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9.5 图形的全等
【第9章 轴对称、平移与旋转】
数学华东师大版（2024）七年级下册
1.理解全等图形的概念，会区分所给图形是否是全等图形；
2.能找出全等图形的对应元素；
3.能应用全等图形的性质解决简单的数学问题；
4.经历观察、操作、想象、交流等活动，培养学生的空间观念和几何直观能力，让学生体会通过图形变换研究图形性质的方法，提高学生的逻辑思维能力和推理能力.
我们认识的图形的基本变换有哪些？
旋转、平行、轴对称
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
形状没有发生改变，大小发生了改变，无法完全重合.
活动一：探究全等图形
问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
轴对称
平移
旋转
变换前后图形的对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变,可以完全重合.
活动一：探究全等图形
问题2：试一试：把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？
思考：把你的数学课本和同学的数学课本叠放在一起会重合吗？
纸三角形和三角板完全重合.
活动一：探究全等图形
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
一个图形经过轴对称、平移与旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等.
反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合.
全等三角形的特点：形状相同、大小相同，与图形的位置、方向无关.
重点
全等图形
活动一：探究全等图形
问题3：图中给出了8个图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？动手试试看.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
③⑥可以完全重合，
是全等图形.
②④可以完全重合，
是全等图形.
活动二：探究全等多边形
问题4：观察图中的两对多边形，每对中的其中一个图形可以经过怎样的变换和另一个图形重合？
平移
旋转
平移
轴对称
活动二：探究全等多边形
上面的两对多边形都是全等图形，也叫做全等多边形.
两个全等的多边形，经过变化而重合，
相互重合的顶点叫做对应顶点，
相互重合的边叫做对应边，
相互重合的角叫做对应角.
全等多边形的对应边、对应角分别相等
活动二：探究全等多边形
如图，两个五边形是全等的.
A
E
B
C
D
A′
E′
B′
C′
D′
记作：
五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′
符号“≌”表示全等，读作“全等于”.
问题5：你能说出这两个图形的对应顶点、对应边与对应角吗？
记两个多边形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上.
注意
活动二：探究全等多边形
A
E
B
C
D
A′
E′
B′
C′
D′
对应顶点：
对应边：
对应角：
点A与点A'
点B与点B'
点C与点C'
点D与点D'
点E与点E'
AB与A'B'
BC与B'C'
CD与C'D'
DE与D'E'
AE与A'E'
∠A与∠A'
∠B与∠B'
∠C与∠C'
∠D与∠D'
∠E与∠E'
活动二：探究全等多边形
A
E
B
C
D
A′
E′
B′
C′
D′
问题6：如果这两个图形的对应边与对应角分别相等，那么它们是全等的吗？
它们能完全重合，所以全等.
活动二：探究全等多边形
全等多边形的对应边、对应角分别相等.
1.全等多边形的性质：
2.判定多边形全等的方法：
如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等.
重点
归纳
活动三：探究全等三角形
如图，△ABC≌△DEF.
问题7：指出它们之间的对应顶点、对应边与对应角.
B
A
C
F
D
E
能够完全重合的三角形叫做全等三角形.
对应位置的字母表示对应顶点.
活动三：探究全等三角形
问题7：指出它们之间的对应顶点、对应边与对应角.
B
A
C
F
D
E
对应顶点：
对应边：
对应角：
点A与点D
点B与点E
点C与点F
AB与DE
BC与EF
AC与DF
∠A与∠D
∠B与∠E
∠C与∠F
活动三：探究全等三角形
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
1.全等三角形的性质：
三角形是特殊的多边形，因此可以得到：
B
A
C
F
D
E
∴ AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D ，∠B＝∠E，∠C＝∠F.
∵△ABC≌△DEF，
重点
总结
活动三：探究全等三角形
B
A
C
F
D
E
重点
总结
2.判定三角形全等的方法：
如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
∵AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，
∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，
∴△ABC≌△DEF.
教材例题
例1 如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A＝80°，∠B ＝60°，求∠F的度数.
解：由图形平移的特征，可知△DEF与△ABC的形状和大小相同，即
∴∠D＝∠A＝80°(全等三角形的对应角相等).
又∵∠D＋∠DEF＋∠F＝180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠F＝180°－∠D－∠DEF(等式的性质)
△DEF≌△ABC，
同理∠DEF＝∠B＝60°
＝180°－80°－60°＝40°.
B
A
C
D
F
E
教材
例题
经典例题
例2 下列说法：
①所有的正方形都全等；
②两个四边形全等，则它们的对应边相等；
③两个六边形全等，则它们的对应角相等；
④各角对应相等的两个多边形是全等多边形.
其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
× 大小不一定相同
√
√
×
边不一定对应相等
B
经典例题
例3 如图，△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE，∠B＝40°，∠DAC＝50°.求∠E的度数.
解：∵△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE，
∴△ABC≌△ADE，∠BAD＝30°，∠C＝∠E.
∵∠DAC＝50°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝80°.
又∵∠B＝40°，
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝60°.
∴∠E＝60°.
A
B
C
D
E
教材
练习
1. 在日常生活中，处处可以看到全等的图形，例如同一张底片印出的同样尺寸的照片、我们使用的数学教科书的封面、我们班的课桌面等. 试尽可能多地举出生活中全等图形的例子，和同学比一比，看谁举出的例子多.
解：生活中全等的图形有很多，如同学们使用的语文教材的封面、各个教室里统一装配的同一型号尺寸的黑板面、铺设地面时用的同一类型大小相同的瓷砖等(答案不唯一).
2. 如图，△ABD 绕着点A逆时针旋转 60°到
△ACE 位置，则△_____≌△ _____，这两个
三角形的对应点是___与___， ___与___，
___与___；
对应边是____与____， ____与____， ____与____；
对应角是_______与_______， _______与_______， _______与_______；∠BAC＝∠_____＝_____°.
ABD
A
B
C
D
E
ACE
A
A
B
C
D
E
AB
AC
AD
AE
BD
CE
∠BAD
∠CAE
∠ABD
∠ACE
∠BDA
∠CEA
DAE
60
教材
练习
3.如图，点E是正方形ABCD的边AB上的一点，△ADE绕着点D 逆时针旋转到△CDF位置，则△_____≌△_____，这两个三角形的对应边是____与____， ____与____， ____与____；对应角是_______与_______， _______与_______， _______与_______；由于∠_____＝_____°，因此上述旋转的旋转角度等于_____°.
A
B
C
D
E
F
ADE
CDF
AD
CD
AE
CF
DE
DF
∠A
∠DCF
∠ADE
∠CDF
∠AED
∠F
ADC
90
90
教材
练习
4. 如图，已知∠ABD＝110°，∠C＝45°，△ABC与△BAD 关于直线l成轴对称，则△ABC≌△ _______，∠BAD＝ _______°，∠AEC＝ ______°.
BAD
25
50
A
B
C
D
E
l
教材
练习
限时训练
1.下列说法正确的是（ ）
①用一张像纸冲洗出来的10张1寸像片是全等图形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；
③所有的正方形是全等图形；
④全等图形的面积一定相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
限时训练
2.如图，已知△ABC绕着点C顺时针旋转到△DEC的位置，下面不能得到的结论是（ ）
A. △ABC≌△DEC B. ∠A＝∠D
C. BC＝EC D. ∠BCE＝∠ECD
D
旋转前后图形全等，对应角、对应边分别相等
√
√
√
∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA
即∠BCE＝∠ACD
×
限时训练
3.如图，已知△ABC和△DCB全等，AB和DC是对应边，BC是公共边，说出这两个全等三角形的其他对应边和对应角以及对应顶点.
B
D
A
C
解：对应边：AC对应DB，BC对应CB
对应角：∠A对应∠D，∠ABC对应∠DCB，∠ACB对应∠DBC
对应顶点：A对应D，C对应B，B对应C
限时训练
4.已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，求DF的长度.
解：∵ △ABC≌△DEF(已知)
∴AC＝DF(全等三角形的对应边等) ∵△ABC的周长是 40cm，
AB＝10cm，BC＝16cm， (已知)
∴ AC＝40－10－16＝14cm，
∴ DF＝14cm.
A
B
C
D
E
F
定义
全等图形
能够完全重合的两个图形
对应角相等，对应边相等
性质
全等三角形
性质：对应边、角分别相等.
判定方法：边、角分别对应相等，则三角形全等.
实践作业
同桌两人一人画两个全等的图形，然后让另一位同学指出对应的边和对应的角，看谁说的又快又对.

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