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四川省遂宁市2025年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·遂宁）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2025·遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·遂宁）统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·遂宁）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·遂宁）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·遂宁）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．（2025·遂宁）若关于的分式方程无解，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．0或2 D．或3
9．（2025·遂宁）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（　　）
A． B． C．6 D．
10．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（2025·遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　0．（填“>”“=”或“<”）
12．（2025·遂宁）已知是方程的解，则　 　．
13．（2025·遂宁）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
项目 应聘者
甲 乙 丙
学历 9 8 8
经验 8 6 9
能力 7 8 8
态度 5 7 5
公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则　 　将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）
14．（2025·遂宁）综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为　 　．
15．（2025·遂宁）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使，连结CE并延长至点F，连结BF，使，CF与AB相交于点H．有下列结论：
①；②；③；④点M是BC边上一动点，连结HM，将沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为其中正确的结论有　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025·遂宁）计算：．
17．（2025·遂宁）先化简，再求值：，其中a满足．
18．（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，点E，F在对角线BD上，，且，．
（1）求证：；
（2）连结AE，CF，若，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
19．（2025·遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：，，，，，）
20．（2025·遂宁）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有　 　（填序号）
（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且，，，，求四边形ABCD的面积．
21．（2025·遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
22．（2025·遂宁） DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
23．（2025·遂宁）如图，一次函数（m，n为常数，）的图像与反比例函数的图像交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式．
（2）结合图形，请直接写出不等式的解集．
（3）点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
24．（2025·遂宁）如图，AB是的直径，C是上的一点，连结AC、BC，延长AB至点D，连结CD，使．
（1）求证：CD是的切线．
（2）点E是的中点，连结BE，交AC于点F，过点E作交于点H，交AB于点G，连结BH，若，，求的值．
25．（2025·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线．
（1）求二次函数关系式．
（2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使，点M是线段AQ上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结BM，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对， 所以， 如果向东跑20米记为“+20米”， 那么向西跑20米记为-20米.
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正， 则另一个就用负表示.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 150亿用科学记数法表示为，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．【答案】B
【知识点】圆柱的展开图
【解析】【解答】解：
将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴B选项符合题意，
故答案为：B.
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：则A不符合题意，
则B不符合题意，
则C符合题意，
则D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有实数根，
∴，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用根的判别式计算解答即可.
7．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意，得(
解得
则该多边形的边数为10.
故答案为：A.
【分析】任何多边形的外角和是 即这个多边形的内角和是 n边形的内角和是 如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数.
8．【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
因为关于x的分式方程无解，
所以有 或
解得： 或
故答案为：D.
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得 或 ， 据此求出a.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由题意可得：BG平分. 即 ，
设BG， AC交于点M， 作 于点N，如图，
则
设
即
解得： 即
则
由作图痕迹可知：
即
解得：
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得 利用等积法求出CM，进而可得BM， 证明 再根据相似三角形的性质求解即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
11．【答案】<
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴可知， 且
故答案为：<.
【分析】观察数轴可知， 且 即可得出 的范围.
12．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
把 代入方程 得 ， 即
移项、合并同类项， 得
将系数化为1，得
故答案为： 2.
【分析】把 代入方程 可得 解一元一次方程即可得出答案.
13．【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
∴乙将被录用.
故答案为：乙.
【分析】根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意，
则 是等边三角形；
则
同理得 是等边三角形，则
；
依题意，
是等边三角形；
则
同理得∠ 8是等边三角形，
则
则
∴则
故答案为：
【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答.
15．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，
故①正确；
如图，在FC上取一点G， 使得
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE=45°， ∠BAD=90°， AD=CD，
∵∠BAE=15°，
∴∠DAE = 90°-15°= 75°，
∴∠AED =180°-45°-75°= 60°，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠AED=∠CED=60°，
∠DAE=∠DCE=75°，
∴∠HEB=∠CED=60°，
∠BCE=∠BAE=15°，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠EBG =60°， EG = BE，
又∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=15°，
∴∠FBC = 180°-15°-15°= 150°，
∴∠DBC =45°，
∴∠FBG=∠FBC-∠GBE-∠CBE=150°-60°-45°=45°=∠CBE
∴△FBG≌△CBE(SAS)，
∴FG=CE，
∴EF=EG+FG=EC+BE=AE+BE， 即BE+AE = EF， 故②正确；
如图，连接AC交BD于点O，则. 过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，
∵在正方形ABCD中，
在 中，
，
故③错误；如图，
即
∵点M是BC边上一动点， 连结HM， 将 沿HM翻折，点B落在点P处，
∴Q在以HB为直径的圆上运动，
取HB的中点T， 连接TD，
∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，
， 故④正确.
故答案为： ①②④.
【分析】证明 )即可判断①，在FC上取一点G， 使得. 证明 △CBE(SAS)，进而判断②； 过点A， B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N， 则 ，根据相似三角形的性质即可判断③，取HB的中点T，连接TD，根据题意得出O在以HB为直径的圆上运动，进而得出当O在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，勾股定理求得TD的长，即可求解.
16．【答案】解：原式
.
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】利用负整数指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算，然后加减解题即可.
17．【答案】解：原式
原式

【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法并约分，然后将已知数值代入计算即可.
18．【答案】（1）)证明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四边形AECF是菱形，
连接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根据“AAS”证明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED， 则AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可证明 则四边形AECF是菱形.
19．【答案】解： 连接DE，延长线交CF于点G，
∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，
∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形，
设CG = xm， 在Rt△CEG中，
在Rt△CDG中，
解得x≈60.85，
经检验x是方程的解，
∴CF=CG+GF=60.85+1.6=62.45≈62.5(m)，
答：摩天轮CF的高度约为62.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接DE，延长线交CF于点G，设 在Rt△CEG中， 利用 求出EG，然后在Rt△CDG中， 利用 求出x即可解答.
20．【答案】（1）③
（2）解：
∵四边形ABCD是邻等内接四边形，
∴A， B， C， D四点共圆， 且BC为直径，把BC的中点记为点O， 即A， B， C， D四点在⊙O上，
连接BD， AO， 相交于点H，
设
则在 中，
在 中，
即
解得
则
即
∵BC是直径，
∴OH是 的中位线，
则
∴四边形ABCD的面积
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；四点共圆模型；多边形的面积
【解析】【解答】(1)解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③；
【分析】(1)根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答；
(2)先根据勾股定理算出， 设 结合勾股定理整理得 代入数值得 ，再证明OH是 的中位线，则 分别算出 和 即可作答.
21．【答案】解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，
根据题意得：
解得：
又∵m为正整数，
∴m可以为118， 119， 120，
∴共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；
任务三：选择方案1所需费用为
)(元)；
选择方案2所需费用为
(元)；
选择方案3所需费用为
(元)，
∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据“购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元”，可列出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，根据“总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
任务三：利用总价=单价×数量，可求出选择各方案所需费用， 比较后， 即可得出结论.
22．【答案】（），，；
（）B组的人数为 (人)。
补全频数分布直方图如图所示.
模型设计成绩的频数分布直方图
(人)。
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人.
(4)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲， 乙) (甲， 丙) (甲， 丁)
乙 (乙， 甲) (乙， 丙) (乙， 丁)
丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丁)
丁 (丁， 甲) (丁， 乙) (丁， 丙)
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：(甲，丙)，(丙， 甲)，共2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)本次共抽取了 (名)学生的模具设计成绩.
将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，
∴成绩的中位数是( (分)。
在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为
故答案为： 50， 83.5，
【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用 乘以C的人数所占的百分比， 即可得出答案.
(2)求出B组的人数，补全频数分布直方图即可.
(3)根据用样本估计总体，用1200乘以C，D组人数所占的百分比之和，即可得出答案.
(4)列表可得出所有等可能的结果数以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果数，再利用概率公式可得出答案.
23．【答案】（1）解：在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数的解析式为
又∵B(a，1)在反比例函数 的图象上，
∴B(4，1)，
把 B(4，1)代入 得：
解得
∴一次函数解析式为
（2）不等式 的解集为 或
（3）解：若AP是斜边，则AB2+BP2=AP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(4-0)2+(1-b)2=(-2-0)2+(-2-b)2，
解得b=9；
若PB是斜边，则AB2+AP2=BP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(-2-0)2+(-2-b)2=(4-0)2+(1-b)2，
解得b=-6，
综上所述， b的值 为9或-6.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：解方程组 得
∴不等式 的解集为 或
【分析】(1)根据待定系数法即可得到答案；
(2)根据图象和A，B两点坐标可得出不等式 的x的取值范围；
(3)分AP是斜边或PB是斜边两种情况，利用勾股定理求出b值即可.
24．【答案】（1）证明： 连接OC，
∵AB是直径，
即
即
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接EC，
，
设 则
∵点E是 的中点，
，
即
∴AB垂直平分EH，

【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连接OC， 由圆周角定理得∠1+∠2=90°， 又由等腰三角形的性质及已知可得∠BCD=∠1，即得∠BCD+∠2 = 90°， 进而即可求证；
(2)连接EC， 由△BCD∽△CAD得 即得 即得到AB=AD-BD=6， 设BC =a， 则AC=2a， 由勾股定理得( 解得 再证明△CEB∽△FAB， 得 即得BE·BF = AB·BC， 进而由BE=BH得BE·BF=BH·BF =AB·BC，代入计算即可求解.
25．【答案】（1）解：∵对称轴为直线 ，且二次函数
(b、c为常数)的图象与x轴交于
B两点，
∴B(3，0)，
（2）解： 可知
即，
第一种情况：当点P在直线BC上方时，
如图，记BP与y轴交于点K，
则.
又∵
即
由B(3，0)， K(0，-1)可得直线BP解析式为
联立
解得 (与B点重合)或
第二种情况：当点P在直线BC下方时，作点A关于y轴对称点K，连接CL，则
∴BP∥CL，
由C(0，-3)， L(1，0)可得直线CL的解析式为
∴设直线
将B(3，0)代入得
∴直线
联立 解得 (与B点重合)或
综上，点P的坐标为 或

（3）解：如图， 在OC上取点D， 使. 则
∴∠BAQ=∠ADO，
设OD =m， 则CD=AD=3--m，
在Rt△AOD中，
解得
作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F
， 过E作EG⊥x轴于点G，
则BM = EM， BF = EF，
∴BM +MN = EM +MN≥EG，
当且仅当E、M、G三点共线时，
∵∠BAQ=∠ADO，
∴sin∠BAQ =sin∠ADO，
即
∵∠AGE =∠AFE=90°，
即

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据对称关系可得点B坐标，进而得到交点式，化简即可；
(2)分类讨论：点P在直线BC上方时，易得 此时利用相似或者三角函数求出OK长度，进而得到直线BK解析式，即可求解；当点P在BC下方时，可以作A关于y轴对称点L，则易得 进而求解即可；也可以做点K关于直线BC的对称点G，求出点G坐标，进而求出直线BG解析式，联立求交点坐标即可；
(3)在二次函数中，一般处理二倍角问题可以构造等腰三角形利用外角性质找小角的二倍，在OC上取点D， 使 则 先求出OD长度，进而作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F，过E作 轴于点G，易得
所以解 即可得解.
1 / 1四川省遂宁市2025年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·遂宁）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对， 所以， 如果向东跑20米记为“+20米”， 那么向西跑20米记为-20米.
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正， 则另一个就用负表示.
2．（2025·遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可.
3．（2025·遂宁）统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 150亿用科学记数法表示为，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．（2025·遂宁）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆柱的展开图
【解析】【解答】解：
将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴B选项符合题意，
故答案为：B.
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论.
5．（2025·遂宁）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：则A不符合题意，
则B不符合题意，
则C符合题意，
则D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可.
6．（2025·遂宁）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有实数根，
∴，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用根的判别式计算解答即可.
7．（2025·遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意，得(
解得
则该多边形的边数为10.
故答案为：A.
【分析】任何多边形的外角和是 即这个多边形的内角和是 n边形的内角和是 如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数.
8．（2025·遂宁）若关于的分式方程无解，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．0或2 D．或3
【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
因为关于x的分式方程无解，
所以有 或
解得： 或
故答案为：D.
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得 或 ， 据此求出a.
9．（2025·遂宁）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在 中，
由题意可得：BG平分. 即 ，
设BG， AC交于点M， 作 于点N，如图，
则
设
即
解得： 即
则
由作图痕迹可知：
即
解得：
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得 利用等积法求出CM，进而可得BM， 证明 再根据相似三角形的性质求解即可.
10．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（2025·遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　0．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴可知， 且
故答案为：<.
【分析】观察数轴可知， 且 即可得出 的范围.
12．（2025·遂宁）已知是方程的解，则　 　．
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
把 代入方程 得 ， 即
移项、合并同类项， 得
将系数化为1，得
故答案为： 2.
【分析】把 代入方程 可得 解一元一次方程即可得出答案.
13．（2025·遂宁）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表：
项目 应聘者
甲 乙 丙
学历 9 8 8
经验 8 6 9
能力 7 8 8
态度 5 7 5
公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则　 　将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）
【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
∴乙将被录用.
故答案为：乙.
【分析】根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案.
14．（2025·遂宁）综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意，
则 是等边三角形；
则
同理得 是等边三角形，则
；
依题意，
是等边三角形；
则
同理得∠ 8是等边三角形，
则
则
∴则
故答案为：
【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答.
15．（2025·遂宁）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使，连结CE并延长至点F，连结BF，使，CF与AB相交于点H．有下列结论：
①；②；③；④点M是BC边上一动点，连结HM，将沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为其中正确的结论有　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，
故①正确；
如图，在FC上取一点G， 使得
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE=45°， ∠BAD=90°， AD=CD，
∵∠BAE=15°，
∴∠DAE = 90°-15°= 75°，
∴∠AED =180°-45°-75°= 60°，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠AED=∠CED=60°，
∠DAE=∠DCE=75°，
∴∠HEB=∠CED=60°，
∠BCE=∠BAE=15°，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠EBG =60°， EG = BE，
又∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=15°，
∴∠FBC = 180°-15°-15°= 150°，
∴∠DBC =45°，
∴∠FBG=∠FBC-∠GBE-∠CBE=150°-60°-45°=45°=∠CBE
∴△FBG≌△CBE(SAS)，
∴FG=CE，
∴EF=EG+FG=EC+BE=AE+BE， 即BE+AE = EF， 故②正确；
如图，连接AC交BD于点O，则. 过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，
∵在正方形ABCD中，
在 中，
，
故③错误；如图，
即
∵点M是BC边上一动点， 连结HM， 将 沿HM翻折，点B落在点P处，
∴Q在以HB为直径的圆上运动，
取HB的中点T， 连接TD，
∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，
， 故④正确.
故答案为： ①②④.
【分析】证明 )即可判断①，在FC上取一点G， 使得. 证明 △CBE(SAS)，进而判断②； 过点A， B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N， 则 ，根据相似三角形的性质即可判断③，取HB的中点T，连接TD，根据题意得出O在以HB为直径的圆上运动，进而得出当O在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，勾股定理求得TD的长，即可求解.
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025·遂宁）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】利用负整数指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算，然后加减解题即可.
17．（2025·遂宁）先化简，再求值：，其中a满足．
【答案】解：原式
原式

【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法并约分，然后将已知数值代入计算即可.
18．（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，点E，F在对角线BD上，，且，．
（1）求证：；
（2）连结AE，CF，若，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）)证明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四边形AECF是菱形，
连接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根据“AAS”证明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED， 则AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可证明 则四边形AECF是菱形.
19．（2025·遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：，，，，，）
【答案】解： 连接DE，延长线交CF于点G，
∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，
∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形，
设CG = xm， 在Rt△CEG中，
在Rt△CDG中，
解得x≈60.85，
经检验x是方程的解，
∴CF=CG+GF=60.85+1.6=62.45≈62.5(m)，
答：摩天轮CF的高度约为62.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接DE，延长线交CF于点G，设 在Rt△CEG中， 利用 求出EG，然后在Rt△CDG中， 利用 求出x即可解答.
20．（2025·遂宁）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有　 　（填序号）
（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且，，，，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）③
（2）解：
∵四边形ABCD是邻等内接四边形，
∴A， B， C， D四点共圆， 且BC为直径，把BC的中点记为点O， 即A， B， C， D四点在⊙O上，
连接BD， AO， 相交于点H，
设
则在 中，
在 中，
即
解得
则
即
∵BC是直径，
∴OH是 的中位线，
则
∴四边形ABCD的面积
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；四点共圆模型；多边形的面积
【解析】【解答】(1)解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③；
【分析】(1)根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答；
(2)先根据勾股定理算出， 设 结合勾股定理整理得 代入数值得 ，再证明OH是 的中位线，则 分别算出 和 即可作答.
21．（2025·遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
【答案】解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，
根据题意得：
解得：
又∵m为正整数，
∴m可以为118， 119， 120，
∴共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；
任务三：选择方案1所需费用为
)(元)；
选择方案2所需费用为
(元)；
选择方案3所需费用为
(元)，
∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据“购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元”，可列出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买 个B型号的新型垃圾桶，根据“总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
任务三：利用总价=单价×数量，可求出选择各方案所需费用， 比较后， 即可得出结论.
22．（2025·遂宁） DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 ▲ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ▲ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ▲ ； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
【答案】（），，；
（）B组的人数为 (人)。
补全频数分布直方图如图所示.
模型设计成绩的频数分布直方图
(人)。
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人.
(4)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲， 乙) (甲， 丙) (甲， 丁)
乙 (乙， 甲) (乙， 丙) (乙， 丁)
丙 (丙， 甲) (丙， 乙) (丙， 丁)
丁 (丁， 甲) (丁， 乙) (丁， 丙)
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：(甲，丙)，(丙， 甲)，共2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)本次共抽取了 (名)学生的模具设计成绩.
将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，
∴成绩的中位数是( (分)。
在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为
故答案为： 50， 83.5，
【分析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用 乘以C的人数所占的百分比， 即可得出答案.
(2)求出B组的人数，补全频数分布直方图即可.
(3)根据用样本估计总体，用1200乘以C，D组人数所占的百分比之和，即可得出答案.
(4)列表可得出所有等可能的结果数以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果数，再利用概率公式可得出答案.
23．（2025·遂宁）如图，一次函数（m，n为常数，）的图像与反比例函数的图像交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式．
（2）结合图形，请直接写出不等式的解集．
（3）点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
【答案】（1）解：在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数的解析式为
又∵B(a，1)在反比例函数 的图象上，
∴B(4，1)，
把 B(4，1)代入 得：
解得
∴一次函数解析式为
（2）不等式 的解集为 或
（3）解：若AP是斜边，则AB2+BP2=AP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(4-0)2+(1-b)2=(-2-0)2+(-2-b)2，
解得b=9；
若PB是斜边，则AB2+AP2=BP2，
即(-2-4)2+(-2-1)2+(-2-0)2+(-2-b)2=(4-0)2+(1-b)2，
解得b=-6，
综上所述， b的值 为9或-6.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：解方程组 得
∴不等式 的解集为 或
【分析】(1)根据待定系数法即可得到答案；
(2)根据图象和A，B两点坐标可得出不等式 的x的取值范围；
(3)分AP是斜边或PB是斜边两种情况，利用勾股定理求出b值即可.
24．（2025·遂宁）如图，AB是的直径，C是上的一点，连结AC、BC，延长AB至点D，连结CD，使．
（1）求证：CD是的切线．
（2）点E是的中点，连结BE，交AC于点F，过点E作交于点H，交AB于点G，连结BH，若，，求的值．
【答案】（1）证明： 连接OC，
∵AB是直径，
即
即
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接EC，
，
设 则
∵点E是 的中点，
，
即
∴AB垂直平分EH，

【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连接OC， 由圆周角定理得∠1+∠2=90°， 又由等腰三角形的性质及已知可得∠BCD=∠1，即得∠BCD+∠2 = 90°， 进而即可求证；
(2)连接EC， 由△BCD∽△CAD得 即得 即得到AB=AD-BD=6， 设BC =a， 则AC=2a， 由勾股定理得( 解得 再证明△CEB∽△FAB， 得 即得BE·BF = AB·BC， 进而由BE=BH得BE·BF=BH·BF =AB·BC，代入计算即可求解.
25．（2025·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线．
（1）求二次函数关系式．
（2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使，点M是线段AQ上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结BM，求的最小值．
【答案】（1）解：∵对称轴为直线 ，且二次函数
(b、c为常数)的图象与x轴交于
B两点，
∴B(3，0)，
（2）解： 可知
即，
第一种情况：当点P在直线BC上方时，
如图，记BP与y轴交于点K，
则.
又∵
即
由B(3，0)， K(0，-1)可得直线BP解析式为
联立
解得 (与B点重合)或
第二种情况：当点P在直线BC下方时，作点A关于y轴对称点K，连接CL，则
∴BP∥CL，
由C(0，-3)， L(1，0)可得直线CL的解析式为
∴设直线
将B(3，0)代入得
∴直线
联立 解得 (与B点重合)或
综上，点P的坐标为 或

（3）解：如图， 在OC上取点D， 使. 则
∴∠BAQ=∠ADO，
设OD =m， 则CD=AD=3--m，
在Rt△AOD中，
解得
作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F
， 过E作EG⊥x轴于点G，
则BM = EM， BF = EF，
∴BM +MN = EM +MN≥EG，
当且仅当E、M、G三点共线时，
∵∠BAQ=∠ADO，
∴sin∠BAQ =sin∠ADO，
即
∵∠AGE =∠AFE=90°，
即

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据对称关系可得点B坐标，进而得到交点式，化简即可；
(2)分类讨论：点P在直线BC上方时，易得 此时利用相似或者三角函数求出OK长度，进而得到直线BK解析式，即可求解；当点P在BC下方时，可以作A关于y轴对称点L，则易得 进而求解即可；也可以做点K关于直线BC的对称点G，求出点G坐标，进而求出直线BG解析式，联立求交点坐标即可；
(3)在二次函数中，一般处理二倍角问题可以构造等腰三角形利用外角性质找小角的二倍，在OC上取点D， 使 则 先求出OD长度，进而作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F，过E作 轴于点G，易得
所以解 即可得解.
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