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浙江省杭州市高桥教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学卷
1．（2025七下·杭州期中）四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·杭州期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·杭州期中）下列正确的是（　　）
A．同位角相等
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·杭州期中）一组同学一起去种树，若每人种植7棵，还剩下3棵树苗；若每人种8棵，则缺少5棵树苗，设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州期中）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大，则（　　）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
9．（2025七下·杭州期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
10．（2025七下·杭州期中）设，若，则（　　）
A．27 B．24 C．22 D．20
11．（2025七下·杭州期中）已知，用含x的代数式表示y，则　 　．
12．（2025七下·杭州期中）若则　 　．
13．（2025七下·杭州期中）因式分解：　 　.
14．（2025七下·杭州期中）如图，将三角形ABC沿边BC向右平移4cm得到三角形，已知四边形的周长为23cm，那么三角形ABC的周长为　 　．
15．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为　 　．
16．（2025七下·杭州期中）已知
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　.（用含k，t的代数式表示）
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·杭州期中）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
19．（2025七下·杭州期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点均在方格纸的格点上，将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使点落在直线l上的点A'处．
（1）画出平移后的三角形A'B'C'．
（2）在直线上找一格点，使所围成的四边形的面积为7．（画出符合条件的一个点)．
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结BD，若，且，求的度数．
21．（2025七下·杭州期中）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和.
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少
（2）若，求长方形增加的面积.
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值.
22．（2025七下·杭州期中）装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
23．（2025七下·杭州期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“”表示的数为 ▲ .
【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含a，b的代数式表示） ▲ .
【探究】规定※，若和是两个连续的奇数时，※称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，试说明原因。
【应用】已知，求※的值。
24．（2025七下·杭州期中）如图1，平分交BD于点H，且
（1）若，且，求的度数．
（2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与AH所在直线交于点．
①如图2，若，探究与的数量关系并说明理由．
②若E为直线AC上的一个动点（E不与A重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、， C错误；
D、，D错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、该等式属于整数的乘除运算，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、是单项式，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于两个数的平方差.
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的定义与现象；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、如图，是同位角，但，A错误；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误；
C、如图，过点A，C正确；
D，如图，当点A在CD上时，过点A的直线与CD重合或相交，D错误.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，
可得.
故答案为：D.
【分析】设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，根据每人种植7棵，还剩下3棵树苗可得7x+3=y；根据每人种8棵，则缺少5棵树苗可得8x-5=y，即可列出方程组.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，
由题意可得，
设，
，
，
，
，
，
，
当增大，则减少.
故答案为：B.
【分析】设，利用平行线的性质可得，再通过平角的定义得到，然后由平行线的性质表示出，故当增大，则减少.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】根据阴影部分面积为，代入数值计算解题即可．
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得，代入a、b的值，再利用平方差公式进行计算，即可求得的值.
11．【答案】6-2x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+y=6，
移项得y=6-2x.
故答案为：6-2x.
【分析】将方程中不含y的项移到方程的右边即可.
12．【答案】3
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：3.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.
14．【答案】15cm
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
四边形的周长为23cm，
，
.
故答案为：15cm.
【分析】由平移的性质可得，再通过四边形的周长求得的周长.
15．【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得
∴
∵
∴
解得
故答案为：3
【分析】先将k当作常数求出方程组的解，再将x、y代入计算即可。
16．【答案】（1）c-a=1
（2）5t+k
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：(1)，，
，
，
.
故答案为：c-a=1.
(2)，
，
，
，
化简得，
.
故答案为：5t+k.
【分析】(1)由可得，两式相减可得c-a=1.
(2)由题意可得，根据可得，代入计算出的表达式.
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1.
任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
(2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
18．【答案】（1）解：，
把代入，得，
，
把代入，得，
原方程组的解为.
（2）解：，
+，得，
，
把代入，得，
，
原方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)将代入，利用代入消元法消去x求得y的值，再将y值代入式解得x的值，进而求得方程组的解.
(2)利用加减消元法消去y求得x的值，再将x值代入式解得y的值，进而求得方程组的解.
19．【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图，
.
【知识点】作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；多边形的面积
【解析】【分析】(1)由图可得点A先上移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点A'，按照同样的路径平移点B、C得到点B'、C'，连线得到.
(2)利用梯形的面积公式可得A'D=4，故点D在距离点A'4个单位长度处.
20．【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
.
（2）解：设，
，
，
，
，
，即，解得，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可得，再通过平行线的性质得到，进而等量代换证得，即可判定.
(2)设，利用平行线的性质可得，由三角形的外角性质可得，通过垂直的定义求得，进而得到的度数．
21．【答案】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）先分别计算新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把a、b的值代入（1）中的代数式，计算即可；
（3）由条件可得，再计算，最后整体代入即可；
22．【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
，解得，
答：购进A种纪念品每件需150元，B种纪念品每件需100元.
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，
，
化简得，
，
当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，
答：共有4种方案：购进A种纪念品12件，B种纪念品22件；购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元可得10x+5y=2000；根据购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元可得5x+3y=1050，进而解得.
(2)设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品可列出二元一次方程，再根据各纪念品至少购进12件可得当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，故共有3种方案：购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
23．【答案】解：【发现】.
【探究】和是两个连续的奇数，
，
，
，
，
，
对称奇值减去1，结果都是12的倍数.
【应用】，
※，
，
，
，
，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】【发现】根据新定义写出“对称多项式”即可.
【探究】设，利用整数的乘除运算对代数式进行化简，进而证得对称奇值减去1，结果都是12的倍数.
【应用】根据新定义列出代数式，再利用整数的乘除运算对代数式进行化简，然后整体代入，进而求得※的值.
24．【答案】（1）解：，，，
，
，
，
平分，
，
.
（2）解：①当时，，
设，
，
，，
，
，，
，
BG、AH分别平分和，
，
，
，
.
②或.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2)②如图3，当点E在点A右边时，
设，
，
，，，
，，
，
BG、AH分别平分和，
，
，
，
；
如图4，当点E在点A左边时，
设，
，
，，，
，
BG、AH分别平分和，
，
，
，
，
综上所述，或.
故答案为：或.
【分析】(1)利用平行线的性质可得，再通过角平分线的定义得到，接着由三角形的内角和定理计算出的度数．
(2)①设，利用平行线的性质可得，，再通过角平分线的定义可得，然后由三角形的内角和定理可得，故.
②当点E在点A右边时，利用平行线的性质可得，，再通过角平分线的定义可得，然后由三角形的内角和定理可得；当点E在点A左边时，利用平行线的性质可得，，再通过三角形的外角性质证得.
1 / 1浙江省杭州市高桥教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试数学卷
1．（2025七下·杭州期中）四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
2．（2025七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、， C错误；
D、，D错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
3．（2025七下·杭州期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、该等式属于整数的乘除运算，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、是单项式，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
4．（2025七下·杭州期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于两个数的平方差.
5．（2025七下·杭州期中）下列正确的是（　　）
A．同位角相等
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的定义与现象；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、如图，是同位角，但，A错误；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，B错误；
C、如图，过点A，C正确；
D，如图，当点A在CD上时，过点A的直线与CD重合或相交，D错误.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等.
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
6．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数.
7．（2025七下·杭州期中）一组同学一起去种树，若每人种植7棵，还剩下3棵树苗；若每人种8棵，则缺少5棵树苗，设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，
可得.
故答案为：D.
【分析】设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，根据每人种植7棵，还剩下3棵树苗可得7x+3=y；根据每人种8棵，则缺少5棵树苗可得8x-5=y，即可列出方程组.
8．（2025七下·杭州期中）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大，则（　　）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，
由题意可得，
设，
，
，
，
，
，
，
当增大，则减少.
故答案为：B.
【分析】设，利用平行线的性质可得，再通过平角的定义得到，然后由平行线的性质表示出，故当增大，则减少.
9．（2025七下·杭州期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】根据阴影部分面积为，代入数值计算解题即可．
10．（2025七下·杭州期中）设，若，则（　　）
A．27 B．24 C．22 D．20
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】由完全平方公式可得，代入a、b的值，再利用平方差公式进行计算，即可求得的值.
11．（2025七下·杭州期中）已知，用含x的代数式表示y，则　 　．
【答案】6-2x
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：2x+y=6，
移项得y=6-2x.
故答案为：6-2x.
【分析】将方程中不含y的项移到方程的右边即可.
12．（2025七下·杭州期中）若则　 　．
【答案】3
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：3.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减.
13．（2025七下·杭州期中）因式分解：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.
14．（2025七下·杭州期中）如图，将三角形ABC沿边BC向右平移4cm得到三角形，已知四边形的周长为23cm，那么三角形ABC的周长为　 　．
【答案】15cm
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
四边形的周长为23cm，
，
.
故答案为：15cm.
【分析】由平移的性质可得，再通过四边形的周长求得的周长.
15．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为　 　．
【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得
∴
∵
∴
解得
故答案为：3
【分析】先将k当作常数求出方程组的解，再将x、y代入计算即可。
16．（2025七下·杭州期中）已知
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　.（用含k，t的代数式表示）
【答案】（1）c-a=1
（2）5t+k
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：(1)，，
，
，
.
故答案为：c-a=1.
(2)，
，
，
，
化简得，
.
故答案为：5t+k.
【分析】(1)由可得，两式相减可得c-a=1.
(2)由题意可得，根据可得，代入计算出的表达式.
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1.
任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
(2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
18．（2025七下·杭州期中）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
把代入，得，
，
把代入，得，
原方程组的解为.
（2）解：，
+，得，
，
把代入，得，
，
原方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)将代入，利用代入消元法消去x求得y的值，再将y值代入式解得x的值，进而求得方程组的解.
(2)利用加减消元法消去y求得x的值，再将x值代入式解得y的值，进而求得方程组的解.
19．（2025七下·杭州期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点均在方格纸的格点上，将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使点落在直线l上的点A'处．
（1）画出平移后的三角形A'B'C'．
（2）在直线上找一格点，使所围成的四边形的面积为7．（画出符合条件的一个点)．
【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图，
.
【知识点】作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法；多边形的面积
【解析】【分析】(1)由图可得点A先上移5个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点A'，按照同样的路径平移点B、C得到点B'、C'，连线得到.
(2)利用梯形的面积公式可得A'D=4，故点D在距离点A'4个单位长度处.
20．（2025七下·杭州期中）如图，已知平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结BD，若，且，求的度数．
【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
.
（2）解：设，
，
，
，
，
，即，解得，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可得，再通过平行线的性质得到，进而等量代换证得，即可判定.
(2)设，利用平行线的性质可得，由三角形的外角性质可得，通过垂直的定义求得，进而得到的度数．
21．（2025七下·杭州期中）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和.
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少
（2）若，求长方形增加的面积.
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值.
【答案】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）先分别计算新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把a、b的值代入（1）中的代数式，计算即可；
（3）由条件可得，再计算，最后整体代入即可；
22．（2025七下·杭州期中）装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
，解得，
答：购进A种纪念品每件需150元，B种纪念品每件需100元.
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，
，
化简得，
，
当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，
答：共有4种方案：购进A种纪念品12件，B种纪念品22件；购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元可得10x+5y=2000；根据购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元可得5x+3y=1050，进而解得.
(2)设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品可列出二元一次方程，再根据各纪念品至少购进12件可得当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，故共有3种方案：购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
23．（2025七下·杭州期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“”表示的数为 ▲ .
【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含a，b的代数式表示） ▲ .
【探究】规定※，若和是两个连续的奇数时，※称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，试说明原因。
【应用】已知，求※的值。
【答案】解：【发现】.
【探究】和是两个连续的奇数，
，
，
，
，
，
对称奇值减去1，结果都是12的倍数.
【应用】，
※，
，
，
，
，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】【发现】根据新定义写出“对称多项式”即可.
【探究】设，利用整数的乘除运算对代数式进行化简，进而证得对称奇值减去1，结果都是12的倍数.
【应用】根据新定义列出代数式，再利用整数的乘除运算对代数式进行化简，然后整体代入，进而求得※的值.
24．（2025七下·杭州期中）如图1，平分交BD于点H，且
（1）若，且，求的度数．
（2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与AH所在直线交于点．
①如图2，若，探究与的数量关系并说明理由．
②若E为直线AC上的一个动点（E不与A重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）
【答案】（1）解：，，，
，
，
，
平分，
，
.
（2）解：①当时，，
设，
，
，，
，
，，
，
BG、AH分别平分和，
，
，
，
.
②或.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2)②如图3，当点E在点A右边时，
设，
，
，，，
，，
，
BG、AH分别平分和，
，
，
，
；
如图4，当点E在点A左边时，
设，
，
，，，
，
BG、AH分别平分和，
，
，
，
，
综上所述，或.
故答案为：或.
【分析】(1)利用平行线的性质可得，再通过角平分线的定义得到，接着由三角形的内角和定理计算出的度数．
(2)①设，利用平行线的性质可得，，再通过角平分线的定义可得，然后由三角形的内角和定理可得，故.
②当点E在点A右边时，利用平行线的性质可得，，再通过角平分线的定义可得，然后由三角形的内角和定理可得；当点E在点A左边时，利用平行线的性质可得，，再通过三角形的外角性质证得.
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