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2.3《解二元一次方程组》小节复习题
题型01 代入消元法
1．将代入可得（ ）
A． B．
C． D．
2．解二元一次方程组：．
3．解二元一次方程组：
4．先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
5．解方程组：
题型02 加减消元法
6．解下列方程组：
(1) (2)
7．解方程：
8．解方程组：
(1)； (2)．
9．【观察思考】
第1个方程组为解为第2个方程组为解为
第3个方程组为解为第4个方程组为解为
……
【规律发现】
(1)按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________．
(2)写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由．
10．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
题型03 二元一次方程组的特殊解法
11．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
12．已知方程组，则的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
13．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
14．已知方程组的解为，则方程组的解为 ．
15．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的平方根．
题型04 方程组相同解问题
16．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
17．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．13 B．9 C． D．
18．已知方程组与方程组的解相同．则的值为 ．
19．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是
20．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
题型05 二元一次方程组的错解复原问题
21．甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值．
22．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
23．在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？
24．甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答：
(1)求，的值；
(2)求该二元一次方程组正确的解．
25．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)原方程组中的和各是多少？
(2)求原方程组的解．
题型06 构造二元一次方程组求解
26．若，求的值．
27．在等式中，当时，；当时，．
(1)求、的值；
(2)求当时的值．
28．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
29．在等式中，当时，；当时，．
(1)求k，b的值；
(2)当时，求x的值．
30．在等式（k、b是常数）中，当时，；时，．
(1)求k、b的值；
(2)当时，x的值取多少？
题型07 已知二元一次方程组解的情况求参数
31．关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （ ）
A． B．3 C．2 D．
32．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
33．已知关于，的方程组，若，则的值为 ．
34．已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ．
35．若关于，的方程组的解满足，求的平方根．
题型08 二元一次方程组的新定义解法
36．对于有理数a、b，定义关于“※”的一种运算：，例如
(1)求的值；
(2)若，，求的值
37．对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：．
(1)___________(用含有，的代数式表示)．
(2)已知，且．
①求，的值；
②直接写出的值为___________．
38．对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值．
39．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”；
(2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值．
40．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）．
例如，当时，．
(1)当时，__________；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值．
参考答案
题型01 代入消元法
1．B
【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算是解题的关键．
根据题意，代入计算即可．
【详解】解：将代入可得，，
∴，
故选：B ．
2．解：，
由①，得③，
将③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
原方程组的解是．
3．解法一：，
由②得：③，
把③代入①得：，
∴，解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：
解法二：，
得：③
得：
解得：，把代入②得：，
∴方程组的解为：．
4．解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，解得，
∴方程组的解为．
5．解：，
把①代入②得，解得．
把代入①，得．
则方程组的解为．
题型02 加减消元法
6．（1）解：，
将②代入①得：，
解得：，代入②中，
解得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
①②得：，
解得：，代入②中，
解得：，
则方程组的解为．
7．解：由整理得：
得：，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴这个方程组的解为．
8．（1）解：
得到，，
解得，
把代入①得，
解得
∴
（2）
得到，，
解得，
把代入②得
解得
∴
9．（1）解：按照以上规律，写出第5个方程组为，解为
（2）解：每个方程组的第1个方程都为，
第2个方程的中的系数为1，的系数为，等号右边的数为，
方程组的解，，
∴第个方程组为，它的解为
检验：
得，，即，
解得：，
代入①可得，，
∴方程组的解为：．
10．（1）解：依题意，
得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：
∴这两个方程组的相同解为；
（2）解：将代入
∴
得，，
解得：
将代入得
解得：
∴
题型03 二元一次方程组的特殊解法
11．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则，
根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：解法一：，
∴，
设，，
∴，
∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，，
解得：，
∴原方程组的解集为：；
解法二：把代入，得：，
∵，
∴，即：，
，得：，
∵方程组有解，
∴，
∴，
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解集为：；
故选：C．
12．C
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组．直接利用两方程相减得出的值．
【详解】解：，
得：，
则，
故选：C．
13．B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据关于，的方程组的解为，列出中，的方程，解方程即可，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义是使各个方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：关于，的方程组的解为，
关于x，y的方程组中，可得，
解得：，
关于，的方程组的解为，
故选：B．
14．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意可把新方程中的看作整体，相当于方程组中的x和y，对应值是3和2，构造新方程组即可．
【详解】解：根据已知可得：
，
解得：，
故答案为：．
15．（1）解：，
得：，
∴，
得：，
将代入得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
题型04 方程组相同解问题
16．C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
【详解】∵和有相同的解，
∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组，
∵解方程组，得，
∴的解也为，
把代入，
得：，
两个方程相加，得，
整理，得，
∴
故选：C.
17．A
【分析】先解方程组求出该方程组的解，然后把这个解分别代入与即可求出a、b的值，进一步即可求出答案．
【详解】解方程组，
得，
把代入，
得，
解得：a=2，
把代入，
得，
解得：b=﹣11，
∴a－b=2－（﹣11）=13．
故选：A．
18．
【分析】本题考查了同解方程，解二元一次方程组，根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解，再把和的值代入求出和的值即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：由题意得：，解得：，
把代入方程得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】把，-y看作整体，则，从而得到方程组的解．
【详解】根据题意得：，
，
故答案为：．
20．解：由题意可得：，
解得：，
将代入，得，
解得：．
题型05 二元一次方程组的错解复原问题
21．解：∵ 甲同学看错了系数，得到的方程组的解是 ，
是方程的解，
∴，
∴；
∵ 乙同学看错了系数，得到的方程组的解是，
是方程的解，
∴，
∴．
22．（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为
∴，
解得；
∵乙由于看错了b，得到方程组的解为
∴，
解得；
（2）由（1）得方程组为，
解得，
∵方程组的解与方程组的解相同，
∴，
解得，
∴．
23．解：由题意，得：满足方程，满足方程，
∴，
∴，
∴原方程组为：，
，得：，解得：，
把代入②，得：，解得：，
∴方程组的解为：．
24．（1）解：由题意可知，
甲看错了②中的
是方程①的解
，解得
∵乙看错了①中的
∴是方程②的解
∴
解得
综上：，.
（2）由题可知，原方程组可变为
，得
解得
把代入①解得
原方程组的解为.
25．（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为，
∴，解得：，
∵乙看错了方程组中的，得解为，
∴，解得：；
（2）解：由（1）得：原方程组为，
由得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
题型06 构造二元一次方程组求解
26．解：，
，，
，
解得
，
，
故答案为．
27．（1）将时，； 时，分别代入得：
解得：，
（2）由（1）得，
将代入得：
．
28．解：，
①②，可得：，
解得，
把代入①式得：
，
解得：，
∴原方程组的解是
29．（1）解：根据题意可得：，
解得：；
（2）解：因为，
所以，
所以当时，，
解得：．
30．（1）解：将，；，分别代入等式，可得：
，
解得；
（2）解：由（1）得，
把代入，得，
解得．
题型07 已知二元一次方程组解的情况求参数
31．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确求出、的值是解题的关键．
先求出方程组的解，然后代入方程中即可求出的值．
【详解】解：，
②①得，，即，
把代入①得，，
把、的值代入中，得，
解得：．
故选：C．
32．B
【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可．
【详解】解：，
得：，
，
，
解得：．
故选： B．
33．2
【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
把两个方程相加，得，结合，即可求解．
【详解】解：，
，得，即
又∵，
∴，
解得：，
故答案为：2．
34．8
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，利用加减消元法得到，再根据x、y都是整数，得到a是整数，即是整数，据此求出符合题意的整数a，再求和即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
∵x、y都是整数，
∴a是整数，
∴是整数，
∴或，
解得或或或，
∴满足条件的a的所有整数值的和为，
故答案为：8．
35．解：∵，
②①得：，
∵，
∴，
解得：，
∴的平方根是．
题型08 二元一次方程组的新定义解法
36．（1）解：，
∴；
（2）解：由题可得：，
解得，
∴．
37．（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①根据题意可得：
，，
整理得：，
解得：，
的值为1，的值为1；
②的值为1，的值为1
∴
∴，
故答案为：．
38．解：∵，，
∴，
∴，
∴．
39．（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是，
（2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是，
∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，
，
解得，
，．
40．（1）解：当时，，
∴，
所以．
（2）解：因为，
所以，两式相加得，
解得．
把代入得，
解得．
（3）解：因为，所以．
又因为，
所以，
将代入得，
由得，
因为，
所以；
由得，
因为，
所以．
联立，两式相加得，，
解得．
把代入得，
解得．

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