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第五章 图形的轴对称
第二节 简单的轴对称图形
第三课时
1.运用作图和实验的方法，探索角平分线的有关性质.
2.能运用角平分线的性质解决实际问题.
3.会用尺规作出已知角的平分线，能规范地写出已知、求作和作法.
4.利用折纸的方法探索角的对称性，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
问题2：角是轴对称图形吗？如何验证你的结论？
问题1：什么是轴对称图形？
角是轴对称图形.
可以作出一个角对折一下看看角的两边是否重合.
操作：请拿出你作的∠AOB，不利用工具，将它分成两个相等的角.你有什么办法？
A
O
B
C
打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？
结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
对折
折痕平分了∠AOB
尝试思考：如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'.
(1)你认为线段 CD 和 CD'之间有什么关系 说说你的理由.
A
O
B
C
P
D
D'
CD = CD'
理由一：
用刻度尺测量CD，CD'，得到两条线段的长度相等.
尝试思考：如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'.
(1)你认为线段 CD 和 CD'之间有什么关系 说说你的理由.
A
O
B
C
P
D
D'
理由二：
连接DD'；
因为OP是∠AOB的平分线，点 D和D'关于OP对称，
所以线段DD'被直线OP垂直平分.
又因为点C是OP上的任意一点，所以CD = CD'
尝试思考：如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'.
(2)特别地，当CD⊥OA时，CD'与 OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段 CD 和 CD'之间还有(1)中的关系吗
由此你能得到什么结论
当CD⊥OA时，CD'⊥ OB；
CD = CD'
结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
A
O
B
C
P
D
D'
你能尝试证明一下吗？
验证：如图， C为∠AOB的角平分线上一点， CD⊥OB，垂足为点D，CE⊥OA，垂足为点E，求证：CE=CD.
A
O
B
C
D
E
证明：∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠AOC=∠BOC
∵CD⊥OB，CE⊥OA
∴∠CDO= ∠CEO
又∵OC=OC
∴ △CDO≌△ CEO (AAS)
∴CD=CE.
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，CD⊥OB，CE⊥AO，
∴ CD=CE.
A
B
C
D
O
E
归纳
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？
A
O
B
假设∠AOB的平分线已作出，那么，
(1)这条射线有什么特征
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(2)如何确定这条射线上的除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、
圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
温馨提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.
思考交流
例 利用尺规，作∠AOB(如右图)的平分线.
已知：∠AOB，如右图.
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.
①利用构造全等三角形的方法，先在∠AOB的两边OA和OB上截取相等的线段OD、OE分别作为两个三角形的两边.
②在∠AOB内找到点C，使CD=CE.
B
A
O
③则△COD≌△COE (SSS)，得到∠AOC=∠BOC.
2.分别以D，E为圆心.大于DE的长度为半径作弧.两弧在∠AOB内交于2.分别以D，E为圆心.大于DE的长度为半径作弧.两弧在∠AOB内交于点C.点C.
B
A
O
E
D
C
作法：
1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，则OD=OE．
3.作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．
例 利用尺规，作∠AOB(如右图)的平分线.
已知：∠AOB，如右图.
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.
思考：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.DE与DC相等吗？为什么？
∟
∟
E
A
B
D
C
①由BD是∠ABC的平分线想到可以应用角平分线定理.
②DC⊥BC，DE⊥AB，满足角平分线定理的两个条件.
③应用角平分线定理可得DE=DC.
证明： ∵BD是∠ABC的平分线
在Rt△ABC中，∠C=90°
∴DC⊥BC
又∵DE⊥AB
∴ DE=DC.
相等，可以由角平分线定理证明.
∟
∟
E
A
B
D
C
思考：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.DE与DC相等吗？为什么？
思考交流：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点 与同伴进行交流.
都涉及到了一个对称轴的概念.
在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性.
回顾·反思
回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法 积累了哪些经验
方法：观察法,测量法,折叠与拼接法,推理与论证法.
经验：从特殊到一般，学会利用测量工具（直尺、量角器等）和操作手段（折叠、拼接等）帮助理解图形的性质，同时利用逻辑推理深化对图形本质的认识.
1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则线段PQ长度的最小值为多少？请说明理由.
∟
M
P
O
A
N
Q
解：长度最小值为2.
∵直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
∴过P做PQ⊥OM，垂足为Q，此时PQ即为所求.
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON.∴PQ=PA=2.
∟
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交 BC于点D，DE⊥AB于点E，若 AB=6cm，则△DEB的周长是多少
∟
C
D
E
A
B
∟
解：∵∠C=90°∴AC⊥DC
又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB
∴DE=DC，△ACD≌△AED (AAS)
∴AC=AE
又∵AC=BC，∴BC=AE
∴△DEB的周长=EB+BD+DE=EB+BD+DC =EB+BC=EB+AE=AB=6cm.
解得AC=3.
3.如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是多少？
A
B
D
E
F
C
∟
∟
解得AC=3.
角平分线定理：
简单的轴对称图形
角的对称性：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
注意：使用时，角平分和垂直于角的两边两个条件缺一不可.
作已知角的平分线：
利用尺规，构造全等三角形.

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