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综合·融通　振动与波动的综合应用
　　通过本专题的学习进一步理解波的图像问题;通过对比振动图像和波的图像的区别与联系,使学生进一步深刻地认识到两种图像不同的物理意义,培养学生的分析能力;理解波的多解性,会分析波的综合问题。
　　　　　　　　　　　　　　　　
主题(一)　振动图像和波的图像的综合问题
[知能融会通]
1.振动图像与波的图像的比较
特点 振动图像 波的图像
相 同 点 图线形状 正(余)弦曲线 正(余)弦曲线
纵坐标y 不同时刻某一质点的位移 某一时刻介质中所有质点的位移
纵坐标 最大值 振幅 振幅
不 同 点 描述对象 某一个振动质点 一群质点(x轴上各个点)
物理意义 振动位移y随时间t的变化关系 x轴上所有质点在某一时刻振动的位移y
横坐标 表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x
横轴上相邻两个步调总一致的点之间的距离的含义 表示周期T 表示波长λ
其 他 频率和 周期 在图中直接识读周期T 已知波速v时,根据图中λ可求出T=
两者联系 ①质点的振动是形成波动的基本要素之一 ②波动由许多质点振动所组成,但在图像上波形变化无法直接看出 ③若已知波的传播方向和某时刻的波形图,则可以讨论波动中各质点的振动情况
2.求解波的图像与振动图像综合问题的三关键:“一分、一看、二找”
　　[典例]　(2025·江苏宿迁阶段练习)图甲为一列简谐横波在t=0时刻的波形图,图乙为质点P的振动图像,Q是平衡位置在x=4.0 m处的质点,下列说法正确的是 (　　)
A.t=0时刻,质点Q沿y轴正方向振动
B.这列波的波速为 m/s
C.质点Q的振动方程为y=20sincm
D.从t=0到t=11 s,质点Q通过的路程为60 cm
听课记录:
[思维建模]
　　解决y-t图像和y-x图像综合问题,首先要明确两点:一是y-t图像描述的是哪个质点的振动;二是y-x图像是哪一时刻的图像。然后根据y-t图像确定这一时刻该点的位移和振动方向,最后根据y-x 图像确定波的传播方向。
[题点全练清]
1.(多选)一列简谐横波沿x轴传播,平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示,当t=1 s时,简谐波的波动图像可能正确的是 (　　)
2.一列简谐横波在t=0.8 s时的波形图如图甲所示,P是介质中的质点,图乙是质点P的振动图像。已知该波在该介质中的传播速度为10 m/s,则 (　　)
A.该波沿x轴正方向传播
B.再经过0.9 s,质点P通过的路程为30 cm
C.t=0时刻质点P离开平衡位置的位移为-5 cm
D.质点P的平衡位置坐标为x=7 m
　　　　　　　主题(二)　波传播的周期性和多解问题　　
[知能融会通]
1.波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播,就要讨论两个方向的可能性。
2.波的周期性形成多解
(1)时间周期性:相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全重合,时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(2)空间周期性:将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍距离,平移后的波形与原波形完全重合,若题中没有给定传播距离与波长的确切关系,则会引起答案的不确定性。
　　[典例]　(2025·湖北宜昌阶段练习)如图所示,实线是t=0时刻的波形图,虚线是t=1 s时的波形图。
(1)若波向左传播,求它在1 s内传播的最小距离;
(2)若波向右传播,求它的周期;
(3)若波速是35 m/s,求波的传播方向。
尝试解答:
[思维建模]
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性:如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示,应首先对波传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向,首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系,一般先确定最简单的情况,即一个周期内(或一个波长内)的情况,然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件,如有的题目限制波的传播方向,或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑,加强多解意识,认真分析题意。
[题点全练清]
1.(多选)一列简谐横波沿直线传播,在波的传播方向上有A、B两点。在t时刻A、B两点间形成如图甲所示波形,在(t+3 s)时刻A、B两点间形成如图乙所示波形。已知A、B两点平衡位置间的距离a=9 m。则下列说法正确的是 (　　)
A.若周期为4 s,波一定向右传播
B.若周期大于4 s,波可能向右传播
C.若波速为8.5 m/s,波一定向左传播
D.该波波速可能的最小值为0.5 m/s
2.(2025·江苏徐州阶段练习)一列简谐横波在某介质中传播,在t=0时刻的波形图如图中实线所示,从此刻起,经0.1 s波形图如图中虚线所示,求:
(1)波速的表达式;
(2)若波传播的速度为210 m/s,该波的传播方向;
(3)若波传播的速度为210 m/s,x=2 m处质点的简谐运动方程。
综合·融通　振动与波动的综合应用
主题(一)
[典例]　选B　根据题图乙可知，t＝0时刻质点P沿y轴正方向振动，根据同侧法结合题图甲可知，波沿x轴负方向传播，在题图甲中，根据同侧法可知，t＝0时刻，质点Q沿y轴负方向振动，故A错误；一个完整的简谐运动的方程为y＝Asin，若位移为振幅的一半，则该方程对应的最短时间为，根据题图乙有－＝5 s，解得T＝12 s，则这列波的波速为v＝＝ m/s＝ m/s，故B正确；根据上述分析，t＝0时刻，质点Q位于平衡位置沿y轴负方向振动，则质点Q的振动方程为y＝－Asin＝－20sincm＝20sincm，故C错误；由于t＝11 s＝T＋T，可知，从t＝0到t＝11 s，质点Q通过的路程满足60 cm＝3A[题点全练清]
1．选AC　由原点处的质点的振动图像可知，周期为T＝0.12 s，则原点处的质点的振动方程为y＝Asint＝10sint(cm)，在t＝1 s时刻y1＝10sincm＝5 cm≈8.66 cm，由于1 s＝8T＋，则在t＝1 s时刻质点沿y轴负方向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如A选项图所示；若波向左传播，则波形如C选项图所示。故选A、C。
2．选D　由题图乙可知，t＝0.8 s时质点P振动方向向下，根据上下坡法，波沿x轴负方向传播，A错误；质点P未处于平衡位置或波峰、波谷处，再经过t＝0.9 s＝ T，质点P通过的路程s≠3A＝30 cm，B错误；由题图乙可知，t＝0时刻质点P位于平衡位置，C错误；根据简谐运动的表达式y＝Asint＝10sint(cm)，将x＝0、y＝5 cm代入解得t1＝0.1 s，即x＝0处的质点从平衡位置到y＝5 cm经历的时间为0.1 s，故P点振动形式传播到x＝0处的时间为t′＝t－t1＝0.7 s，质点P的平衡位置坐标为x＝vt′＝7 m，故D正确。
主题(二)
[典例]　解析：(1)由题图可知λ＝4 m
若波向左传播，传播距离最小值Δx＝λ＝3 m。
(2)若波向右传播，传播距离Δx＝nλ＋λ
所用时间Δt＝nT＋＝1 s
解得T＝ s(n＝0,1,2,3，…)。
(3)若波速是35 m/s，波在1 s内传播的距离
Δx′＝35 m＝8λ＋λ
所以波向左传播。
答案：(1)3 m　 (2) s(n＝0,1,2,3，…)　(3)向左
[题点全练清]
1．选ACD　若波向右传播，有3 s＝T1(n1＝0,1，2，…)，解得T1＝ s(n1＝0,1,2，…)≤4 s，B错误；若波向左传播，有3 s＝T2(n2＝0,1,2，…)，解得T2＝ s(n2＝0，1,2，…)；若周期为4 s，则n1＝1，n2＝0.5，故波向右传播，故A正确。由题图知波长λ＝6 m，若波速v＝8.5 m/s，波在3 s内传播的距离为x＝vt＝8.5×3 m＝25.5 m＝4.25λ，根据波形的平移知波一定向左传播，故C正确；波长一定，周期越大波速越小，由上述可知最大周期Tmax＝12 s，故vmin＝＝ m/s＝0.5 m/s，故D正确。
2．解析：(1)由题图可知该波的波长λ＝4 m
若波沿x轴正方向传播，则Δt＝0.1 s时间内传播的距离Δx＝λ＋kλ(k＝0,1,2，…)
故波速为v＝＝ m/s＝(30＋40k)m/s(k＝0,1,2，…)
若波沿x轴负方向传播，则Δt＝0.1 s时间内传播的距离Δx＝λ＋kλ(k＝0,1,2，…)
解得v＝＝ m/s＝(10＋40k)m/s(k＝0,1,2，…)。
(2)根据上述分析可知，若波沿x轴正方向传播，则有
(30＋40k)m/s＝210 m/s
解得k＝4.5(不符题意)
若波沿x轴负方向传播，则有(10＋40k)m/s＝210 m/s
解得k＝5，故该波沿x轴负方向传播。
(3)若波速为210 m/s，则波沿x轴负方向传播，t＝0时，x＝2 m的质点在平衡位置，位移为0，且速度向下，故初相位φ＝π
其周期T＝＝ s
故有ω＝＝105π rad/s
振幅为A＝0.2 m
所以x＝2 m处质点的简谐运动方程
y＝0.2sin(105πt＋π)m＝－0.2sin(105πt)m。
答案：(1)(30＋40k)m/s(k＝0,1,2，…)或(10＋40k)m/s(k＝0,1,2，…)
(2)沿x轴负方向　(3)y＝－0.2sin(105πt)m
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振动与波动的综合应用
综合 融通
　通过本专题的学习进一步理解波的图像问题；通过对比振动图像和波的图像的区别与联系，使学生进一步深刻地认识到两种图像不同的物理意义，培养学生的分析能力；理解波的多解性，会分析波的综合问题。
主题(一) 振动图像和波的图像的综合问题
主题(二) 波传播的周期性和多解问题
01
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CONTENTS
目录
课时跟踪检测
03
主题(一) 振动图像和波的
图像的综合问题
1.振动图像与波的图像的比较
知能融会通
特点 振动图像 波的图像
相 同 点 图线形状 正(余)弦曲线 正(余)弦曲线
纵坐标y 不同时刻某一质点的位移 某一时刻介质中所有质点的位移
纵坐标 最大值 振幅 振幅
不 同 点 描述对象 某一个振动质点 一群质点(x轴上各个点)
物理意义 振动位移y随时间t的变化关系 x轴上所有质点在某一时刻振动的位移y
横坐标 表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x
横轴上相邻两个步调总一致的点之间的距离的含义 表示周期T 表示波长λ
续表
其 他 频率和 周期 在图中直接识读周期T 已知波速v时，根据图中λ可求出T=
两者联系 ①质点的振动是形成波动的基本要素之一 ②波动由许多质点振动所组成，但在图像上波形变化无法直接看出 ③若已知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况
续表
2.求解波的图像与振动图像综合问题的三关键:“一分、一看、二找”
[典例]　(2025·江苏宿迁阶段练习)图甲为一列简谐横波在t=0时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像，Q是平衡位置在x=4.0 m处的质点，下列说法正确的是 (　　)
A.t=0时刻，质点Q沿y轴正方向振动
B.这列波的波速为 m/s
C.质点Q的振动方程为y=20sincm
D.从t=0到t=11 s，质点Q通过的路程为60 cm
√
[解析]　根据题图乙可知，t=0时刻质点P沿y轴正方向振动，根据同侧法结合题图甲可知，波沿x轴负方向传播，在题图甲中，根据同侧法可知，t=0时刻，质点Q沿y轴负方向振动，故A错误；一个完整的简谐运动的方程为y=Asin，若位移为振幅的一半，则该方程对应的最短时间为，根据题图乙有-=5 s，解得T=12 s，则这列波的波速为v== m/s= m/s，故B正确；
根据上述分析，t=0时刻，质点Q位于平衡位置沿y轴负方向振动，则质点Q的振动方程为y=-Asin=-20sincm=20sincm，故C错误；由于t=11 s=T+T，可知，从t=0到t=11 s，质点Q通过的路程满足60 cm=3A[思维建模]
解决y t图像和y x图像综合问题，首先要明确两点:一是y t图像描述的是哪个质点的振动；二是y x图像是哪一时刻的图像。然后根据y t图像确定这一时刻该点的位移和振动方向，最后根据y x 图像确定波的传播方向。
1.(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示，当t=1 s时，简谐波的波动图像可能正确的是 (　　)
题点全练清
√
√
解析:由原点处的质点的振动图像可知，周期为T=0.12 s，则原点处的质点的振动方程为y=Asint=10sint(cm)，在t=1 s时刻y1=10sincm=5 cm≈8.66 cm，由于1 s=8T+，则在t=1 s时刻质点沿y轴负方向向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形如A选项图所示；若波向左传播，则波形如C选项图所示。故选A、C。
2.一列简谐横波在t=0.8 s时的波形图如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点P的振动图像。已知该波在该介质中的传播速度为 10 m/s，则 (　　)
A.该波沿x轴正方向传播
B.再经过0.9 s，质点P通过的路程为30 cm
C.t=0时刻质点P离开平衡位置的位移为-5 cm
D.质点P的平衡位置坐标为x=7 m
√
解析:由题图乙可知，t=0.8 s时质点P振动方向向下，根据上下坡法，波沿x轴负方向传播，A错误；质点P未处于平衡位置或波峰、波谷处，再经过t=0.9 s= T，质点P通过的路程s≠3A=30 cm，B错误；由题图乙可知，t=0时刻质点P位于平衡位置，C错误；根据简谐运动的表达式y=Asint=10sint(cm)，将x=0、y=5 cm代入解得t1=0.1 s，即x=0处的质点从平衡位置到y=5 cm经历的时间为0.1 s，故P点振动形式传播到x=0处的时间为t'=t-t1=0.7 s，质点P的平衡位置坐标为x=vt'=7 m，故D正确。
主题(二) 波传播的周期性和多解问题
1.波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性。
2.波的周期性形成多解
(1)时间周期性:相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全重合，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
知能融会通
(2)空间周期性:将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离与波长的确切关系，则会引起答案的不确定性。
[典例]　(2025·湖北宜昌阶段练习)如图所示，实线是t=0时刻的波形图，虚线是t=1 s时的波形图。
(1)若波向左传播，求它在1 s内传播的最小距离；
[答案]　3 m　
[解析]　由题图可知λ=4 m
若波向左传播，传播距离最小值Δx=λ=3 m。
(2)若波向右传播，求它的周期；
[答案]　 s(n=0，1，2，3，…)　
[解析]　若波向右传播，传播距离Δx=nλ+λ
所用时间Δt=nT+=1 s
解得T= s(n=0，1，2，3，…)。
(3)若波速是35 m/s，求波的传播方向。
[答案]　向左
[解析]　若波速是35 m/s，波在1 s内传播的距离
Δx'=35 m=8λ+λ
所以波向左传播。
[思维建模]
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性:如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先对波传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。
1.(多选)一列简谐横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点。在t时刻A、B两点间形成如图甲所示波形，在(t+3 s)时刻A、B两点间形成如图乙所示波形。已知A、B两点平衡位置间的距离a=9 m。则下列说法正确的是 (　　)
题点全练清
A.若周期为4 s，波一定向右传播
B.若周期大于4 s，波可能向右传播
C.若波速为8.5 m/s，波一定向左传播
D.该波波速可能的最小值为0.5 m/s
√
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√
解析:若波向右传播，有3 s=T1(n1=0，1，2，…)，解得T1= s(n1=0，1，2，…)≤4 s，B错误；若波向左传播，有3 s=
T2(n2=0，1，2，…)，解得T2= s(n2=0，1，2，…)；若周期为4 s，则n1=1，n2=0.5，故波向右传播，故A正确。由题图知波长λ=6 m，若波速v=8.5 m/s，波在3 s内传播的距离为x=vt=8.5×3 m=25.5 m=4.25λ，根据波形的平移知波一定向左传播，故C正确；波长一定，周期越大波速越小，由上述可知最大周期Tmax=12 s，故vmin== m/s=0.5 m/s，故D正确。
2.(2025·江苏徐州阶段练习)一列简谐横波在某介质中传播，在t=0时刻的波形图如图中实线所示，从此刻起，经0.1 s波形图如图中虚线所示，求:
(1)波速的表达式；
答案:(30+40k)m/s(k=0，1，2，…)或(10+40k)m/s(k=0，1，2，…)
解析:由题图可知该波的波长λ=4 m；若波沿x轴正方向传播，则Δt=0.1 s时间内传播的距离Δx=λ+kλ(k=0，1，2，…)
故波速为v== m/s=(30+40k)m/s(k=0，1，2，…)
若波沿x轴负方向传播，则Δt=0.1 s时间内传播的距离Δx=λ+kλ(k=0，1，2，…)，解得v== m/s=(10+40k)m/s(k=0，1，2，…)。
(2)若波传播的速度为210 m/s，该波的传播方向；
答案:沿x轴负方向　
解析:根据上述分析可知，若波沿x轴正方向传播，则有(30+40k)m/s=210 m/s
解得k=4.5(不符题意)
若波沿x轴负方向传播，则有(10+40k)m/s=210 m/s
解得k=5
故该波沿x轴负方向传播。
(3)若波传播的速度为210 m/s，x=2 m处质点的简谐运动方程。
答案:y=-0.2sin(105πt)m
解析:若波速为210 m/s，则波沿x轴负方向传播，t=0时，x=2 m的质点在平衡位置，位移为0，且速度向下，故初相位φ=π
其周期T== s
故有ω==105π rad/s
振幅为A=0.2 m
所以x=2 m处质点的简谐运动方程
y=0.2sin(105πt+π)m=-0.2sin(105πt)m。
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1.(2025·浙江宁波阶段练习)一列简谐横波沿x轴传播，图甲是t=1 s时刻的波形图；P是介质中位于x=2 m处的质点，其振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 (　　)
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A.波速为4 m/s
B.波沿x轴负方向传播
C.x=3 m处的质点在t=20 s时位于波峰位置
D.质点P在0~6 s时间内运动的路程为30 cm
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解析:由题图甲可知波长λ=4 m，由题图乙可知周期T=2 s，则波速为v==2 m/s，A错误；由题图乙可知t=1 s时，P点沿y轴正方向振动，根据题图甲结合同侧法，可知波沿x轴正方向传播，B错误；Δt=19 s =9T+T，则x=3 m处的质点在t=20 s时位于波峰位置，C正确；因6 s =3T，则质点P在0~6 s时间内运动的路程为s=3×4A=60 cm，D错误。
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2.(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，图1是波传播到x=5 m处的质点M时的波形图，图2是质点N(x=3 m)从此时刻开始计时的振动图像，Q是位于x=10 m处的质点。下列说法正确的是 (　　)
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A.这列波的传播速度是1.25 m/s
B.t=8 s时质点Q首次到达波峰位置
C.从t=0时刻到质点Q第一次到达波峰时，质点P通过的路程为80 cm
D.该简谐横波的起振方向为y轴正方向
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解析:由题图1可知，这列波的波长为4 m，由题图2可知，周期为4 s，则这列波的传播速度是v==1 m/s，A错误；当x=2 m 处的波峰传到质点Q时，质点Q首次到达波峰位置，所用时间t== s=8 s，B正确；从t=0时刻到质点Q第一次到达波峰时，质点P振动时间为2T，则质点P通过的路程为s=2×4A=80 cm，C正确；该波沿x轴正方向传播，由题图1结合同侧法可知，M点的起振方向为y轴负方向，可知该简谐横波的起振方向为y轴负方向，D错误。
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3.(多选)一列简谐横波在t=0.2 s时的波形如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点P的振动
图像。已知波在介质中的波
长为12 m，则下列说法正确
的是 (　　)
A.波速为10 m/s
B.波速为20 m/s
C.质点P的平衡位置坐标为x=2 m
D.质点P的平衡位置坐标为x=3 m
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解析:由题图乙可知，该波的周期为1.2 s，则波速为v==10 m/s，故A正确，B错误；由题图乙可知，质点P的振动方程为y=Asint=10sinπt(cm)，可知t=0.2 s时，质点P的位置坐标为yP=
5 cm，由题图甲可知，t=0.2 s时，该波的波动方程为y=
10sincm，将yP=5 cm代入可得x+π=，解得x=3 m，故C错误，D正确。
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4.(2025·云南玉溪期中)(多选)如图甲所示，水袖舞是中国京剧的特技之一，因其身姿摇曳、技法神韵备受人们喜欢。某次表演中演员甩出水袖的波浪可简化为简谐横波，图乙为该简谐横波在t=0时刻的波形图，图丙为图乙中质点P的振动图像，袖子足够长且忽略传播时振幅的衰减。下列说法正确的是 (　　)
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A.该简谐横波沿x轴负方向传播
B.该简谐横波的传播速度为0.75 m/s
C.质点P在2 s内通过的路程为2 m
D.质点P在2 s内在x轴方向上移动了1.5 m
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解析:由题图丙可知，t=0时刻，质点P沿y轴正方向运动，根据“上下坡”法结合题图乙可知，该简谐横波沿x轴正方向传播，故A项错误；由题图乙、丙可知，波长λ=0.6 m，周期T=0.8 s，所以该简谐横波的传播速度为v==0.75 m/s，故B项正确；由于2 s=2T+T，所以质点P在2 s 内通过的路程为s=2×4A+2A=2 m，故C项正确；质点只在平衡位置上下振动，并不会随波迁移，故D项错误。
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5.(2024·重庆高考)(多选)一列沿x轴传播的简谐波，在某时刻的波形图如图甲所示，一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示，若该波的波长大于3 m。则 (　　)
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为cm
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解析:根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y=Asin(ωt+φ)，代入点和(2，0)，解得φ=，ω=，可得T=2.4 s，f= Hz，故B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，
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若波沿x轴正方向传播，则为Q点，若波沿x轴负方向传播，则为P点，则波长可能满足λ=3 m，即λ=18 m，或λ'=3 m，即λ'=9 m，故A错误；根据v=，可得v= m/s，v'= m/s，故C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s=cm=cm，故D正确。
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6.(2025·甘肃天水期中)如图所示，实线是一列简谐波在t=0时刻的波形图，t=0.4 s时刻的波形图如图中虚线所示，下列说法正确的是 (　　)
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A.若简谐波沿x轴正方向传播，则传播速度可能为12 m/s
B.t=0时，若x=1 m处质点向上振动，则波源的振动周期可能为1.5 s
C.若简谐波的传播速度为7.5 m/s，则简谐波沿x轴负方向传播
D.若简谐波沿x轴负方向传播，则波源的振动周期可能为1.5 s
√
解析:若简谐波沿x轴正方向传播，则有Δx=nλ+1 m=λ(n=0，1，2，3，…)，波的传播速度v==(10n+2.5)m/s(n=0，1，2，3，…)，当n=0时v=2.5 m/s，当n=1时v=12.5 m/s，A错误；
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t=0时，若x=1 m处质点向上振动，根据同侧法可知波沿x轴正方向传播，当n=0时，波源的振动周期为T== s=1.6 s，当n=1时，波源的振动周期为T==0.32 s，B错误；若简谐波沿x轴负方向传播，则有Δx=nλ+ 3 m=λ(n=0，1，2，3，…)，当n=0时，可得Δx=λ=3 m，则波的传播速度为v== m/s=7.5 m/s，C正确；若简谐波沿x轴负方向传播，则传播时间Δt=T(n=0，1，2，3，…)，当n=0时，可得 0.4 s=T，则T= s，当n=1时，可得0.4 s=T，则T= s，D错误。
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7.(2025·河南南阳期末)(多选)一列沿x轴方向传播的简谐横波，振幅为2 cm，波速为2 m/s。如图所示，在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4 m(小于一个波长)，当质点a在波峰位置时，质点b在x轴下方与x轴相距1 cm的位置。下列说法正确的是 (　　)
A.从此时刻起经过0.4 s，b点可能在波谷位置
B.从此时刻起经过0.4 s，b点可能在波峰位置
C.从此时刻起经过0.5 s，b点可能在平衡位置
D.从此时刻起经过0.5 s，b点可能在波谷位置
√
√
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解析:第一种情况，如图1所示，
根据图像得λ=0.4 m，解得λ
=1.2 m，再经0.4 s，波移动的距离为
Δx=vt=0.8 m，波向左传播时，波形向左移动0.8 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处；波向右传播时，波形向右移动0.8 m，波峰在0.8 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；再经0.5 s，波移动的距离为Δx=vt=1 m，波向左传播时，波形向左移动1 m，波峰在0.2 m 处，
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此时b点在波峰与平衡位置之间；波向右传播时，波形向右移动1 m，波峰在1 m处，此时b点在波谷处。第二种情况，如图2所示，根据图像得λ=0.4 m，解得λ=0.6 m，再经0.4 s，波移动的距离为Δx=vt=0.8 m=0.6 m+0.2 m，波向左传
播时，波形向左移动0.2 m，波峰在
0.4 m处，此时b点在波峰处；
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波向右传播时，波形向右移动0.2 m，波峰在0.2 m 处，此时b点在波谷与平衡位置之间；再经0.5 s，波移动的距离为Δx=vt=1 m=0.6 m+ 0.4 m，波向左传播时，波形向左移动0.4 m，波峰在0.2 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；波向右传播时，波形向右移动0.4 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处。故选B、D。
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8.(12分)如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距L=12.0 m，b点在a点的右方。一列简谐横波沿此长绳向右传播。在t=0时刻，a点的位移ya=4 cm(4 cm为质点振动的振幅)，b点的位移yb=0，且向下运动，周期T=2 s。
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(1)求质点a的振动方程；(6分)
答案:ya=4cos(πt)cm
解析:设质点a的振动方程为ya=Asin
依题意，A=4 cm，T=2 s，可得ya=4sincm
t=0时刻，a点的位移ya=4 cm，可知4 cm=4sin(φ)cm
解得φ=
可得ya=4sincm=4cos(πt)cm。
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(2)若这一列简谐波的波长λ答案: m/s(n=1，2，3，…)
解析:依题意可知，a、b两点相距L=λ+nλ(n=1，2，3，…)
又L=12 m，解得λ= m(n=1，2，3，…)
根据v=
解得v= m/s(n=1，2，3，…)。
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9.(18分)(2025·广东茂名阶段练习)一列横波在t1=0时刻、t2=0.5 s时刻波形分别如图中实线、虚线所示，求:
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(1)若这列波向右传播，波速是多少；若这列波向左传播，波速是多少；(8分)
答案:4(4n+1)m/s(n=0，1，2，…)　4(4n+3)m/s(n=0，1，2，…)
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解析:由题图可知波长λ=8 m，
当波向右传播时Δt=nT1+T1(n=0，1，2，…)
解得T1= s(n=0，1，2，…)
由波速公式可得v右==4(4n+1)m/s(n=0，1，2，…)
当波向左传播时Δt=nT2+T2(n=0，1，2，…)
解得T2= s(n=0，1，2，…)
由波速公式可得v左==4(4n+3)m/s(n=0，1，2，…)。
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(2)若波传播速度v=36 m/s，判断波传播的方向；(4分)
答案:向右　
解析:Δt时间内波传播的距离为x=vΔt=36×0.5 m=18 m=2λ+λ
因此波向右传播。
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(3)在t1=0时刻，x= m处的质点P与x=5 m处的质点Q(图中未标出)在竖直方向上的距离。(6分)
答案:5cm
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解析:在t1=0时刻，该波的波动方程为
y=10sincm
由于λ=8 m，可得y=10sincm
将x= m和x=5 m分别带入得到yP=5 cm
yQ=-5 cm
所以h=yP-yQ=5cm。课时跟踪检测(十六)　振动与波动的综合应用
1.(2025·浙江宁波阶段练习)一列简谐横波沿x轴传播,图甲是t=1 s时刻的波形图;P是介质中位于x=2 m处的质点,其振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 (　　)
A.波速为4 m/s
B.波沿x轴负方向传播
C.x=3 m处的质点在t=20 s时位于波峰位置
D.质点P在0~6 s时间内运动的路程为30 cm
2.(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播,图1是波传播到x=5 m处的质点M时的波形图,图2是质点N(x=3 m)从此时刻开始计时的振动图像,Q是位于x=10 m处的质点。下列说法正确的是 (　　)
A.这列波的传播速度是1.25 m/s
B.t=8 s时质点Q首次到达波峰位置
C.从t=0时刻到质点Q第一次到达波峰时,质点P通过的路程为80 cm
D.该简谐横波的起振方向为y轴正方向
3.(多选)一列简谐横波在t=0.2 s时的波形如图甲所示,P是介质中的质点,图乙是质点P的振动图像。已知波在介质中的波长为12 m,则下列说法正确的是 (　　)
A.波速为10 m/s
B.波速为20 m/s
C.质点P的平衡位置坐标为x=2 m
D.质点P的平衡位置坐标为x=3 m
4.(2025·云南玉溪期中)(多选)如图甲所示,水袖舞是中国京剧的特技之一,因其身姿摇曳、技法神韵备受人们喜欢。某次表演中演员甩出水袖的波浪可简化为简谐横波,图乙为该简谐横波在t=0时刻的波形图,图丙为图乙中质点P的振动图像,袖子足够长且忽略传播时振幅的衰减。下列说法正确的是 (　　)
A.该简谐横波沿x轴负方向传播
B.该简谐横波的传播速度为0.75 m/s
C.质点P在2 s内通过的路程为2 m
D.质点P在2 s内在x轴方向上移动了1.5 m
5.(2024·重庆高考)(多选)一列沿x轴传播的简谐波,在某时刻的波形图如图甲所示,一平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示,若该波的波长大于3 m。则 (　　)
A.最小波长为 m
B.频率为 Hz
C.最大波速为 m/s
D.从该时刻开始2 s内该质点运动的路程为cm
6.(2025·甘肃天水期中)如图所示,实线是一列简谐波在t=0时刻的波形图,t=0.4 s时刻的波形图如图中虚线所示,下列说法正确的是 (　　)
A.若简谐波沿x轴正方向传播,则传播速度可能为12 m/s
B.t=0时,若x=1 m处质点向上振动,则波源的振动周期可能为1.5 s
C.若简谐波的传播速度为7.5 m/s,则简谐波沿x轴负方向传播
D.若简谐波沿x轴负方向传播,则波源的振动周期可能为1.5 s
7.(2025·河南南阳期末)(多选)一列沿x轴方向传播的简谐横波,振幅为2 cm,波速为2 m/s。如图所示,在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4 m(小于一个波长),当质点a在波峰位置时,质点b在x轴下方与x轴相距1 cm的位置。下列说法正确的是 (　　)
A.从此时刻起经过0.4 s,b点可能在波谷位置
B.从此时刻起经过0.4 s,b点可能在波峰位置
C.从此时刻起经过0.5 s,b点可能在平衡位置
D.从此时刻起经过0.5 s,b点可能在波谷位置
8.(12分)如图,一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点相距L=12.0 m,b点在a点的右方。一列简谐横波沿此长绳向右传播。在t=0时刻,a点的位移ya=4 cm(4 cm为质点振动的振幅),b点的位移yb=0,且向下运动,周期T=2 s。
(1)求质点a的振动方程;(6分)
(2)若这一列简谐波的波长λ9.(18分)(2025·广东茂名阶段练习)一列横波在t1=0时刻、t2=0.5 s时刻波形分别如图中实线、虚线所示,求:
(1)若这列波向右传播,波速是多少;若这列波向左传播,波速是多少;(8分)
(2)若波传播速度v=36 m/s,判断波传播的方向;(4分)
(3)在t1=0时刻,x= m处的质点P与x=5 m处的质点Q(图中未标出)在竖直方向上的距离。(6分)
课时跟踪检测(十六)
1．选C　由题图甲可知波长λ＝4 m，由题图乙可知周期T＝2 s，则波速为v＝＝2 m/s，A错误；由题图乙可知t＝1 s时，P点沿y轴正方向振动，根据题图甲结合同侧法，可知波沿x轴正方向传播，B错误；Δt＝19 s＝9T＋T，则x＝3 m处的质点在t＝20 s时位于波峰位置，C正确；因6 s＝3T，则质点P在0～6 s时间内运动的路程为s＝3×4A＝60 cm，D错误。
2．选BC　由题图1可知，这列波的波长为4 m，由题图2可知，周期为4 s，则这列波的传播速度是v＝＝1 m/s，A错误；当x＝2 m 处的波峰传到质点Q时，质点Q首次到达波峰位置，所用时间t＝＝ s＝8 s，B正确；从t＝0时刻到质点Q第一次到达波峰时，质点P振动时间为2T，则质点P通过的路程为s＝2×4A＝80 cm，C正确；该波沿x轴正方向传播，由题图1结合同侧法可知，M点的起振方向为y轴负方向，可知该简谐横波的起振方向为y轴负方向，D错误。
3．选AD　由题图乙可知，该波的周期为1.2 s，则波速为v＝＝10 m/s，故A正确，B错误；由题图乙可知，质点P的振动方程为y＝Asint＝10sinπt(cm)，可知t＝0.2 s时，质点P的位置坐标为yP＝5 cm，由题图甲可知，t＝0.2 s时，该波的波动方程为y＝10sincm，将yP＝5 cm代入可得x＋π＝，解得x＝3 m，故C错误，D正确。
4．选BC　由题图丙可知，t＝0时刻，质点P沿y轴正方向运动，根据“上下坡”法结合题图乙可知，该简谐横波沿x轴正方向传播，故A项错误；由题图乙、丙可知，波长λ＝0.6 m，周期T＝0.8 s，所以该简谐横波的传播速度为v＝＝0.75 m/s，故B项正确；由于2 s＝2T＋T，所以质点P在2 s 内通过的路程为s＝2×4A＋2A＝2 m，故C项正确；质点只在平衡位置上下振动，并不会随波迁移，故D项错误。
5．选BD　根据题图乙写出平衡位置与坐标原点距离为3 m的质点的振动方程y＝Asin(ωt＋φ)，代入点0，和(2,0)，解得φ＝，ω＝，可得T＝2.4 s，f＝ Hz，故B正确；
在题图甲中标出位移为 cm的质点，如图所示，若波沿x轴正方向传播，则为Q点，若波沿x轴负方向传播，则为P点，则波长可能满足λ＝3 m，即λ＝18 m，或λ′＝3 m，即λ′＝9 m，故A错误；根据v＝，可得v＝ m/s，v′＝ m/s，故C错误；根据题图乙计算该质点在2 s内运动的路程为s＝1＋1＋1＋1－cm＝4－cm，故D正确。
6．选C　若简谐波沿x轴正方向传播，则有Δx＝nλ＋1 m＝λ(n＝0,1,2,3，…)，波的传播速度v＝＝(10n＋2.5)m/s(n＝0，1,2,3，…)，当n＝0时v＝2.5 m/s，当n＝1时v＝12.5 m/s，A错误；t＝0时，若x＝1 m处质点向上振动，根据同侧法可知波沿x轴正方向传播，当n＝0时，波源的振动周期为T＝＝ s＝1.6 s，当n＝1时，波源的振动周期为T＝＝0.32 s，B错误；若简谐波沿x轴负方向传播，则有Δx＝nλ＋3 m＝λ(n＝0,1,2,3，…)，当n＝0时，可得Δx＝λ＝3 m，则波的传播速度为v＝＝ m/s＝7.5 m/s，C正确；若简谐波沿x轴负方向传播，则传播时间Δt＝T(n＝0,1,2,3，…)，当n＝0时，可得0.4 s＝T，则T＝ s，当n＝1时，可得0.4 s＝T，则T＝ s，D错误。
7．选BD　第一种情况，如图1所示，
根据图像得λ＝0.4 m，解得λ＝1.2 m，再经0.4 s，波移动的距离为Δx＝vt＝0.8 m，波向左传播时，波形向左移动0.8 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处；波向右传播时，波形向右移动0.8 m，波峰在0.8 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；再经0.5 s，波移动的距离为Δx＝vt＝1 m，波向左传播时，波形向左移动1 m，波峰在0.2 m 处，此时b点在波峰与平衡位置之间；波向右传播时，波形向右移动1 m，波峰在1 m处，此时b点在波谷处。第二种情况，如图2所示，
根据图像得λ＝0.4 m，解得λ＝0.6 m，再经0.4 s，波移动的距离为Δx＝vt＝0.8 m＝0.6 m＋0.2 m，波向左传播时，波形向左移动0.2 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处；波向右传播时，波形向右移动0.2 m，波峰在0.2 m 处，此时b点在波谷与平衡位置之间；再经0.5 s，波移动的距离为Δx＝vt＝1 m＝0.6 m＋0.4 m，波向左传播时，波形向左移动0.4 m，波峰在0.2 m处，此时b点在波谷与平衡位置之间；波向右传播时，波形向右移动0.4 m，波峰在0.4 m处，此时b点在波峰处。故选B、D。
8．解析：(1)设质点a的振动方程为ya＝Asin
依题意，A＝4 cm，T＝2 s，可得ya＝4sincm
t＝0时刻，a点的位移ya＝4 cm，
可知4 cm＝4sin(φ)cm
解得φ＝
可得ya＝4sincm＝4cos(πt)cm。
(2)依题意可知，a、b两点相距L＝λ＋nλ(n＝1,2,3，…)
又L＝12 m
解得λ＝ m(n＝1,2,3，…)
根据v＝
解得v＝ m/s(n＝1,2,3，…)。
答案：(1)ya＝4cos(πt)cm　(2) m/s(n＝1,2,3，…)
9．解析：(1)由题图可知波长λ＝8 m，
当波向右传播时Δt＝nT1＋T1(n＝0,1,2，…)
解得T1＝ s(n＝0,1,2，…)
由波速公式可得v右＝＝4(4n＋1)m/s(n＝0,1,2，…)
当波向左传播时Δt＝nT2＋T2(n＝0,1,2，…)
解得T2＝ s(n＝0,1,2，…)
由波速公式可得v左＝＝4(4n＋3)m/s(n＝0,1,2，…)。
(2)Δt时间内波传播的距离为
x＝vΔt＝36×0.5 m＝18 m＝2λ＋λ
因此波向右传播。
(3)在t1＝0时刻，该波的波动方程为
y＝10sincm
由于λ＝8 m，可得y＝10sincm
将x＝ m和x＝5 m分别带入得到yP＝5 cm
yQ＝－5 cm
所以h＝yP－yQ＝5cm。
答案：(1)4(4n＋1)m/s(n＝0,1,2，…)　
4(4n＋3)m/s(n＝0,1,2，…)
(2)向右　(3)5cm
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