江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三下学期高考考前数学热身训练(含答案)

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江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三下学期高考考前数学热身训练(含答案)

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江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学考前热身训练
姓名
一 单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则 ( )
A. B. C. D.
2.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中的指数为整数的项的个数为
A.3 B.5 C.6 D.7 ( )
3.已知向量与的夹角为,,设在上的投影向量为,则 ( )
A. B. C. D.
4.若,,则 ( )
A. B. C. D.
5.已知数列是各项及公差都不为0的等差数列,若为数列的前项和,则“成等比数列”是“为常数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知的图象上的三点,且轴上,轴,
A. B. C. D. ( )
7.在平面直角坐标系中,已知直线:与圆:交于两点,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
8.在长方体中,已知,,,点为底面内一点,若和底面所成角与二面角的大小相等,点在底面的投影为点,则三棱锥体积的最小值为 ( )
A B. 2 C. D.
二 多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全
9.下列说法中,正确的命题是 ( )
A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1
B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球,记其中红球的个数为随机变量,则的数学期望
C.若随机变量,当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,从中任取2件,已知其中一件为正品,则另一件也为正品的概率是.
10.关于函数,下列结论正确的是 ( )
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根,则
C. 在中,若为锐角且,角的对边,则面积的最大值为
D. 在中,若为锐角且,面积为,边的中点为,则中线的最小值为
11.在边长为2菱形中,,将菱形沿对角线折成四面体,使得分别为棱的中点,则 ( )
A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为
C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的表面积为
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.现要安排6名大四学生(其中4名男生、2名女生)到,,三所学校实习,每所学校2人,若男生甲不安排到学校,2名女生必须安排到不同的学校且不安排到学校,则不同的安排方法共有______种.(用数字作答)
13.已知复数z对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位):
甲:z+=2; 乙:z-=2i; 丙:z·=4; 丁:=.
在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z=________.
14.若直线与圆相切于点,且交椭圆于,两点.设为坐标原点,射线与椭圆交于点的面积与的面积分别为,,则的最大值为 ;当取得最大值时,的值为 .
四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知的内角所对的边分别为,点
(1)若;(2)若的周长为4,
①求证:;②求面积的最大值.
16.已知函数在区间内有两个极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围.
17.在数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知数列满足;
①求证:数列是等差数列;
②若,设数列的前n项和为,求证:.
18.某地脐橙,因“果皮中厚、脆而易剥,肉质细嫩化渣、无核少络,酸甜适度,汁多爽口,余味清香”而闻名.为了防止返贫,巩固脱贫攻坚成果,各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准:果径为一级果,果径为二级果,果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个,测量这些脐橙的果径(单位:),得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数;
(2)在这1000个脐橙中,按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙,为进一步测量其他指标,在抽取的9个脐橙中再抽出3个,求抽到的一级果个数的分布列和数学期望;
(3)以样本估计总体,用频率代替概率,某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个,其中一级果的个数为,记一级果的个数为的概率为,写出的表达式,并求出当为何值时,最大
19.已知椭圆的左 右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点,焦点是的顶点.点在上,且位于第一象限,直线与的交点分别为和,其中在轴上方.
(1)求和的方程;
(2)求证:为定值;
(3)设点满足直线的斜率为1,记的面积分别为.从下面两个条件中选一个,求的取值范围.①;②.江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学考前热身训练
姓名
一 单选题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则 ( D )
A. B. C. D.
2.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中的指数为整数的项的个数为
A.3 B.5 C.6 D.7 ( D )
3.已知向量与的夹角为,,设在上的投影向量为,则 ( A )
A. B. C. D.
4.若,,则 ( B )
A. B. C. D.
5.已知数列是各项及公差都不为0的等差数列,若为数列的前项和,则“成等比数列”是“为常数列”的 ( C )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【详解】因为数列是公差不为0的等差数列,设其公差为,所以,若成等比数列,则,解得,此时,为常数,充分性成立;反之,若为常数列,则,则,得 ,则,易知,故必要性成立,故“成等比数列”是“为常数列”的充要条件.故选:C.
6.已知的图象上的三点,且轴上,轴,
A. B. C. D. ( C )
7.在平面直角坐标系中,已知直线:与圆:交于两点,则的最大值为 ( A )
A. B. C. D.
【详解】由题意可知:直线:过定点,圆:,即,可知圆心为,半径,取线段的中点,则,
可知点的轨迹为以的中点为圆心,半径的圆,
可得,
当且仅当在的延长线上时,等号成立,
所以的最大值为.故选:A.
8.在长方体中,已知,,,点为底面内一点,若和底面所成角与二面角的大小相等,点在底面的投影为点,则三棱锥体积的最小值为 ( D )
A B. 2 C. D.
【详解】由题意,平面,所以和底面所成角为,过Q作,垂足为M,连接,由于平面,平面,故,平面,故平面,平面,故,
则为二面角的平面角,即,故,故,则Q点在平面内的轨迹为以为焦点,为准线的抛物线,
如图以为原点所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则抛物线方程为,直线的方程为,
设抛物线的和平行的切线方程为,
联立,得,
令,解得,
即得和之间的距离为,即Q点到的最短距离为,
而的长为,则面积的最小值为,
P点到平面的距离为4,故三棱锥体积的最小值为,故选:D
【点睛】关键点点睛:注意到三棱锥的高为定值,因此要求三棱锥体积的最小值,即求面积的最小值,因此可判断Q点的轨迹,结合抛物线知识求解.
二 多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全
9.下列说法中,正确的命题是 ( ABD )
A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1
B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球,记其中红球的个数为随机变量,则的数学期望
C.若随机变量,当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
D.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,从中任取2件,已知其中一件为正品,则另一件也为正品的概率是.
10.关于函数,下列结论正确的是 ( BCD )
A. 函数的最大值是3
B. 若方程在区间有两个不相等的实根,则
C. 在中,若为锐角且,角的对边,则面积的最大值为
D. 在中,若为锐角且,面积为,边的中点为,则中线的最小值为
【详解】因为
,对于A:因为,所以,的最大值为,故A错误;对于B:,,
令,解得,令,解得,
所以在上单调递增,,在上单调递减,,
又方程在区间有两个不相等的实根,即与在区间有两个交点,,,故B正确;对于C:,为锐角,则,,,,,
,可得,当且仅当时等号成立,面积为,当且仅当时等号成立,的面积最大值为,故C正确;
对于D:,为锐角,则,,,
面积为,,
又,所以
,当且仅当时等号成立,
即,当且仅当时等号成立,最小值为,故D正确.故选:BCD .
11.在边长为2菱形中,,将菱形沿对角线折成四面体,使得分别为棱的中点,则 ( AC )
A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为
C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的表面积为
【详解】对于A,由题意,得,又平面,
从而平面,又平面,故平面平面,故A正确.
对于B,取的中点,连接,所以,则就是直线与所成的角(或其补角),因为边长为的菱形中,而,易得,因为平面,所以,所以,所以,所以,故B错误.
对于C,在中,,可得的面积为,
因为平面 ,所以四面体 ,故C正确.
对于D,设和的中心分别为点,分别过点,作平面和平面的垂线交于点,则点即为四面体外接球的球心,四点共圆,且,
利用正弦定理可得,因此,
所以四面体外接球的半径,
所以四面体外接球的表面积为,故D错误.
故选:AC.
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.现要安排6名大四学生(其中4名男生、2名女生)到,,三所学校实习,每所学校2人,若男生甲不安排到学校,2名女生必须安排到不同的学校且不安排到学校,则不同的安排方法共有___18___种.(用数字作答)
【详解】第一步2名女生分配到两个学校,方法数为,第二步学校选1名男生,方法数为(不含男生甲),第三步学校从剩下的3名男生中选1名,方法数为,最后还有2名男生到学校,方法数为,所以总方法数为.故答案为:18.
13.已知复数z对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位):
甲:z+=2; 乙:z-=2i; 丙:z·=4; 丁:=.
在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z=____1+i ____.
【详解】由题意可设z=a+bi,a>0,b>0,=a-bi,z+=2a,z-=2bi,z·=a2+b2,
=,则乙丁与丙丁不能同时成立,且甲,乙,丙可以知二推一,所以甲丁正确,
所以a=b=1,此时z=1+i.
14.若直线与圆相切于点,且交椭圆于,两点.设为坐标原点,射线与椭圆交于点的面积与的面积分别为,,则的最大值为 ;当取得最大值时,的值为 .
【详解】由直线与圆相切得,
所以.设,将直线代人椭圆的方程得,。因为,所以且,
则,
故.设点到直线的距离为,
故的面积为,
当,即时等号成立,故的最大值为1。
如图所示,设,直线与圆相切于点,可得,则可得,
所以.
因为,所以

四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知的内角所对的边分别为,点
(1)若;(2)若的周长为4,
①求证:;②求面积的最大值.
15.解:(1)方法一:因为,所以为等边三角形,
因为,所以,
所以,
所以,所以;
方法二:在中,由正弦定理得,,
在中,由正弦定理得,,
所以;
(2)①证明:因为,
在中,,
所以,
从而;
②因为。
解得时,取等号,
又,
整理得;
在中,由余弦定理,得


令,所以单调递增,
所以的最大值为,故
16.已知函数在区间内有两个极值点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围.
16.解:(1)因为,则,
令,则,
令,
设函数在区间内的两个极值点为,,
由韦达定理得,所以,
显然,,所以,
所以,即,解得.
此时,,列表如下:
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以.
(2)因为,所以
.
由,得,且,
所以.
设,,令,,
则,所以在上单调递减,
从而,即,
所以实数的取值范围是.
17.在数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知数列满足;
①求证:数列是等差数列;
②若,设数列的前n项和为,求证:.
17.解:(1)因为,
所以,
所以,
所以,
因为,所以n=1时,,
所以数列是各项为0的常数列,即,
所以.
(分奇偶项做每做出一种情况得2分,得出统一通项公式得1分)
(2)①由得
所以①
所以②
②-①得:③
所以④
④-③得,所以

所以数列是等差数列.
②当时,由得,所以,
又,所以,
所以,


18.某地脐橙,因“果皮中厚、脆而易剥,肉质细嫩化渣、无核少络,酸甜适度,汁多爽口,余味清香”而闻名.为了防止返贫,巩固脱贫攻坚成果,各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准:果径为一级果,果径为二级果,果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个,测量这些脐橙的果径(单位:),得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数;
(2)在这1000个脐橙中,按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙,为进一步测量其他指标,在抽取的9个脐橙中再抽出3个,求抽到的一级果个数的分布列和数学期望;
(3)以样本估计总体,用频率代替概率,某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个,其中一级果的个数为,记一级果的个数为的概率为,写出的表达式,并求出当为何值时,最大
18.解:(1)果径的频率为,
果径的频率为。故果径的中位数在,不妨设为,则,解得中位数。
(2)果径的频率之比为,所以分层抽样过程中,一级果、二级果、三级果个数分别为个,故随机变量,

所以的分布列为
期望。
(3)这批果实中一级果的概率,每个果实相互独立,则,

题目即求为何值时,最大,令,
解得。
故当时,,即;当时,,即,
所以,即一级果的个数最有可能为30个。
19.已知椭圆的左 右焦点分别为.等轴双曲线的顶点是的焦点,焦点是的顶点.点在上,且位于第一象限,直线与的交点分别为和,其中在轴上方.
(1)求和的方程;
(2)求证:为定值;
(3)设点满足直线的斜率为1,记的面积分别为.从下面两个条件中选一个,求的取值范围.①;②.
19.解:(1)设的方程为,
则,所以.所以的方程为.
所以的顶点为,则,所以.
所以的方程为.
(2)设,则,直线的斜率为,直线的斜率为,所以.
设直线的方程为,则直线的方程为,
联立消去并整理得,,
设,则.
所以.
同理可求得,.
所以,
故为定值.
(3)因为,所以.
因此直线平分.
所以点到直线与的距离相等.
所以.(注:选择条件①或②均可得此结果)
由(2)知,.
因为且,
所以.
所以.
故的取值范围为.

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