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浙教版2024—2025学年八年级下学期数学期末考试热身卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
注意事项:
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
5．为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数，
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
10 9 9 10 7 8
其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　）
A．a﹣b B．a C．﹣a D．b﹣a
7．玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，她应先假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角大于等于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
8．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
AD＝BC B．AB∥DC
C．AB＝DC D．∠A＝∠C
9．小明计算一组数据的方差时，列出的算式：．根据算式信息，下列判断错误的是（　　）
A．平均数是8 B．中位数是8 C．众数是8 D．方差是
10．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．x1＝4，x2＝3
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个根是1，则m+n＝　 　 ．
12．如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是 　 　 ．
13．已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为5，则a＝　 　 ．
14．已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是 　 　 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　 ．
16．已知关于x的一元二次方程ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0（a＞0），设方程的两个实数根x1，x2，其中x1＞x2，则x2＝ 　 　 ，若，b为常数，则b的值为 　 　 ．
浙教版2024—2025学年八年级下学期数学期末考试热身卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、_____、_____
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2；（2）解方程：（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
18．（1）计算：；（2）计算：．
19．已知关于x的方程x2﹣（m+5）x+3m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）若方程有一个实数根是5，求方程的另一个根．
20．某校为了了解初三学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初三学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，体育锻炼天数的众数为 　 　天，中位数为 　 　天．
（2）请补全条形统计图．
（3）如果该校初三有1600名学生，请你估计初三约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天．
21．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积．
22．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
23．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
24．如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC为钝角，BE，BF分别为边AD，CD上的高，交边AD，CD于点E，F，连结EF，BF＝EF．
（1）求证：∠EBF＝∠C；
（2）求证：CF＝DF；
（3）如图2，若∠DBC＝45°，以点B为原点建立平面直角坐标系，点C坐标为，点P为直线CE上一动点，当S△BCP＝S△BDE时，求出此时点P的坐标．
25．如图，已知直线y＝2x分别与双曲线y，y（x＞0）交于P、Q两点，且OP＝2OQ，点A是双曲线y上的动点，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y（x＞0）于点B、C．连接BC．
（1）求k的值；
（2）随着点A的运动，△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若改变，请说明理由．
（3）直线y＝2x上是否存在点D，使得点A、B、C、D为顶点的四边平行四边形？若能，求出相应点A的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—10：CBDAB ACCBC
二、填空题
11．【解答】解：把x＝1代入原方程可得：
1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：由实数a在数轴上的对应点位置可知1＜a＜2，
∴2﹣a．
故答案为：2﹣a．
13．【解答】解：∵一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为5，
∴，
解得a＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，即的解为x1＝2，x2＝5；
令x+3＝y，
∴关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k化为m（y﹣h）2＝k，
∵的解为x1＝2，x2＝5，
∴的解为y1＝2，y2＝5，即x+3＝2或x+3＝5，
∴x3＝﹣1，x4＝2，
∴关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是x3＝﹣1，x4＝2，
故答案为：x3＝﹣1，x4＝2．
15．【解答】解：取AB的中点F，连接NF，MF，
∵∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是AD的中点，
∴MF是△ABD的中位线，
∴，MF∥BD，
∴∠AFM＝∠CBA，
∵NF是△ABE的中位线，
∴，NF∥AE，
∴∠BFN＝∠BAC，
∴∠BFN+∠AFM＝∠BAC+∠CBA＝90°，
∴∠MFN＝90°，
∴MN2＝MF2+NF2，
∴MN2＝32+22＝13，
∴．
故答案为：．
16．【解答】解：ax2+（3a﹣2）x+2（a﹣2）＝0，
方程可变为：（ax+a﹣2）（x+2）＝0，
∴ax+a﹣2＝0或x+2＝0，
解得：，x＝﹣2，
∵a＞0，
∴，
∵x1＞x2，
∴，x2＝﹣2；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：﹣2；16．
三、解答题
17．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1．
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
（3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
则7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
18．【解答】解：（1）原式＝263
；
（2）原式＝（2）2
＝2﹣22
＝2．
19．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×3m
＝m2+10m+25﹣12m
＝m2﹣2m+25
＝（m﹣1）2+24，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论m取何值，此方程一定有实数根；
（2）解：∵方程一个根为5，
∴25﹣5（m+5）+3m＝0，
∴m＝0，
∴方程为x2﹣5x＝0，
∴x1＝0，x2＝5，
∴另一个根为0．
20．【解答】解：（1）调查的总人数为240÷40%＝600（人），
体育锻炼为8天的有：600﹣240﹣120﹣150﹣30＝60（人），
参加体育锻炼为5天的人数最多，所以众数是5，
600人中，按照参加体育锻炼的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，所以中位数是6；
故答案为：5，6；
（2）补全的条形统计图如图所示：
（3）1600640（名），
21．【解答】（1）证明：∵AD＝AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，6
∴BE＝CE＝3，
∴AE，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH，
∴．
22．【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x1，x2（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商场获利4250元．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE，BF分别为边AD，CD上的高，
∴AD⊥BE，∠BFC＝90°，
∴BE⊥BC，
∴∠EBC＝90°＝∠BFC，
∴∠EBF+∠CBF＝90°＝∠C+∠CBF，
∴∠EBF＝∠C；
（2）证明：如图2，延长EF，BC交于点H，
∵BF＝EF，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠EBC＝90°，
∴∠FBH＝∠FHB，
∴BF＝FH，
∴EF＝FH，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，
在△EDF和△HCF中，
，
∴△EDF≌△HCF（AAS），
∴DF＝CF；
（3）解：分两种情况：
①如图3，点P在x轴的上方，过点P作PG⊥x轴于G，
∵点C坐标为，
∴BC，
∵BF⊥CD，DF＝CF，
∴BD＝BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝1，
∴S△BED1×1，
∵S△BCP＝S△BDE，
∴ PG，
∴PG，
∵E（0，1），C（，0），
设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CE的解析式为：yx+1，
当y时，x+1，
∴x1，
∴点P的坐标为（1，）；
如图4，P在x轴的下方，过点P作PG⊥x轴于G，
由①可知：PG，直线CE的解析式为：yx+1，
当y时，x+1，
∴x1，
∴点P的坐标为（1，）；
综上，点P的坐标为（1，）或（1，）．
25．【解答】解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立，
解得：或．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF＝2，PF＝4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∵OP＝2OQ，
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．
∴OE＝1，EQ＝2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y上，
∴k＝1×2＝2．
∴k的值为2；
（2）如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y上，
∴b．
∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴xC＝xA＝a，yB＝yA＝b．
∵点B、C在双曲线y上，
∴xB，yC．
∴点B的坐标为（，），点C的坐标为（a，）．
∴AB＝aa，AC．
∴S△ABCAB AC
．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．
（3）①AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB．
∴yD＝2xD．
∴DB．
∵AC，
∴．
解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b．
∴点A的坐标为（2，）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB．
∴yD＝2xD．
∴DB．
∵AC，
∴，
解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a＝2．
∴b4．
∴点A的坐标为（2，4）；
②AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴yD＝yC．
∴xD．
∴CDa．
∵AB＝a，
∴a．
解得：a＝±．
经检验：a＝±是该方程的解．
∵a＞0，
∴a．
∴b4．
∴点A的坐标为（，4）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2，）或（2，4）或（，4）．
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