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2025杭州二中6月统测
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和分位数分别为（ ）
A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4
4．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
6．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：，）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．已知函数的对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，，满足：与的夹角为锐角，，，，且，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
10．如图是一个棱长为1的正方体的展开图，其中M，N分别为CH，DB的中点．如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（ ）

A．直线AB与CD所成角为
B．直线EF与GH平行
C．经过DEMN四个点的球的表面积为
D．P是正方形GKHI内的动点，若|AP|=，那么P点的轨迹长为
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为2π
B．在区间上是增函数
C．若，则
D．函数在区间上有且仅有2个零点
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12．在复数范围内，的所有平方根为 ．
13．某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为 ．
14．在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，是平面内一对不共线的向量，且，，．
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，求的值．
16．（15分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率.
17．（15分）已知分别为三个内角的对边，且.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
18．（17分）如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2.
（1）若平面.
（ⅰ）求异面直线PA与CF所成角的大小；
（ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围.
（2）在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值.
19．（17分）已知函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正实数，满足．
（i）求在上的最小值；
（ii）证明：．杭州二中高一数学6月统测参考答案
CBDDBCCD
BD ACD ACD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．已知，是平面内一对不共线的向量，且，，．
(1)若与共线，求实数的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，，依题意存在唯一的实数，使得，即可得到方程组，解得即可；
（2）用作为基底，根据向量相等，得到方程组，解得即可；
【详解】（1）解：因为，，
所以，.
因为与共线，所以存在唯一的实数，使得，
，即，解得.
（2）解：因为，，，且，
所以，
所以，解得，，
所以.
16．某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率.
【答案】(1)，6.92小时
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，再根据频率分布直方图平均数的计算公式求平均数即可；
（2）利用分层抽样的定义求出各组的人数，然后利用列举法求概率即可.
【详解】（1）依题意可得，解得，
又由频率分布直方图可得，
所以估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.
（2）由频率分布直方图可知和三组的频率的比为，
所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为
记中的3人为中的2人为中的2人为，
从这6人中随机选出2人，
则样本空间共15个样本点，
设事件选出的2人都来自，则共3个样本点，
所以.
17．已知分别为三个内角的对边，且.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合正弦定理，即可得证；
（2）由（1）和余弦定理，化简得，再由正弦定理，得到，得到，求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
可得，由正弦定理得，即.
（2）解：由余弦定理得，因为，所以，
可得，所以由正弦定理可得
，
，
即，
即，故，
又因为，所以，即，
所以，
当且仅当时，“=”成立，故的最小值为.
18．如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2.
(1)若平面.
（ⅰ）求异面直线PA与CF所成角的大小；
（ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围.
(2)在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值.
【答案】(1)（ⅰ）90°；（ⅱ）
(2).
【分析】（1）（ⅰ）先由等条件得出的值，再利用三角形全等得到，接着因为平面，结合线面垂直性质与判定，证明.
（ⅱ）解法一，先找外接球球心在上，用勾股定理求半径，再求，进而得最值与范围.
解法二，建立空间直角坐标系，写出点坐标，根据外接球性质求球心坐标与半径，最后求得出范围.
（2）解法一：先作辅助线找二面角平面角，因，为在平面射影且是中点，.，最小则最小，最大时最小，为中点时最大，进而得二面角最小值.
解法二：取中点建系，求各点及向量坐标.再分别求平面和法向量、.用向量夹角公式求，根据取值求最大值，从而得二面角最小值.
【详解】（1）（ⅰ）如图，设与交于点，
由题可得，，
则，
所以，又，所以为正三角形，
所以，又，，
故，所以，故.
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，所以，
即异面直线PA与CF所成角的大小为90°.
（ⅱ）解法一：由（ⅰ），由题可得，
为直角三角形，且平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上，
设球的半径为，则，
如图，连接，在中，，即，
得.
连接，，因为，，
所以，
所以的最小值为，的最大值为，
故的取值范围为.
解法二：
以为坐标原点，点所在直线为轴，平面内过且与轴垂直的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设球心，连接，，，，因为，
所以
，
解得，，故，所以球的半径.
（另解：可以通过得到）
连接，因为，所以，
所以的最小值为，的最大值为，
故的取值范围为.
（2）解法一 如图，过点作平行于的直线，则该直线为平面与平面的交线.
设点在平面内的射影为，过点作平行于的直线分别交，于点，连接，则为二面角的平面角.
因为，所以，为的中点，，
连接，则，
.
若最小，则最小，即最小，
所以当取最大值时，二面角取得最小值.
易知当点为的中点时，取得最大值，且最大值为3，
因此的最小值为，即的最小值为，
所以二面角的最小值为.
解法二：取的中点，连接，，则，，，
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.设，则，
所以，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，故为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，故为平面的一个法向量.
易知此时与的夹角即二面角的平面角.（取，则，此时与的夹角为二面角的平面角的补角）
设二面角的大小为，
则，
所以当时，取得最大值，此时取得最小值，故二面角的最小值为.
19．（17分）已知函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正实数，满足．
（i）求在上的最小值；
（ii）证明：．
【详解】（1）因为，所以，解得．
（2）因为
当时，在上递增，
当时，在上递增，在上递增．
因此，当时不存在两个不相等的正实数满足．
当时，在上递增，在上递减，在上递增，
所以，存在两个不相等的正实数，满足．因此．
（i）当时，的最小值为；
当时，的最小值为．
（ii）不妨设，
当时，即，
得，所以，；
当时，即，
所以，，
又因为，即，所以，得．
所以．

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