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第5章《分式》章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子从左到右运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．2025年1月7日9时5分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，急需大量赈灾帐篷．某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶．已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，问该企业现在每天能生产多少顶帐篷？设该企业现在每天能生产x顶帐篷，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若分式的值为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
6．如图，小辰在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道题破了一个洞，■表示破损的部分，则破损部分的式子是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 则 （ ）
A．1 B． C． D．
9．设满足且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：
．
下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数，都有成立．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．分式方程的解是 ．
12．某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水 吨．（用含，的代数式表示）
13．已知，则 ．
14．使得为整数的自然数的个数为 个．
15．对于正数x，规定，则的值为 ．
16．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
三、解答题（8小题，共66分）
17．下面是小茜同学化简分式的过程．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
(1)小茜的解法从第______步开始出现错误．
(2)请你写出正确的化简过程．
18．先化简，再计算：，其中．
19．一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（为正整数）．
(1)若单位分数写成：，求的值．
(2)设，，即，试探究，与之间的关系，并写出推理过程．
20．依据素材，解答问题．
方案设计
材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力．
材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件．
材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变．
问题解决
任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少．
任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量．
21．某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元／千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
(1)乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
(2)求乙店小果的质量；
(3)若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
22．如果两个分式的和为常数，我们称这两个分式互为“和美”分式，这个常数为“和美”值．
如，所以与互为“和美”分式．
(1)已知，，，判断A和B是不是互为“和美”分式？若是，请证明，并求出“和美”值；若不是，请说明理由；
(2)已知，，m、n、p为非零常数，若C、D互为“和美”分式，求的值．
23．已知：．
(1)，求代数式，的值．
(2)若，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．
24．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
(3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查了分式的性质，以及分式的加减，根据分式的性质可判断A，B，C，根据分式的加减可判断D．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
2．B
【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
【详解】要使分式有意义，
∴
∴．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，解题的关键是根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合已知条件找出等量关系．
先分别表示出实际和原计划的工作效率，再根据“现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同”这一条件列出方程．
【详解】已知设该企业现在每天能生产顶帐篷，因为实际每天生产帐篷比原计划多200顶，所以原计划每天生产（）顶帐篷，
根据公式：工作时间=工作总量工作效率，现在生产3000顶帐篷所用时间为；原计划生产2000顶帐篷所用时间为，
又因为现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，所以可列方程为，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为，（2）分母不为，这两个条件缺一不可．据此可以解答本题．
【详解】解：分式的值为，
且，
解得：，
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的特征，是解决问题的关键．
去分母把分式方程化为整式方程，根据分式方程的增根使分式方程的分母为0，求出增根代入整式方程求解即可．
【详解】方程两边都乘，
得，，
∵关于的方程有增根，
∴，
解得，，
∴，
解得，．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了分式的混合运算，按照运算法则，遵循运算顺序计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选B．
7．C
【分析】先将去分母得，代入分式，约分后即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式计算的步骤，把作为一个整体代入分式是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．A
【分析】根据得；根据得，计算，选择即可，本题考查了分式的混合运算，正确通分计算是解题的关键．
【详解】∵，
∴；
∵
∴，
∴，
故选A．
9．B
【分析】由可得：， ，然后对分式进行变形，先利用平方差公式的逆用，再根据需要代入，变形，利用分数的性质化简即可求值．
【详解】解：
，，，
．
故选：B．
10．D
【分析】本题主要考查分式的运算、数字规律等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，
根据题意，找到循环周期和规律，然后逐一判断即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，，，，……
即：这列数以x，，，，每四个为一个周期循环，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，，，，，
∴，
由此可得、都是以4个数为一周期的数列，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
综上所述：正确的有①②③，共3个．
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
解得：；
经检验，是原方程得解，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查列代数式，分式的运算．用原来每天用水量减去现在每天用水量即可．
【详解】解：（吨，
现在比原来每天节约用水吨；
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了分式的求值，解题的关键是先求倒数．
先将已知的式子化为倒数形式，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
14．6
【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可．
【详解】解：
，
∵分式的值为整数且x为自然数，
∴或2或3或4或6或12，
∴或1或2或3或5或11，
共6个，
故答案为：6．
15．
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到是解题的关键．根据已知规定，可得，进而可以解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
16．
【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；
（2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得．
【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数M的个位数字不为0，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴为5或者4 ，
，即的分子时奇数，
当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被7整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有6，
，，
即，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）小茜的解法从第二步开始出现错误，原因是错把分式的化简当成解分式方程，导致分母丢失；
故答案为：二；
（2）
18．解：
，
当时，原式．
19．（1），
，
；
（2），
即，
，
∴
即，
即，与之间的关系为．
20．解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，
根据题意可列方程：
解得，
答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程：
，
解得，
经检验，是该方程的解，
答：车间需要到其他企业调配8人．
21．（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）设乙店的大果有千克，
则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴
22．（1）解：是；
；
∴A和B互为“和美”分式，值为3；
（2）
∵C、D互为“和美”分式，
∴为常数，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：，
，
，
∴的值为49，的值为37；
（2）解：代数式，
理由如下：
，
，
，
故代数式的值小于0．
24．（1）解：①的分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②，
故答案为：，；
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或；
（3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为，
则个位数字为，，，
，
，
，
，
，
当时，
为正整数，
，
当时，且为正整数，
不可能为整数，
．

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