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2025年春期七年级期末专项训练（一）
解 设小明投中x个，根据题意，得： 4x＝2（30﹣x）
1．若代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数，则x的值为　 　 ．
2．已知一多边形的内角和等于1440°，则这个多边形是 　 　 边形．
3．小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分． 　 　 ，经计算，发现两人的得分恰好相等．他们两人各投中几个？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 　 　 ．
4．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝　 　 ．
5．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 　 　 度．
6．（1）解方程：3＝1﹣2（4+x） （2）解方程组．
7．【阅读理解】
下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请认真阅读并完成任务．
解：解不等式①：
移项，得﹣3x+x≤4﹣2第1步，
合并同类项，得﹣2x≤2第2步，
两边都除以﹣2，得x≤﹣1第3步．
【任务一】（1）该同学的解答过程中第 　 　 步出现了错误，错误的原因是 　 　 ，不等式①的正确解集是 　 　 ；【任务二】
（2）解不等式②；（3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
8．整式3（m）的值为P．（1）当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
9．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠B＝60°，∠F＝40°．（1）求∠EDF的度数；（2）若△ABC的周长为15，平移距离为2．则四边形ABFD的周长为 　 　 ．
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'；（2）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．（3）△ABC的面积为 　 　 ．
11．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E在DC上，将△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，再将△ABF向右平移后与△DCH重合．（1）指出旋转的中心和旋转的角度；（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由；（3）试猜想线段AE和DH的数量关系和位置关系，并说明理由．
12．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
13．【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容．
现在我们讨论三角形的外角及外角和． 如图9.1.9、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？ 在图9.1.10中、显然有∠CBD（外角）+∠ABC（相邻的内角）＝180°． 那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 依据三角形的内角和等于180°，我们有∠ACB+∠BAC+∠ABC＝180°． 由上面两个式子，可以推出： ∠CBD＝180°﹣∠ABC． ∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠ABC． 因而可以得到你与你的同伴所发现的结论： ∠CBD＝∠ACB+∠BAC． 由此可知，三角形的外角有两条性质： 1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝260°，则∠BEF+∠DFE＝　 　 度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝210°，则∠M的度数为 　 　 ．
2025年春期七年级期末专项训练（二）
1．若x＝2是关于x的方程3x+2m＝0的解，则m的值为 　 　 ．
2．已知解方程组得x，y的值相等，则m＝　 　 ．
3．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 　 　 折．
4．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移m格，再纵向平移n格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么m+n的值为 　 　 ．
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的角平分线相交于点E，则下列结论：①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中一定正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）．
6．（1）解一元一次方程： （2）解方程组：
7．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程：．解：去分母，得2（3x+1）﹣（x+3）＝8．第一步去括号，得6x+2﹣x﹣3＝8．第二步____6x﹣x＝8﹣3﹣2．第三步合并同类项，得5x＝3．第四步方程两边同除以5．得．第五步任务一：填空：①第三步进行的是 　 　 ，这一步的依据是 　 　 ；②从第 　 　 步开始出现错误，具体的错误是 　 　 ．任务二：请写出正确的解方程的过程．任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议 　 　 ．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．（1）求∠ADC的度数．（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
9．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 11 　 　 17 … 　 　 （用含x的式子表示）
10．如图，这是某大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“〇”的个数为y．（1）填写表：（2）若第x个所贴“〇”的个数为2024，求x的值；
（3）若第x个所贴的“〇”的个数大于50，求x的取值范围．
11．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，将△ABE旋转到△ADF的位置．已知AF＝4，AB＝7．（1）旋转中心是点 　 　 ，旋转的角度是 　 　 ；（2）求DE的长度；（3）直线BE与DF的位置关系是 　 　 ．
12．初夏时分，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用12000元购进了大樱桃和小樱桃各300千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克15元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？（2）该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各300千克，进价不变，但在运输过程中大樱桃损耗了15%．若大樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于3600元，小樱桃的售价最少应为多少？
13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　 　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　 　 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
2025年春期七年级期末专项训练（三）
1．若﹣2a＞﹣2b，则a 　 　 b．（填“＜”，“＞”，“＝”）
2．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 　 　 ．
3．已知|3﹣5x|＝3﹣5x，则x的取值范围是 　 　 ．
4．如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 　 　 ．
5．若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是 　 　 ．
6．解方程组：
（1） （2）．
7．（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并求不等式组的正整数解．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点M也在格点上．用无刻度的直尺在网格内按要求完成作图并回答问题：（1）过点M作一条线段MN平行且等于BC．（2）将图中三角形ABC先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到三角形A′B′C′，①在图中作出平移后的三角形A′B′C′．②在平移过程中，线段AB扫过的面积为 　 　 ．
9．已知在△ABC中（1）∠A+∠C＝2∠B，求∠B的度数；（2）a、b、c是△ABC的三条边长，其中a、b满足（a+b﹣5）2+|2a﹣5b﹣3|＝0，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
10．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．（1）点B到AC的距离是 　 　 cm；点A到BC的距是 　 　 cm．（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
11．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：．解：①﹣②，得4x+4y＝12，即x+y＝3③．③×12，得12x+12y＝36④．④﹣②，得y＝1，从而可得x＝2．∴原方程组的解是．（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：．（2）请你求出关于x，y的方程组的解．
12．某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
13．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ 　 　 °；（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ 　 　 °；（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数．
2025年春期七年级期末专项训练（一）答案
1．若代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数，则x的值为　　 ．
【解答】解：∵代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数，
∴（4x﹣5）+（3x﹣6）＝0，
∴7x＝11，
∴x．
故答案为：．
2．已知一多边形的内角和等于1440°，则这个多边形是 　十　 边形．
【解答】解：设多边形边数为n，由题意得：180（n﹣2）＝1440，
解得：n＝10．
故答案为：十．
3．小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分． 　小明和爸爸共投中30个　 ，经计算，发现两人的得分恰好相等．他们两人各投中几个？
根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 　小明和爸爸共投中30个　 ．
解 设小明投中x个，根据题意，得： 4x＝2（30﹣x）
【解答】解：∵小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分，
∴4x表示小明的得分，2（30﹣x）表示爸爸的得分，
又∵x表示小明投中的个数，
∴（30﹣x）表示表示爸爸投中的个数，
∴上面横线处空缺的条件应是：小明和爸爸共投中30个．
故答案为：小明和爸爸共投中30个．
4．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝　﹣1　 ．
【解答】解：由x﹣a＞2得：x＞a+2，
由x+1＜b得：x＜b﹣1，
∵解集为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，b﹣1＝1，
解得a＝﹣3，b＝2，
则原式＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
5．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 　45　 度．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B＝∠BAE＝108°，
由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM∠BAE＝54°，
∠BAF＝∠FAB'∠BAM＝27°，
∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．
故答案为：45．
6．（1）解方程：3＝1﹣2（4+x）；
（2）解方程组．
【解答】解：（1）3＝1﹣2（4+x）；
3＝1﹣8﹣2x，
3＝﹣7﹣2x，
﹣2x＝10，
x＝﹣5；
（2）可变形为，
由①×3﹣②×2得：﹣21y﹣（﹣16y）＝24﹣20，
解得，
将代入①得：，
解得，
则方程组的解为．
7．【阅读理解】
下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请认真阅读并完成任务．
解：解不等式①：
移项，得﹣3x+x≤4﹣2第1步，
合并同类项，得﹣2x≤2第2步，
两边都除以﹣2，得x≤﹣1第3步．
【任务一】
（1）该同学的解答过程中第 　3　 步出现了错误，错误的原因是 　不等式两边都除以负数，不等号的方向没有改变　 ，不等式①的正确解集是 　x≥﹣1　 ；
【任务二】
（2）解不等式②；
（3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
【解答】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号的方向没有改变，
正确解集为：x≥﹣1．
故答案为：3，不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号，x≥﹣1．
（2）解不等式②：x+2（2x﹣1）＜4，
x+4x﹣2＜4，
5x＜6，
x＜1.2，
（3）不等式组的解集为﹣1≤x＜1.2，
故不等式组的非负整数解为0，1．
8．整式3（m）的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【解答】解：（1）根据题意得，P＝3（2）＝3×（）＝﹣5；
（2）由数轴知，P≤7，
即3（m）≤7，
解得m≥﹣2，
∵m为负整数，
∴m＝﹣1．﹣2．
9．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠B＝60°，∠F＝40°．
（1）求∠EDF的度数；
（2）若△ABC的周长为15，平移距离为2．则四边形ABFD的周长为 　19　 ．
【解答】解：（1）∵∠F＝40°，AC∥DF，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，
∴∠EDF＝∠ABAC＝80°．
（2）∵AD＝2，
∴CF＝AD＝2，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，
＝AB+BC+CF+AC+AD，
＝△ABC的周长+AD+CF，
＝15+2+2，
＝19．
故答案为：19．
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'；
（2）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．
（3）△ABC的面积为 　　 ．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝3×41×32×31×4＝123﹣2，
故答案为：．
11．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E在DC上，将△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合，再将△ABF向右平移后与△DCH重合．
（1）指出旋转的中心和旋转的角度；
（2）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由；
（3）试猜想线段AE和DH的数量关系和位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转的中心为点A和旋转的角度为90°；
（2）△AEF是等腰直角三角形．理由如下：连接EF，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAD＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（3）AE＝DH，AE⊥DH．理由如下：
∵△ABF向右平移后与△DCH重合，
∴AF＝DH，AF∥DH，
∵AF⊥AE，AF＝AE，
∴AE⊥DH，AE＝DH．
12．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，
由题意得：，
解得：，
答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；
（2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，
由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000，
解得：m≥10，
答：最少需要购买甲型自行车10台．
13．【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容．
现在我们讨论三角形的外角及外角和． 如图9.1.9、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？ 在图9.1.10中、显然有∠CBD（外角）+∠ABC（相邻的内角）＝180°． 那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 依据三角形的内角和等于180°，我们有∠ACB+∠BAC+∠ABC＝180°． 由上面两个式子，可以推出： ∠CBD＝180°﹣∠ABC． ∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠ABC． 因而可以得到你与你的同伴所发现的结论： ∠CBD＝∠ACB+∠BAC． 由此可知，三角形的外角有两条性质： 1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A+∠C＝260°，则∠BEF+∠DFE＝　260　 度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A+∠C＝210°，则∠M的度数为 　75°　 ．
【解答】解：【感知】如图①，∵∠A+∠C+∠CFE+∠FEA＝360°，∠A+∠C＝260°，
∴∠CFE+∠FEA＝360°﹣260°＝100°，
∵∠CFE+∠DFE＝180°，∠FEA+∠BEF＝180°，
∴∠CFE+∠DFE+∠FEA+∠BEF＝360°，
∴∠BEF+∠DFE＝360°﹣（∠CFE+∠FEA）＝260°，
故答案为：260；
【探究】如图②，∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC，理由如下：
∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，
∴∠A+∠C＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），
∵∠AEC+∠BEC＝180°，∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠BEC+∠DFC＝360°﹣（∠AEC+∠AFC），
∴∠A+∠C＝∠BEC+∠DFC；
【应用】如图③，∵∠A+∠C＝210°，
∴∠BEF+∠DFE＝210°，
∵FM、EM分别平分∠DFE、∠BEF，
∴∠MFE+∠MEF（∠DFE+∠BEF）＝105°，
∴∠M＝180°﹣（∠MFE+∠MEF）＝180°﹣105°＝75°，
故答案为：75°．
2025年春期七年级期末专项训练（二）答案
·1．若x＝2是关于x的方程3x+2m＝0的解，则m的值为 　﹣3　 ．
【解答】解：把x＝2代入关于x的方程3x+2m＝0得：
6+2m＝0，
2m＝﹣6，
m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
2．已知解方程组得x，y的值相等，则m＝　﹣4　 ．
【解答】解：∵解方程组得x，y的值相等，
∴2x+5x＝7，
解得x＝1，
∴x＝y＝1．
∴m＝x﹣5y＝1﹣5＝﹣4．
故答案为：﹣4．
3．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 　九　 折．
【解答】解：设打x折销售，
由题意可得：2118≥18×5%，
x≥9，
答：至多打九折，
故：答案为：九．
4．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移m格，再纵向平移n格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么m+n的值为 　6或8　 ．
【解答】解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时m＝2，n＝4，m+n＝6；
（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时m＝2，n＝4，m+n＝6；
②长边重合，此时m＝2，n＝6，m+n＝8．
综上可得：m+n＝6或8．
故答案为：6或8．
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的角平分线相交于点E，则下列结论：①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中一定正确的是 　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号）．
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴∠D∠A，故②正确；
∵∠GBC＝∠A+∠ACB，∠BCH＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠GBC+∠BCH＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠GBC，CE平分∠BCH，
∴∠GBC＝2∠EBC，∠BCH＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
6．（1）解一元一次方程：；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：（1），
4﹣（3x﹣1）＝2（4+x），
4﹣3x+1＝8+2x，
﹣3x﹣2x＝8﹣1﹣4，
﹣5x＝3，
x；
（2），
①×2得：4x﹣6y＝﹣8③，
②﹣③得：y＝﹣12，
把y＝﹣12代入①得：2x+36＝﹣4，
解得：x＝﹣20，
∴原方程组的解为：；
（3），
解不等式①得：x＞﹣6，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为：﹣6＜x≤1，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
7．下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程：．
解：去分母，得2（3x+1）﹣（x+3）＝8．第一步
去括号，得6x+2﹣x﹣3＝8．第二步
____6x﹣x＝8﹣3﹣2．第三步
合并同类项，得5x＝3．第四步
方程两边同除以5．得．第五步
任务一：填空：
①第三步进行的是 　移项　 ，这一步的依据是 　等式的基本性质　 ；
②从第 　三　 步开始出现错误，具体的错误是 　移项时，﹣3没有变号　 ．
任务二：请写出正确的解方程的过程．
任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议 　去分母时，常数项不要漏乘最简公分母（答案不唯一）　 ．
【解答】解：任务一：
①第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质；
②从第三步开始出现错误，具体的错误是移项时，﹣3没有变号；
故答案为：①移项；等式的基本性质；
②三；移项时，﹣3没有变号；
任务二：正确的解方程的过程如下：
，
2（3x+1）﹣（x+3）＝8，
6x+2﹣x﹣3＝8，
6x﹣x＝8+3﹣2，
5x＝9，
x；
任务三：根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：去分母时，常数项不要漏乘最简公分母，
故答案为：去分母时，常数项不要漏乘最简公分母（答案不唯一）．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
9．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，将△ABC沿AC方向平移，当点A移动到点A1时，画出平移后的△A1B1C1；
（2）在图②中，作△ABC关于直线MN对称的△DEF，且点D、E、F均在格点上；
（3）在图③中，作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△DEF即为所求；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
10．如图，这是某大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，若第x个所贴“〇”的个数为y．
（1）填写表：
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 11 　14　 17 … 　3x+2　 （用含x的式子表示）
（2）若第x个所贴“〇”的个数为2024，求x的值；
（3）若第x个所贴的“〇”的个数大于50，求x的取值范围．
【解答】解：（1）填表如下：
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 11 14 17 … 3x+2（用含x的式子表示）
故答案为：14，3x+2；
（2）依题意有：3x+2＝2024，
解得x＝674．
故x的值为674；
（3）依题意有：3x+2＞50，
解得x＞16．
故x的取值范围是x＞16．
11．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，将△ABE旋转到△ADF的位置．已知AF＝4，AB＝7．
（1）旋转中心是点 　A　 ，旋转的角度是 　90°　 ；
（2）求DE的长度；
（3）直线BE与DF的位置关系是 　BE⊥DF　 ．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴点A是旋转中心，旋转角∠BAD＝90°，
故答案为：A，90°．
（2）由旋转得AE＝AF＝4，
∵AD＝AB＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3，
∴DE的长为3．
（3）延长BE交DF于点G，
∵∠DAF＝∠BAE＝90°，
∴∠DAF+∠BAE＝180°，
∴F、A、B三点在同一条直线上，
∵∠ADF＝∠ABE，
∴∠BGD＝∠F+∠ABE＝∠F+∠ADF＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案为：BE⊥DF．
12．初夏时分，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用12000元购进了大樱桃和小樱桃各300千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克15元．
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
（2）该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各300千克，进价不变，但在运输过程中大樱桃损耗了15%．若大樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于3600元，小樱桃的售价最少应为多少？
【解答】解：（1）设小樱桃的进价是每千克x元，则大樱桃的进价是每千克（x+20）元，
依题意得：300x+300（x+20）＝12000，
解得：x＝10，
∴x+20＝10+20＝30，
答：大樱桃的进价是每千克30元，小樱桃的进价是每千克10元钱．
（2）设小樱桃的售价为每千克m元，
依题意得：300×（1﹣15%）×40+300m﹣12000≥3600，
解得：m≥18．
答：小樱桃的售价最少为每千克18元．
13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　9或27　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　12或30　 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；
（2）∵∠OMN＝30°，
∴∠N＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9或27，
直线ON恰好平分锐角∠AOC时，
旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为12或30；
故答案为：9或27；12或30．
（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
2025年春期七年级期末专项训练（三 ）答案
1．若﹣2a＞﹣2b，则a 　＜　 b．（填“＜”，“＞”，“＝”）
【解答】解：∵﹣2a＞﹣2b，
∴﹣2a÷（﹣2）＜﹣2b÷（﹣2），
∴a＜b．
故答案为：＜．
2．足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 　12°　 ．
【解答】解：因为正多边形内角和为（n﹣2） 180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5﹣2） 180°＝108°，
正六边形的每个内角的度数为（6﹣2） 180°＝120°．
∴∠AOB的度数为：360°﹣108°﹣120°×2＝12°．
故答案为：12°．
3．已知|3﹣5x|＝3﹣5x，则x的取值范围是 　x　 ．
【解答】解：由题可知，
|3﹣5x|＝3﹣5x，
所以3﹣5x≥0，
解得x．
故答案为：x．
4．如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 　300°　 ．
【解答】解：∵∠A＝120°，
∴∠A的外角为60°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+60°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝300°．
故答案为：300°．
5．若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是 　5≤m＜6　 ．
【解答】解：，
由①得x≤m，
由②得x＞3，
∵整数解共有2个，
∴5≤m＜6．
故答案为：5≤m＜6．
6．解方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
把①代入②得：y﹣3+2y＝6，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：x＝0，
∴方程组的解为；
（2），
①﹣②×2得：﹣7y＝7，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：2x+3＝3，
解得：x＝0，
∴方程组的解为．
7．（1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并求不等式组的正整数解．
【解答】解：（1）不等式的解为x≥1；
（2）不等式组化简，
∴不等式组的解集为0＜x＜3，
∴不等式组的正整数解是1，2．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点M也在格点上．用无刻度的直尺在网格内按要求完成作图并回答问题：
（1）过点M作一条线段MN平行且等于BC．
（2）将图中三角形ABC先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到三角形A′B′C′，
①在图中作出平移后的三角形A′B′C′．
②在平移过程中，线段AB扫过的面积为 　6　 ．
【解答】解：（1）如图线段MN即为所求，（图一或图二，答案不唯一）．
（2）①平移后的三角形A′B′C′如图所示，
②线段AB在向左平移过程中未扫过面积，
再向上平移2个单位的过程中扫过的面积为：3×2＝6．
故答案为：6．
9．已知在△ABC中
（1）∠A+∠C＝2∠B，求∠B的度数；
（2）a、b、c是△ABC的三条边长，其中a、b满足（a+b﹣5）2+|2a﹣5b﹣3|＝0，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
【解答】解：（1）∵∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，
∴∠A+∠B+∠C＝180°，
又∵∠A+∠C＝2∠B，
即∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝60°；
（2）∵（a+b﹣5）2+|2a﹣5b﹣3|＝0，
∴，
∴，
又∵a﹣b＜c＜a+b，
∴4﹣1＜c＜4+1，
即3＜c＜5，
∴8＜a+b+c＜10，
∵这个三角形的周长为整数，
∴三角形的周长为9．
10．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 　4　 cm；点A到BC的距是 　3　 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度．
故答案为：4，3．
（2）如图：
作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．
∵S△ABCBC ACAB CD．
∴CD（cm）．
11．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：．
解：①﹣②，得4x+4y＝12，即x+y＝3③．③×12，得12x+12y＝36④．
④﹣②，得y＝1，从而可得x＝2．
∴原方程组的解是．
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：．
（2）请你求出关于x，y的方程组的解．
【解答】解：（1），
①﹣②，得3x+3y＝24，即x+y＝8③，
③×200，得200x+200y＝1600④，
④﹣②，得36y＝﹣162，
解得y＝﹣4.5．
将y＝﹣4.5代入③，得x＝12.5，
∴原方程组的解为；
（2），
①﹣②，得（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b，
即x+y＝1③，
③×（a+2），得（a+2）x+（a+2）y＝a+2④，
④﹣①，得y＝2．
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
∴原方程组的解为．
12．某校准备组织七年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【解答】解：（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，
由题意得，，
解得，
答：每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生；
（2）①由题意得，20x+45y＝340，
∴，
∵x，y都是整数，
∴一定是整数，
∴y一定是4的倍数，
∴或，
∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆；
②方案一的费用为4000×17＝68000（元），
方案二的费用为4000×8+4×8000＝64000（元），
∵68000＞64000，
∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元．
13．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ 　40　 °；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ 　90　 °；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，
∴，
故答案为：40；
（2）如图，
∵BD是“邻BC三分线”时，∠ABD∠ABC＝30°，
则∠BDC＝∠ABD+∠A＝30°+60°＝90°，
故答案为：90；
（3）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°．
∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∠ABC∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°．

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