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儋州市第三中学2025届高三年级仿真考试（一）
数学科
本试卷共4页，19小题，考试时间：120分，试卷满分：150分；
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知，，那么集合（ ）
A．， B． C． D．
2．设复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，将函数图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．周期为 B．函数在上单调递减
C．函数图象的一条对称轴是直线 D．函数是偶函数
5．如图，已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线与E交于点M，N两点，垂直平分，若，则的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
6．若都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．一组数据，，…，的平均数为6，方差为1，则关于新数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均数为6 B．这组新数据的平均数为9
C．这组新数据的方差为1 D．这组新数据的方差为4
10．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ）
A． B．1 C．8 D．18
11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（ ）
A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知幂函数的图象关于原点对称，则 ．
13．抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 .
14．已知函数.
①在上单调递减，在上单调递增；
②在上仅有一个零点；
③若关于的方程有两个实数解，则；
④在上有最大值，无最小值.
上述说法正确的是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设数列的前项和为.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求数列的最大项.
16．已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
17．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立.
(1)当时，求；
(2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；
(3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望.
18．已知双曲线的焦距为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
19．如图，在三棱台中，平面平面，，，.
(1)证明：；
(2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.儋州市第三中学2025届高三年级仿真考试（一）数学科·答题卡
数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）
A
C
BI
A
C
B儋州市第三中学2025届高三年级仿真考试（一）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D D C B A D D BD BC ACD
1．D
联立，解得，则.
2．D
由可得，则.
3．D
设该圆锥外接球的半径为R，则，解得R=，故该圆锥外接球的表面积S=4πR2=.
4．C
将函数的图象向右平移个单位可得：，
再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得，显然D错误；
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A错误；
当时，；
当时，，显然函数在上不是单调递减，故B错误；
当时，，所以函数图象的一条对称轴是直线，故C正确；
5．B
因为垂直平分，所以，，且平分，
所以，所以.
由椭圆的定义知，在中，，
所以，解得.由椭圆的定义得，
在中，由余弦定理得，
即，化简得，所以.
6．A
，由，则又，，又因为，所以，由,所以
那么 ，
7．D
如图所示，作出函数的图象，
易知，
先求与相切时的值，
设切点为，则切线方程为，
将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以，
所以当时，与有两个交点；
当时，与有一个交点，
当时，与没有交点.
易知两函数图象均关于对称，可联立
得，，则，
此时切点横坐标为，
当过点时，，
所以当时，与有两个交点；
当时，与没有交点；
当时，与有三个交点.
综上，若与有四个交点，
则，
8．D
有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；
对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；
9．BD
由题意得：， ，则，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.
10．BC
取线段的中点为，连接，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图：
则，，，
由图易知，
可得，，
，易知.
11．ACD
先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为.
过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心，
设圆P与的切点分别为，
则，
则，解之得
则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合，
则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，
同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.
则直线的方程为，
双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上.
则选项A判断正确；选项B判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：由直线的方程为，可得.判断正确.
12．0
由于函数是幂函数，所以，解得或，
当时，，是奇函数，图像关于原点对称；
当时，，是偶函数，图象不关于原点对称，所以的值为0．
13．
抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为，准线方程为.
14．②④
函数的导数，令得，，
由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，故①错误，
由①知当时，函数取得极大值，
当时，恒成立，当时，恒成立，
即在上仅有一个零点，故②正确，
由②知若关于的方程有两个实数解，则，故③错误，
由①②知在上有最大值，无最小值，故④正确，
故答案为：②④
15解（1）①，②，
②-①，，
故，
而在①中令，又，
，，
是首项为1，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，，
则，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列.
所以，解得
由，
解得，单调递增；当，单调递减；
所以，
所以数列的最大项为
16．解（1）由题知：，其定义域为，.
当时，则，在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）要证，即证.
由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
，.
令，，
∴在上单调递增，
∴当时，，即，
∴，即，
∴原不等式成立.
17．解（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为，则，
又，所以.
（2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率，
由（1）知，则，
则，
整理得，
因为， ，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为.
（3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率，
由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束，
所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，
当时，，当时，，
当时，，
所以的分布列为：
3 4 5
数学期望为：.
18．解（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离，
由消去得，解得，，
则，所以的面积.
19．解（1）在三棱台中，取的中点，连接，
由，得，由平面平面，平面平面，
平面，得平面，而平面，则，
又，则四边形是菱形，，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）取中点，则，由平面平面，平面平面，
平面，则平面，直线两两垂直，
以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
，当且仅当，即时取等号，
所以三棱台的体积
.
答案第1页，共2页

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