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河北安平中学高二年级五月月考
数学试题
注意事项;
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在木试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合,则( )
A. B.
C. D.
2. 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛,若该比赛的冠军只有1人,则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上单调递增,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 已知是定义在上的奇函数,若,则( )
A. B. C.2 D.3
6. 设函数,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是
A. [-2,+∞) B. (-∞,-2] C. (-∞,] D. (,+∞)
7 设函数,命题“,”是假命题,则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上且不恒为零的函数,对于任意实数满足,若,则( )
A. B. C. D.
二、多选题(共3个小题,每小题6分,全部选对的得满分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.)
9.下列命题是假命题的是( )
A.命题“,”的否定是“,”
B.函数最小值为2
C.函数与是同一个函数
D.若不等式的解集为,则不等式的解集为或
10. 已知,,且,则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为3
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 已知是定义在上的奇函数,且,当时,,则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 当时,
三、填空题填空题(共4小题,每小题5分,共15分)
12. 函数的定义域为____________.
13. 已知幂函数在单调递增,则关于的不等式的解集为 .
14. 已知函数,当时,记函数的最大值为,则的最小值为______.
四、解答题:本题共5小题,共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的定义域为集合A,函数,的值域为集合B. (1)求;
(2)若集合,且,求实数a的取值范围.
16.已知函数,,.
(1)当,且时,解关于x的不等式;
(2)若,,,求的最小值.
17.学习机是一种电子教学类产品,也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材.学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用,课堂同步辅导 全科辅学功能 多国语言学习 标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段,越来越多的学习机产品全面兼容网络学习 情境学习 随身学习机外教 单词联想记忆 同步教材讲解 互动全真题库 权威词典 在线图书馆等多种模式,以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查.某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完,每万部的销售收入为万元,且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1196万元;当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2960万元.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万部时,公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
18.已知幂函数的图象关于轴对称,函数.
(1)判断在上的单调性并证明;
(2)设函数,.若,,求的取值范围.
19.设函数,,.
(1)求函数的值域;
(2)若对,,使得成立,求实数的取值范围;
(3)对于定义域为I的函数,如果存在区间,使得在区间上是单调函数,且在区间上的值域是,则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”,求实数的取值范围.2025年高二年级月考
数学试题答案
1.【答案】B 【解析】,所以.
,所以.
所以.
故选:B
2. 【答案】B
【解析】若甲是冠军,则乙不是冠军;若乙不是冠军,则甲是冠军或丙是冠军,
所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.
故选:B
3. 【答案】C
【解析】对于A,当时,不满足,故A错误;
对于B,当时,,故B错误;
对于C,因为,所以,所以,则,故C正确;
对于D,当时,不满足,故D错误.
故选:C
4.【答案】D
【解析】由,可得或,
即函数的定义域为,
又因为在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增,
.故选:D.
5.【答案】C
【解析】由是定义在上的奇函数,得,
即,令,则,而,
所以.故选:C
6.【答案】C
【解析】y=f(x)的图象如图所示,
∵f(f(a))≤2,∴f(a)≥-2,令,解得:,由函数图象可知a≤.
故选C.
7 【答案】A
【解析】因为命题“,”是假命题,所以,恒成立,
则,对恒成立,
令,则二次函数的对称轴为直线,
要使得,恒成立,则,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选:A.
8. 【答案】A 【解析】当时,,
当时,,可得,
则,
当时,,则,
函数的定义域为R,
令时,,
所以得,所以函数是奇函数,
令得,
又函数是奇函数,.故选:A.
9.【答案】ABC
【解析】对于A错误对,对于B,函数最小值不为2 ,B选项为假命题;
对C,函数定义域为R,函数定义域为,
定义域不同两函数不是同一个函数,C选项为假命题;
对于D,由题意,方程的解为,且,
由韦达定理可得,则,解得,
则不等式为,
由,则不等式变为,解得或,故C正确;
故选:ABC
10. 【答案】BC
【解析】,,且.
对于A,,得,所以,
当且仅当即、时取等号,故A错误;
对于B,.
当且仅当时取等号.故B正确;
对于C,,所以,
当且仅当即、时取等号,故C正确;
对于D,,
此过程用了两个不等式,第一个不等式当且仅当时取等号,
第二个不等式当且仅当时取等号,两个等号不同时成立,故D错误.
故选:BC.
11. 【答案】ACD
【解析】在上的奇函数满足,当时,,
对于A,由,得,A正确;
对于B,,,函数的图象不关于直线对称,B错误;
对于C,由,得,则,
因此函数的图象关于点中心对称,C正确;
对于D,,当时,,设,则,
于是,因此,
所以,D正确.
故选:ACD
12.【答案】
【解析】解:由知:
,
解得:,
故的定义域为:.
13. 【答案】
【解析】因为函数是幂函数,所以,所以,
所以或,又因为在单调递增,所以,所以,
所以,因为,所以为偶函数,
因为,所以,
所以,所以,
计算得,所以,
所以解集为.
故答案为:.
14. 【答案】##
【解析】根据题意,,是偶函数,
当时,,
由二次函数性质,在上的最大值为或,
由偶函数对称性,在上的最大值为或,
,则,
即.
,即的最小值为.
故答案为:.
15.【解析】(1)要使函数意义,则且 ,解得,
∴其定义域为;对于函数,∵,∴,故,其值域为集合.∴.
(2)∵,∴.当时,即时,,满足条件;
当时,即时,要使,则,解得.
综上可得:.
16.【解析】(1)当时,;
当时,即时,;
当时,即时,不等式无解;
当时,即时,,
综上,时,解集为;
时,解集为;时,解集为.
(2)由,,
当且仅当时,取到等号,,
由于,,解得,
当且仅当时,取到等号,故的最小值为.
17.(1)
(2)当时,取得最大值为3680万元
【解析】(1)因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时,年利润为1196万元,
所以,解得,
当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时,年利润为2960万元,
所以,解得,
当时,,
当时,,
综上.
(2)①当时,单调递增,所以;
②当时,,
由于,
当且仅当,即时取等号,
所以此时的最大值为,
综合①②知,当时,取得最大值为3680万元.
18.【解析】(1)由,所以或,
由幂函数的图象关于轴对称,所以.
故. 所以.
函数在上单调递增,下面用单调性定义证明:
设,则.
因为,所以,,,所以,
所以,即.
所以函数在上单调递增.
(2)因为函数在上单调递增,且,
所以,.
对,.
当即时,在上单调递增,所以,
由.
当即时,在上单调递减,在上单调递增,所以.
由,无解.
当即时,在上单调递减,所以,
由,这与矛盾,无解.
综上可知:.
故的取值范围是:.
19.【答案】(1);
(2);
(3)
【解析】(1)令,则,于是,
而函数在上单调递减,在上单调递增,,的值域为.
(2)当时,,当时,设,
在上递增,则,
因对,,使得成立,可得,
故实数的取值范围是.
(3)函数在上递减,在上递增,
设是一个优美区间,则或,
当时,有,则方程,即有两个不等的非负根,
设方程两根分别为,由,得,
又由,得,因此;
当时,有,则,两式相减得,因,则
于是,则方程,即有两个不等的非正根,
由,解得,又,可得,因此,
综上可得:实数的取值范围是.
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