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2025年广东省湛江市中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列成语所描述的事件是必然事件的是( )
A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 拔苗助长 D. 水中捞月
3.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. 且 D. 且
4.正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是( )
A. 函数值随的增大而减小 B. 图象在第二、四象限都有分布
C. 图象与坐标轴都没有交点 D. 图象经过点
5.如图所示，四边形是圆的内接四边形，，，，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.为拉动内需促进消费，某品牌的电视机经过两次降价，从原来每台元降到现在的每台元，求平均每次的降价率是多少？设每次降价率为，由题意列方程为( )
A. B.
C. D.
7.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，圆与的边相切，切点为将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在圆上，边交线段于点若，半径长为，则的长度为( )
A. B. C. D.
9.在一次数学课上，李老师出示一道开放题，让同学们依据已知条件写出正确结论，具体如下：如图，直线与双曲线相交于，两点，过点和分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，，连接，，，直线与轴和轴分别交于点，若点坐标，请写出正确结论聪明的强强很快写出了四个结论，其中不正确的结论是( )
A. B.
C. ≌ D. ：：
10.如图，在中，，，点为中点，于点，交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式为______．
12.在一个不透明的口袋中有红、黄两种除颜色外其余均相同的球，其中红球有个，黄球有个从中随机摸出个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则的值为______．
13.抛物线的自变量的部分取值与对应函数的值如表中所示，则函数的最值为______．
14.若是的直径，是弦，于点，若，则______．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点坐标为，矩形与轴正半轴交于点，若沿着翻折后点的对应点恰好落在对角线上，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
解方程：．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
有张不透明的卡片、、、，它们除正面上的图案不同外，其他均相同．现将这张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．小明先从中随机取出一张卡片，记下标号，然后放回洗匀，接着由小丽从中随机再取出一张卡片，记下标号．
用列表或树状图树状图也称树形图中的一种方法，求出所有可能出现的结果总数；
求两次所抽取的卡片上的图案恰好都是轴对称图形的概率．
19.本小题分
“菜篮子工程”是政府高度重视的民生工程，为了给人民群众提供丰富的蔬菜水果资源，各地都在发展大棚种植，如今我国的大棚如图种植技术已十分成熟王大伯的菜地上有一个长为米的大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高米的墙体处，另一端固定在离地面高米的墙体处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系已知大棚上某处离地面的高度米与其离墙体的水平距离米之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为米．
求大棚的最高处到地面的距离；
王大伯想在大棚内种植葡萄，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
20.本小题分
在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，平行于轴，点在反比例函数的图象上，点的坐标为
求的值；
若将菱形沿轴正方向平移，当菱形对角线的交点落在函数的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离．
21.本小题分
如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
22.本小题分
如图，在中，，，，、分别为边、的中点，连结，点从点出发，沿折线运动，到点停止．点在上以 的速度运动，在折线上以 的速度运动．当点与点不重合时，过点作于点，以为边作正方形，使点落在线段上．设点的运动时间为．
线段的长为 ，当点与点重合时， ；
当点在线段上运动时，线段的长为 ，当点在线段上运动时，线段的长为 用含的代数式表示；
当点落在边上时，求的值；
当正方形与重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点．
求点、、的坐标；
连接，点为抛物线第四象限上的动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交轴于点，连接、、、，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：原式
；
，，，
，
则，即，．
17.【解析】解：原式
，
18.【答案】解：列表如下：
小明小丽
由于表可知，一共有种等可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同．
两次抽取卡片上的图案恰好都是轴对称图形记为事件的结果共有种，即、、、，两次抽取卡片上的图案恰好都是轴对称图形．
19.【解析】解：由题意可得：
解得：，
．
可得当时，有最大值，
大棚最高点到地面的距离为米；
令，则有，
解得，．
，
大棚内可以搭建支架的土地的宽为米，
搭建支架部分的土地面积为平方米
共需要根竹竿．
20.【答案】解：如图，延长交于，
菱形的平行于轴，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
中，，
，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
菱形对角线的交点为，
为的中点，
又，，
，
在中，令，则，
将菱形沿轴正方向平移后对角线交点落在函数的图象上，
菱形沿轴正方向平移的距离为：．
21.证明：连接，，如图，
为直径，
，即，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
，
，
，是的直径，
是的切线，
是的切线；
，
，
，
解得．
22.【解析】在中，，，
，
为中点，，
点与点重合时， ；
当点在线段上运动时，线段的长为：；
如图当点在线段上运动时，段的运动时间为，
段运动速度为，
，
当点落在边上时，有两种情况，如下图所示：
如图，此时点与点重合，位于线段上。
由三角形中位线定理可知， ，
。
由知，，
，
；
如图，此时点位于线段上．
，，
点在段的运动时间为，
，
，．
，
：：，
．
由，得，解得，
所以，当点落在边上时，或；
当正方形与重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：
当时，如图所示．
，，，，．
，
：：：，
，
；
当 时，如图所示．
，
，，，
，，

23.【解析】已知抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点．
当时；，解得，，
当时；，
点、、的坐标分别为，，；
如图：
由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，
，
解得，
直线的表达式为，
设，则点坐标为，
，都在第四象限，
，
当时，此时点为，．
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