. C. D.
2．二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的项的个数为
A.3 B.5 C.6 D.7 （ D ）
3．已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则 （ A ）
A. B. C. D.
4．若，，则 （ B ）
A． B． C． D．
5．已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的 （ C ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【详解】因为数列是公差不为0的等差数列，设其公差为，所以，若成等比数列，则，解得，此时，为常数，充分性成立；反之，若为常数列，则，则，得 ，则，易知，故必要性成立，故“成等比数列”是“为常数列”的充要条件.故选:C．
6．已知的图象上的三点，且轴上，轴，
A． B． C． D． （ C ）
7．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为 （ A ）
A. B. C. D.
【详解】由题意可知：直线：过定点，圆：，即，可知圆心为，半径，取线段的中点，则，
可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，
可得，
当且仅当在的延长线上时，等号成立，
所以的最大值为.故选：A.
8．在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为 （ D ）
A B. 2 C. D.
【详解】由题意，平面，所以和底面所成角为，过Q作，垂足为M，连接，由于平面，平面，故，平面，故平面，平面，故，
则为二面角的平面角，即，故，故，则Q点在平面内的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
如图以为原点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为，直线的方程为，
设抛物线的和平行的切线方程为，
联立，得，
令，解得，
即得和之间的距离为，即Q点到的最短距离为，
而的长为，则面积的最小值为，
P点到平面的距离为4，故三棱锥体积的最小值为，故选：D
【点睛】关键点点睛：注意到三棱锥的高为定值，因此要求三棱锥体积的最小值，即求面积的最小值，因此可判断Q点的轨迹，结合抛物线知识求解.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全
9．下列说法中，正确的命题是 （ ABD ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C．若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是.
10．关于函数，下列结论正确的是 （ BCD ）
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根，则
C. 在中，若为锐角且，角的对边，则面积的最大值为
D. 在中，若为锐角且，面积为，边的中点为，则中线的最小值为
【详解】因为
，对于A：因为，所以，的最大值为，故A错误；对于B：，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，，在上单调递减，，
又方程在区间有两个不相等的实根，即与在区间有两个交点，，，故B正确；对于C：，为锐角，则，，，，，
，可得，当且仅当时等号成立，面积为，当且仅当时等号成立，的面积最大值为，故C正确；
对于D：，为锐角，则，，，
面积为，，
又，所以
，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，最小值为，故D正确．故选：BCD ．
11．在边长为2菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得分别为棱的中点，则 （ AC ）
A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为
C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的表面积为
【详解】对于A，由题意，得，又平面,
从而平面，又平面，故平面平面，故A正确．
对于B，取的中点，连接，所以,则就是直线与所成的角（或其补角），因为边长为的菱形中,而,易得，因为平面，所以,所以，所以，所以，故B错误．
对于C，在中，，可得的面积为，
因为平面 ，所以四面体 ,故C正确．
对于D，设和的中心分别为点，分别过点，作平面和平面的垂线交于点，则点即为四面体外接球的球心，四点共圆，且，
利用正弦定理可得，因此，
所以四面体外接球的半径，
所以四面体外接球的表面积为，故D错误．
故选：AC．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．现要安排6名大四学生（其中4名男生、2名女生）到，，三所学校实习，每所学校2人，若男生甲不安排到学校，2名女生必须安排到不同的学校且不安排到学校，则不同的安排方法共有___18___种.（用数字作答）
【详解】第一步2名女生分配到两个学校，方法数为，第二步学校选1名男生，方法数为（不含男生甲），第三步学校从剩下的3名男生中选1名，方法数为，最后还有2名男生到学校，方法数为，所以总方法数为．故答案为：18.
13．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：
甲：z＋＝2； 乙：z－＝2i； 丙：z·＝4； 丁：＝．
在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝____1＋i ____．
【详解】由题意可设z＝a＋bi，a＞0，b＞0，＝a－bi，z＋＝2a，z－＝2bi，z·＝a2＋b2，
＝，则乙丁与丙丁不能同时成立，且甲，乙，丙可以知二推一，所以甲丁正确，
所以a＝b＝1，此时z＝1＋i．
14．若直线与圆相切于点，且交椭圆于，两点．设为坐标原点，射线与椭圆交于点的面积与的面积分别为，，则的最大值为 ；当取得最大值时，的值为 ．
【详解】由直线与圆相切得，
所以．设，将直线代人椭圆的方程得，。因为，所以且，
则，
故．设点到直线的距离为，
故的面积为，
当，即时等号成立，故的最大值为1。
如图所示，设，直线与圆相切于点，可得，则可得，
所以．
因为，所以
故
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知的内角所对的边分别为，点
（1）若；（2）若的周长为4，
①求证：；②求面积的最大值.
15．解：（1）方法一：因为，所以为等边三角形，
因为，所以,
所以,
所以，所以；
方法二：在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
所以；
（2）①证明：因为，
在中，，
所以，
从而；
②因为。
解得时，取等号，
又，
整理得；
在中，由余弦定理，得
，
，
令，所以单调递增，
所以的最大值为，故
16．已知函数在区间内有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围.
16．解：（1）因为，则，
令，则，
令，
设函数在区间内的两个极值点为，，
由韦达定理得，所以，
显然，，所以，
所以，即，解得.
此时，，列表如下：
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以.
（2）因为，所以
.
由，得，且，
所以.
设，，令，，
则，所以在上单调递减，
从而，即，
所以实数的取值范围是.
17．在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
17．解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以n=1时，，
所以数列是各项为0的常数列，即，
所以．
（分奇偶项做每做出一种情况得2分，得出统一通项公式得1分）
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以数列是等差数列．
②当时，由得，所以，
又，所以，
所以，
即
．
18．某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径(单位：)，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大
18．解：（1）果径的频率为，
果径的频率为。故果径的中位数在，不妨设为，则，解得中位数。
（2）果径的频率之比为，所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为个，故随机变量，
；
所以的分布列为
期望。
（3）这批果实中一级果的概率，每个果实相互独立，则，
则
题目即求为何值时，最大，令，
解得。
故当时，，即；当时，，即，
所以，即一级果的个数最有可能为30个。
19．已知椭圆的左 右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点，焦点是的顶点.点在上，且位于第一象限，直线与的交点分别为和，其中在轴上方.
（1）求和的方程；
（2）求证：为定值；
（3）设点满足直线的斜率为1，记的面积分别为.从下面两个条件中选一个，求的取值范围.①；②.
19．解：（1）设的方程为，
则，所以.所以的方程为.
所以的顶点为，则，所以.
所以的方程为.
（2）设，则，直线的斜率为，直线的斜率为，所以.
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立消去并整理得，，
设，则.
所以.
同理可求得，.
所以，
故为定值.
（3）因为，所以.
因此直线平分.
所以点到直线与的距离相等.
所以.（注：选择条件①或②均可得此结果）
由（2）知，.
因为且，
所以.
所以.
故的取值范围为.

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