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北师大版八年级数学上册 第一章《勾股定理》单元测试卷
（测试时间：100分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．
他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在中，斜边，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，，则正方形的面积为（ ）
A．81 B．144 C．225 D．169
如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈（一丈＝10尺），折断后，其竹稍恰好抵地（地面水平），
抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．8尺 B．尺 C．尺 D．2尺
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，
顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，
那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．
如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．
若AB=3，AD=4，则ED的长为 （ ）

A． B．3 C．1 D．
9. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，
记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．
若S1+S2+S3=60，则S2的值是（　 　）
A．15 B．20 C．25 D．30
勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，
下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案．
11．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形．
若，，则 ．
12. 直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为 ．
13．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东 °
如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，
正放置的四个正方形的面积分别是，则 ．
如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．
若，则的周长是 ．
16 ．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，
已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ．
如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．
若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
18.分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，
若设，，，则，，之间的关系为 _______
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，
遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．
问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，
将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，
秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长 ”即如图，尺，尺，尺，
求的长．
学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．
小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），
小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，
小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
(1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）；
(2)请你求出旗杆的高度．
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，
将折叠，使点B与点A重合，折痕为．
(1)求的周长．
(2)求的长．
23.如图，已知和中，，，，
点C在线段BE上，连接DC交AE于点O．
（1）DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论；
（2）若，，求DE的长．
24. 【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，
其中四边形和四边形都是正方形，
巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，
得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
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北师大版八年级数学上册 第一章《勾股定理》单元测试卷解答
（测试时间：100分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，根据勾股定理逆定理分别计算并判断能否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】A.不能构成三角形，故该项不符合题意；
B.，不是直角三角形，故该项不符合题意；
C. ，是直角三角形，故符合题意；
D. ，不是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．
他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2．
∴AB2=32+42= 25 ， AB=5．
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2米=4步，
故选：D．
3．在中，斜边，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算即可．
【详解】的斜边是，
，
，
故选：D．
4．在中，，，，则正方形的面积为（ ）
A．81 B．144 C．225 D．169
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键．
【详解】解：因为，所以正方形的面积为，
故选C．
如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈（一丈＝10尺），折断后，其竹稍恰好抵地（地面水平），
抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．8尺 B．尺 C．尺 D．2尺
【答案】C
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2．
解得
∴折断处离地面的高度为尺．
故选：C．
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，
顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，
那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
【答案】C
【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．
如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即绳索的长是，
故：A．
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．
若AB=3，AD=4，则ED的长为 （ ）

A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
9. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，
记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．
若S1+S2+S3=60，则S2的值是（　 　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m＋S ，S ＝S 4m，依据S ＋S ＋S ＝60，可得4m＋S ＋S ＋S 4m＝60，进而得出S 的值．
【详解】设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m＋S ，S ＝S 4m，
因为S ＋S ＋S ＝60，
所以4m＋S ＋S ＋S 4m＝60，
即3S ＝60，
解得S ＝20．
故选B．
勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，
下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：在第一个图中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故第一个图不能说明勾股定理；
在第二个图中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故第二个图可以证明勾股定理；
在第三个图中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故第三个图可以证明勾股定理；
在第四个图中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故第四个图可以证明勾股定理．
∴能证明勾股定理的有3个．
故选：B．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案．
11．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形．
若，，则 ．
【答案】10
【分析】依题意，得，，再根据勾股定理求出即可得到结论．本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，
故答案为：10．
12. 直角三角形的三边长为3，4，m，则的值为 ．
【答案】25或7/7或25
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：当长为的边为斜边时，可有，
当长为的边为直角边时，可有，
综上所述，的值为25或7．
故答案为：25或7．
13．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东 °
【答案】50
【分析】先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解．
【详解】根据题意，如图所示
∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），AB=13海里，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵∠CBA=90°-40°=50°，
∴∠CAB=40°，
∴甲的航向为北偏东50°．
如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，
正放置的四个正方形的面积分别是，则 ．
【答案】12
【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
【详解】解：如图，
∵，，
，
∴，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．
若，则的周长是 ．
【答案】14
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
（负值舍去），
的周长，
故答案为：14．
16 ．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，
已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ．
【答案】100
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理求解即可．
【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，
设彩带长为，
∵易拉罐底面周长是，高是，
，
解得：，
所以彩带最短是，
故答案为：100．
如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．
若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
【答案】25
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去
故答案为：
18.分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，
若设，，，则，，之间的关系为 _______
【答案】
【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J，
中，，
，
四边形、四边形、四边形均为正方形，
，
正方形与同底等高，
，
，
正方形与同底等高，
，
，
，
，
故答案为：
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，
遇到障碍后又往西走2 km，再折回向北走到4.5 km处往东一拐，仅走0.5 km就找到宝藏．
问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？
【答案】登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
【分析】过点B作BC⊥AD于点C,根据题意可得AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),然后根据勾股定理可得AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,继而求出AB.
【详解】解：如图,过点B作BC⊥AD于点C,
则AC＝4－2＋0.5＝2.5(km),BC＝4.5＋1.5＝6(km),
在Rt△ABC中,由勾股定理,得:
AB2＝AC2＋BC2＝2.52＋62＝6.52,
∴AB＝6.5(km)．
答:登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5 km.
程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：
“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，
将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，
秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长 ”即如图，尺，尺，尺，
求的长．
【答案】尺
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得，解方程求出的值即可．
【详解】解：设尺，
根据题意知，尺，
尺.
尺，
尺，
，
，即
解得尺.
答：绳索长为尺．
学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．
小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），
小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，
小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．
(1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）；
(2)请你求出旗杆的高度．
【答案】(1)；
(2)米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）根据题意可得，，将代入即可得解；
（2）结合（1）再根据，，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
设长为x米，则绳子长为米，的长度为米，
故答案为：；；
（2）解：在中，米，
米，米，
由勾股定理可得，，
解得：．
答：旗杆的高度为米．
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，
将折叠，使点B与点A重合，折痕为．
(1)求的周长．
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由翻折易得，则的周长；
（2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长．
本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为，
∴，
则的周长；
（2）解：由题意得；
设，则，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得；
即．
23.如图，已知和中，，，，
点C在线段BE上，连接DC交AE于点O．
（1）DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1），见解析；（2）
【分析】（1）易证，再根据全等性质即可求得；
（2）由BC和CE可得BE，再由全等的，再根据勾股定理即可求得；
【详解】（1）．
证明：
．
在和中，
．
（2）
，
．
．
24. 【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，
其中四边形和四边形都是正方形，
巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，
得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 （4）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题；
（2）依据题意,通过证明即可判断得解；
（3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解；
（4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解.
【详解】(1)证明：由图可知，
，，
正方形边长为，
，
即．
故答案为：，；
（2）证明: ∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
又, ,
∴.
∴；
(3)证明： 由题意，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为,
，
设则，
在中,
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
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