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河北安平中学高二年级五月月考
数学试题
注意事项；
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在木试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2． 甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知是定义在上的奇函数，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
6. 设函数，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是
A. [－2，＋∞) B. (－∞，－2] C. (－∞，] D. (，＋∞)
7 设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8. 已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3个小题，每小题6分，全部选对的得满分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列命题是假命题的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数最小值为2
C．函数与是同一个函数
D．若不等式的解集为，则不等式的解集为或
10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为3
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 当时，
三、填空题填空题（共4小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的定义域为____________.
13. 已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ．
14. 已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的定义域为集合A，函数，的值域为集合B． （1）求；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
16．已知函数，，.
(1)当，且时，解关于x的不等式；
(2)若，，，求的最小值.
17．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导 全科辅学功能 多国语言学习 标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习 情境学习 随身学习机外教 单词联想记忆 同步教材讲解 互动全真题库 权威词典 在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
18．已知幂函数的图象关于轴对称，函数．
(1)判断在上的单调性并证明；
(2)设函数，．若，，求的取值范围．
19．设函数，，.
(1)求函数的值域；
(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围；
(3)对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.2025年高二年级月考
数学试题答案
1．【答案】B 【解析】，所以.
，所以.
所以.
故选：B
2． 【答案】B
【解析】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军，
所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.
故选：B
3. 【答案】C
【解析】对于A，当时，不满足，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，则，故C正确；
对于D，当时，不满足，故D错误.
故选：C
4．【答案】D
【解析】由，可得或，
即函数的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
.故选：D.
5.【答案】C
【解析】由是定义在上的奇函数，得，
即，令，则，而，
所以.故选：C
6.【答案】C
【解析】y＝f(x)的图象如图所示，
∵f(f(a))≤2，∴f(a)≥－2，令，解得：，由函数图象可知a≤.
故选C.
7 【答案】A
【解析】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，
则，对恒成立，
令，则二次函数的对称轴为直线，
要使得，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
8. 【答案】A 【解析】当时，，
当时，，可得，
则，
当时，，则，
函数的定义域为R，
令时，，
所以得，所以函数是奇函数，
令得，
又函数是奇函数，.故选:A.
9．【答案】ABC
【解析】对于A错误对，对于B，函数最小值不为2 ，B选项为假命题；
对C，函数定义域为R，函数定义域为，
定义域不同两函数不是同一个函数，C选项为假命题；
对于D，由题意，方程的解为，且，
由韦达定理可得，则，解得，
则不等式为，
由，则不等式变为，解得或，故C正确；
故选：ABC
10. 【答案】BC
【解析】，，且.
对于A，，得，所以，
当且仅当即、时取等号，故A错误；
对于B，．
当且仅当时取等号．故B正确；
对于C，，所以，
当且仅当即、时取等号，故C正确；
对于D，，
此过程用了两个不等式，第一个不等式当且仅当时取等号，
第二个不等式当且仅当时取等号，两个等号不同时成立，故D错误.
故选：BC．
11. 【答案】ACD
【解析】在上的奇函数满足，当时，，
对于A，由，得，A正确；
对于B，，，函数的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，由，得，则，
因此函数的图象关于点中心对称，C正确；
对于D，，当时，，设，则，
于是，因此，
所以，D正确.
故选：ACD
12.【答案】
【解析】解：由知：
，
解得：，
故的定义域为：.
13. 【答案】
【解析】因为函数是幂函数，所以，所以，
所以或，又因为在单调递增，所以，所以，
所以，因为，所以为偶函数，
因为，所以，
所以，所以，
计算得，所以，
所以解集为.
故答案为：.
14. 【答案】##
【解析】根据题意，，是偶函数，
当时，，
由二次函数性质，在上的最大值为或，
由偶函数对称性，在上的最大值为或，
，则，
即.
，即的最小值为.
故答案为：.
15．【解析】（1）要使函数意义，则且 ，解得，
∴其定义域为；对于函数，∵，∴，故，其值域为集合．∴．
（2）∵，∴．当时，即时，，满足条件；
当时，即时，要使，则，解得．
综上可得：．
16．【解析】（1）当时，；
当时，即时，；
当时，即时，不等式无解；
当时，即时，，
综上，时，解集为；
时，解集为；时，解集为.
（2）由，，
当且仅当时，取到等号，，
由于，，解得，
当且仅当时，取到等号，故的最小值为.
17．(1)
(2)当时，取得最大值为3680万元
【解析】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，
所以，解得，
当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，
所以，解得，
当时，，
当时，，
综上．
（2）①当时，单调递增，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合①②知，当时，取得最大值为3680万元．
18．【解析】（1）由，所以或，
由幂函数的图象关于轴对称，所以.
故. 所以.
函数在上单调递增，下面用单调性定义证明：
设，则.
因为，所以，，，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
（2）因为函数在上单调递增，且，
所以，.
对，.
当即时，在上单调递增，所以，
由.
当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
由，无解.
当即时，在上单调递减，所以，
由，这与矛盾，无解.
综上可知：.
故的取值范围是：.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【解析】（1）令，则，于是，
而函数在上单调递减，在上单调递增，，的值域为.
（2）当时，，当时，设，
在上递增，则，
因对，，使得成立，可得，
故实数的取值范围是.
（3）函数在上递减，在上递增，
设是一个优美区间，则或，
当时，有，则方程，即有两个不等的非负根，
设方程两根分别为，由，得，
又由，得，因此；
当时，有，则，两式相减得，因，则
于是，则方程，即有两个不等的非正根，
由，解得，又，可得，因此，
综上可得：实数的取值范围是.

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