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第五章 图形的轴对称
第二节 简单的轴对称图形
第一课时
1.掌握等腰三角形的轴对称性，等腰三角形“三线合一”、两个底角相等等性质.
2.会利用等腰三角形的性质解决相关问题.
3.经历探索等腰三角形和等边三角形相关性质的过程，进一步理解轴对称的性质.
4.通过探究积累数学活动经验，发展空间观念.
.
在这些知名的建筑中都含有什么相同的数学图形？
都是等腰三角形
操作：如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC.
A
C
D
B
思考：AC和AB有什么关系
像这样有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
AC=AB
底角
底角
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
等腰三角形的有关概念
等腰三角形中，
相等的两边都叫作腰，
另一边叫作底边.
两腰对应的角叫作底角，
底边对应的角叫作顶角.
已知△ABC中，有AB=AC，则△ABC为等腰三角形.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角
是
思考交流
A
C
D
B
如图，相等的线段：AB=AC，BD=CD；
相等的角：∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C.
(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的
思考交流
A
C
D
B
等腰三角形的对称轴是一条等腰三角形底边上的高或底边上的中线或顶角角平分线所在的直线.
(3)你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴交流.
思考交流
A
C
D
B
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的两个底角相等.
你能证明上述的猜想吗？
证明猜想：如图， △ABC是等腰三角形， AB=AC，作顶角∠BAC的
平分线AD ，与BC交于点D， 求证：BD=DC，AD⊥BC，∠B=∠C.
证明：∵ AD是∠BAC的平分线
∴ ∠BAD=∠DAC
∵AB=AC，AD=AD
∴ △ABD≌△ ACD (SAS)
∴BD=DC， ∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，
而∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°， 即AD⊥BC.
A
D
B
C
等腰三角形ABC中，AB=AC，有：
∠B=∠C
等腰三角形两个底角相等
简写成“等边对等角”
BD=CD，AD为底边上的中线
AD⊥BC，AD为底边上的高线
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线，底边上的高互相重合.
简称“三线合一”.
A
D
B
C
归纳
等腰三角形的有关性质
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的两个底角相等.
归纳
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.
解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为 2x°.
根据三角形三个内角的和等于 180°，得
x+2x+2x=180
解得 x= 36
2×36=72.
所以，这个三角形的三个内角分别是 36°，72°，72°.
例2 如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
①由两直线平行可以得到内错角相等，可得∠ADB=∠DBC.
②BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠DBC
③∠ABD=∠ADB，所以△ABD为等腰三角形.
D
C
B
A
解：△ABD是等腰三角形
∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC.
又∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD（等角对等边）
∴△ABD是等腰三角形.
D
C
B
A
例2 如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
尝试·思考
如图，△ABC是一个等腰三角形，直线是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
A
l
B
C
D
相等的线段：AB=AC，BD=CD；
相等的角：∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C.
△ABD与△ACD形状、大小完全相同的图形.
根据“等边对等角”可得：∠A=∠B=∠C
而∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°
(1)等边三角形有几条对称轴？
(2)你能发现等边三角形的哪些特征？
三边相等
三条
三个角均为60°
等腰三角形中，若底边与腰相等．这时三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
B
A
C
思考·交流
1. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______.
2.在△ABC中，如果AB=AC，且一个角等于70°，求另两个角的度数.
36°
解：若顶角即∠A=70°，
则∠B=55 °，∠C=55 °.
若底角即∠B=70°，
则∠C=70°，∠A=40°.
若底角即∠C=70°，
则∠B=70°，∠A=40°.
C
B
A
3.如图：在△ABC中，AB=AC.点D为AB边上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E.△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由.
解：△DBE是等腰三角形.理由如下：
∵AB=AC
∴∠C=∠B，
又∵DE∥AC，
∴∠C=∠DEB
∴∠B=∠DEB
∴DE=DB，△DBE是等腰三角形.
A
C
D
E
B
等边三角形：
简单的轴对称图形
等腰三角形的性质及推论：
等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
等边三角形的三个内角，三边都相等.
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.

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