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2024学年第二学期5月四校联考
高一数学试卷
考生须知：
1.本试卷满分150分，考试用时120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
3.所有答案必须答在答题纸上，写在试卷上无效。
第一卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足z·(1+i)=1-i, 则|z|=( ▲)
A. 1 B. 2 D.
2.下列说法正确的是(▲)
A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D.棱台的侧棱都相等
3.设m，n是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( ▲ )
A. 若m//n, n α, 则m//α B. 若m⊥α, m//β, 则α⊥β
C. 若m//α, m//β, 则α//β D. 若α//β, m α, n β, 则m//n
4. 已知 则||的范围为( ▲ )
A.[1, +∞) B.[0, 2] C.[2, +∞) D.[1, 2]
5.已知函数 若 则实数x的取值范围为( ▲ )
A. (-4,1) B. (-∞,-4)∪(1,+∞) D. (-1,3)
6. 在△ABC中, 角A, B,C所对的边分别为a, b, c, a·cosB=3b·cosA, 则A-B的最大值为( ▲ )
A. π/6 B. π/4 C. π/3
7.在直三棱柱 中, 点 M, N, P满足: 则下列说法正确的是 (▲)
A.三棱锥 B -MNP 体积为定值
B.三棱锥A -MNP 体积为定值
C.当λ=1时，三棱柱被截面 MNP 分成的上下两部分体积相等
D.当λ=3时，三棱柱被截面 MNP 分成的上下两部分体积相等
8. 三棱锥O-ABC中. 设∠AOB=α, ∠BOC=β, ∠AOC=γ, 二面角A-OC-B的平面角大小为x，则一定成立的是 (▲ )
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有( )
A. a=0.0022
B.本组样本的众数为250
C.本组样本的第45百分位数是300
D. 用电量落在区间[150,550)内的户数为82
10. 抽样调查得到10个样本数据, 记作x ,x ,…,x , 计算得平均数x=7, 方差 现去掉一个最大值10，和一个最小值4后，对新数据下列说法正确的是 ( ▲)
A.极差变大 B.中位数不变 C.方差变大 D.平均数不变
11.勒洛四面体是德国机械学家勒洛 (1829~1905)首先研究发现的，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是 ( )
A.勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是
B.勒洛四面体ABCD内切球的半径是
C.勒洛四面体的截面面积的最大值为
D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知一个圆锥的高为2，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ▲ .
13. 三棱锥A-BCD 中, AB=4, BC=BD=3, AC=AD=5, ∠CBD=60°, 则三棱锥A-BCD 外接球的表面积为 ▲ .
14. △ABC满足 则 的取值范围为__________ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量 满足
(1) 求 最小值
(2) 若 ，求向量b的坐标表示
16. (15分)已知函数
(1) 若f(α)=0, 求tanα的值;
(2) 若 求函数 f(x)的值域.
17. (15分)已知三角形ABC 中, AB=2, AC=4, ∠A=120° , AH为BC边上的高, AD为BC边上的中线, AE为∠A的平分线, (H, D, E为BC边上的点) .
(1) 求AE 的长;
(2) 若 求λ, μ的值;
18. (17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD, 底面ABCD为矩形PA=PB, O为AB的中点, OD⊥PC.
(1) 求证: OC⊥PD;
(2) 若PD上存在点M, 使得OM//平面PBC, 求 的值
(3)若PD与平面PBC所成角的正弦值为 求四棱锥的P-ABCD的体积.
19.(17分)已知正三棱台 , 点 D, E, F分别在A A, B B, AC上, 且
(1)求过点 D、E、F的平面截正三棱台 的截面周长；
(2)求直线 DE与平面 所成的角的正弦值；
(3)求二面角 E-DF-A平面角的余弦值.2024学年第二学期5月四校联考
高一数学试卷参考答案
一. 单选题 ACBD, BABA
二. 多选题 9ACD, 10BD, 11CD
三. 填空题 12, 4 π, 13, 28π, 14, [2,
四.解答题
15.(13分)已知向量=(1, 2), 满足
(1) 求|b|最小值
(2) 若 ，求向量的坐标表示
解: (1) 法一: …………………3
………………………………………………………5
即 最小值= …………………………………………7
法二：设 由 可得x+2y=5…………………………3
……………………5
故 最小值 ………………………………………………………………7
(2) 设 由 可得x+2y=5
可得
即 ……………………………………………………9
解得：(每解2分)
16. (15分)已知函数
(1)若f(α)=0,求tanα的值;
(2) 若 求函数f(x)的值域.
解 ……………………2
(其中 ……………………………………4
可得 ……………………7
(也可由：)
tanα= tan(kπ-φ)=-tanφ=-3
(其中
又 ………………………………9
…………………………………………11
…………………………………………13
即 ……………………………………………………15
17. (15分)已知三角形ABC中, AB=2, AC=4, ∠A=120°, AH为BC边上的高, AD为BC边上的中线, AE为∠A的平分线,(H, D,E为BC边上的点).
(1) 求AE的长;
(2) 若 求λ, μ的值;
解(1)：由角平分线性质得： ………………4分
……………………6分
……………………7分
……………………9分
…………11分
又因为H，D，E三点共线，则λ+μ=1② …………13分
由①②可得： - …………15分
18. (17分)如图,在四棱锥P-ABCD中, 侧面PAB⊥底面ABCD, 底面ABCD为矩形,PA=PB, O为AB的中点, OD⊥PC.
(1) 求证: OC⊥PD;
(2) 若PD上存在点M, 使得OM//平面PBC, 求 的值
(3)若PD与平面PBC 所成角的正弦值为 求四棱锥的P-ABCD的体积.
(1) 证明: 连接OP, ∵PA=PB
∴PO⊥AB
又 ∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PO⊥平面ABCD--------------------1
∴PO⊥OD
又∵OD⊥PC
∴OD⊥平面POC
∴OD⊥OC----------------------2
又PO⊥平面ABCD, 则PO⊥OC-…………3
所以OC⊥平面POD---------------4
∴OC⊥PD----------------------5
(2) 分别取PD, CD中点为M, N, 连OM, ON, MN
∵MN//平行 PC, MN 平面 PBC,
∴MN//平面 PBC-----------------------------7
又∵ON//BC, ON 平面PBC
∴ON//平面 PBC ------------------------------9
∴平面 OMN//平面 PBC
∴OM//平面 PBC
此时 ------10
(3) 由(1) 可知OD⊥OC, 所以ABCD 为正方形,
-………………………………11
设 PO=h, 则
记点到面的距离为h点-面
设 PD 与平面 PBC 成θ角,
J
整理得：
解得: h =1 或, 即 PO=1 或
所以： 或 -17
19.(17分)已知正三棱台 , 点 D, E, F分别在A A, B B, AC上, 且 B E=2EB, AF=3FC, AB=4A B =4, A A=3
(1) 求过点 D、E、F的平面截正三棱台ABC-A B C 的截面周长;
(2)求直线 DE 与平面ACC A 所成的角的正弦值；
(3)求二面角E-DF-A平面角的余弦值.
解: (1) 延长AB, DE交于点 M, 连接FM 交BC 于 N, 连接EN则截面为 DENF--------------------------1
过D作DP//B B, 可知P为AB中点
∴EB=2DP
则 BN=BP=2
过F作 FQ//BC, 则 FQ=3
所以N是BC中点--------------------------------2
在△ADF中, AD=2, AF=3, ∠DAF=60° , 则( -----------3
在△CFN 中, CF=1, CN=2, ∠NCF=60° , 则 --4
在△BEN中, BE=1, BN=2, ∠NBF=60° , 则 -5
在等腰梯形ABB A 中，可求得| ---------------6
所以截面 DENF 周长
(2)延长侧棱交于点S，则三棱锥S-ABC为正四面体
又
设 DE 与平面SAC 成θ角
则
(3) 由(1)(2)可知D, N分别是正四面体棱SA, BC的中点,可得
又∵筝形DENF 中,
在△DEF中, E到DF的距离 -…………………………14
由(2) 得: E到面 SAC的距离 …………………………15
设二面角 E-DF-A为α, 则
所以 …………………………………………17

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