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2．3.3　点到直线的距离公式
一、 单项选择题
1 已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m值为(　　)
A. 0或－ B. 或－6
C. －或 D. 0或
2 已知点A(6，0)，点P在直线y＝－x上，且AP＝3，则点P的个数是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3 点P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q，则点Q到直线3x＋y－2＝0的距离为(　　)
A. B. 3
C. D.
4 已知实数x，y满足3x＋4y＝5，则x2＋y2的最小值为(　　)
A. B. C. D. 1
5 已知△ABC的三个顶点分别是A(4，5)，B(3，0)，C(1，2)，D是BC的中点，则△ABD的面积为(　　)
A. 3 B. 3
C. 4 D. 4
6 已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为(　　)
A. B. C. 5 D. 10
7 点P在直线l：x－y－1＝0上运动，点A(2，3)，B(2，0)，则PA－PB的最大值是(　　)
A. B.
C. 3 D. 4
8已知直线l1：x＋y＋C＝0与直线l2：Ax＋By＋C＝0交于点(1，1)，则原点到直线l2距离的最大值为(　　)
A. 2 B.
C. D. 1
二、 多项选择题
9 一光线过点(2，4)，经倾斜角为135°，且过(0，1)的直线l反射后过点(5，0)，则反射后的光线还经过(　　)
A. B.
C. D.
10 下列四个命题中，正确的是(　　)
A. 直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是1
B. 直线x＋ky＝0和2x＋3y＋8＝0的交点为P，且点P在直线x－y－1＝0上，则实数k的值是－
C. 设M(x，y)是直线x＋y－2＝0上的动点，O为原点，则OM的最小值是
D. 若直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1∥l2，则实数a的值为－3或2
三、填空题
11 将一张坐标纸对折，若点(0，m)与点(m－2，2)(m≠2)重合，则与点(－4，1)重合的点的坐标为________．
12光线从点A(1，2)射向x轴上一点B，又从点B反射到直线x－y＋3＝0上一点C，最后从点C反射回到点A，则BC所在直线的方程为________.
13已知直线l：x＋2y＋3＝0上有一个动点A，若点B满足＝(1，－3)，则点B到直线l的距离为________．
四、解答题
14已知直线l的斜率为－，且这条直线经过点A(，2).
(1) 求直线l的一般式方程；
(2) 若直线kx－y＋1－k＝0恒过定点B，求点B到直线l的距离．
15 已知△ABC的三个顶点是A(2，3)，B(1，2)，C(4，－4).
(1) 求边BC上的中线所在直线l1的方程；
(2) 求△ABC的面积；
(3) 若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
16 已知在△ABC中，边AB上的高所在的直线方程为x＋y＝0，边AC上的高所在的直线方程为2x－3y＋1＝0，点A的坐标为(1，2).
(1) 求垂心H的坐标；
(2) 若M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
2．3.3　点到直线的距离公式
1. B　因为两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，所以＝，解得m＝或m＝－6.
2. B　因为点A(6，0)到直线y＝－x的距离为＝3＝AP，所以点P的个数是1.
3. C　设点P(－1，3)关于直线x－y＝0的对称点为Q(a，b).由对称关系，得解得所以点Q(3，－1)，则点Q(3，－1)到直线3x＋y－2＝0的距离为d＝＝.
4. D　因为x2＋y2为直线3x＋4y＝5上的点(x，y)到原点距离的平方，所以x2＋y2的最小值为原点到直线3x＋4y＝5的距离的平方．又原点到直线3x＋4y＝5的距离为d＝＝＝1，所以x2＋y2的最小值为1.
5. A　由题意可知BC的中点D(2，1)，则边BC上的中线AD所在直线的方程为＝，即2x－y－3＝0，AD＝2.又点B(3，0)到直线AD的距离为d＝＝，故S△ABD＝AD×d＝3.
6. B　因为直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由解得x＝1，y＝2，所以直线过定点A(1，2)，所以当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为AP＝＝.
7. A　设点B关于直线l：x－y－1＝0的对称点为C(m，n)，则解得即点C(1，1)，故AC＝＝，所以PA－PB＝PA－PC≤AC＝，当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立，此时PA－PB的最大值为.
8. B　因为两直线交于点(1，1)，所以1＋1＋C＝0，即C＝－2，且A＋B＋C＝0，则A＋B＝2.由原点到直线l2的距离为d＝＝＝.又因为A2－2A＋2＝(A－1)2＋1≥1, 所以d≤，当且仅当A＝1时，d取得最大值，此时B＝1，即两直线重合时，原点到直线的距离最大．
9. BC　因为倾斜角为135°，且过点(0，1)的直线l的方程为y－1＝tan 135°(x－0)，所以y＝－x＋1.设点A(2，4)关于直线l的对称点A′(m，n)，则有解得即点A′(－3，－1)，则反射后的光线所在的直线方程l′为＝，即l′：y＝(x－5).对于A，点在直线l的左侧，反射光线(射线)不经过该点，故A错误；对于B，当x＝2时，y＝－，故B正确；对于C，当x＝3时，y＝－，故C正确；对于D，当x＝4时，y＝－，故D错误．故选BC.
10. BC　对于A，直线2x－y＋1＝0在x轴上的截距是－，故A错误；对于B，由解得即点P(－1，－2)，则－1－2k＝0，解得k＝－，故B正确；对于C，由题意，得OMmin＝＝，故C正确；对于D，当a＝2时，直线l1：2x＋3y＋1＝0，l2：2x＋3y＋1＝0重合，故D错误．故选BC.
11. (－1，－2)　由点A(0，m)与点B(m－2，2)，可知线段AB的中点为M，且kAB＝＝－1，则线段AB的中垂线的斜率为k＝1，则线段AB的中垂线的方程为y－＝x－，即x－y＋2＝0.设点(－4，1)关于直线x－y＋2＝0的对称点为(a，b)，则解得故所求点的坐标为(－1，－2).
12. 3x＋y－1＝0　如图，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，设点A关于x－y＋3＝0的对称点为A″(x0，y0)，则解得即点A″(－1，4).由对称性可知点A′，A″在直线BC上，所以kBC＝＝－3，直线BC的方程为y＋2＝－3(x－1)，即3x＋y－1＝0.
13. 　因为直线l：x＋2y＋3＝0的一个方向向量 a＝(2，－1)，所以在向量a上的投影向量的长度为＝＝，所以点B到直线l的距离为＝.
14. (1) 因为直线l的斜率为－，且这条直线经过点A，
所以直线l的方程为y－2＝－，
化为一般式方程即为x＋y－3＝0.
(2) 直线kx－y＋1－k＝0的方程可化为k(x－)＋1－y＝0，
由解得即点B(，1)，
所以点B到直线l的距离为d＝＝.
15. (1) 因为边BC的中点坐标为，
所以直线l1的方程为＝，
化简，得8x＋y－19＝0.
(2) 直线BC的方程为y－2＝·(x－1)，即2x＋y－4＝0，
点A到直线BC的距离为d＝＝.
又BC＝＝3，
所以△ABC的面积为S＝×3×＝.
(3) 因为点A，B到直线l2的距离相等，
所以直线l2过线段AB的中点或与直线AB平行，
若直线l2过线段AB的中点，
因为线段AB的中点为，
所以直线l2的方程为y＋4＝·(x－4)，
化简，得13x＋5y－32＝0；
若直线l2与直线AB平行，
则直线l2的方程为y＋4＝·(x－4)，
化简，得x－y－8＝0.
综上，直线l2的方程为13x＋5y－32＝0或x－y－8＝0.
16. (1) 如图，作出边AC上的高BE，边AB上的高CD，
即直线CD的方程为x＋y＝0，直线BE的方程为2x－3y＋1＝0，
联立解得
故垂心H的坐标为.
(2) 连接AH并延长交BC于点F，
由(1) 可知，kAH＝＝，
易知AH⊥BC，所以kBC＝－.
设直线AC的方程为3x＋2y＋m＝0，
将点(1，2)代入可得m＝－7，即直线AC的方程为3x＋2y－7＝0.
联立解得即点C(7，－7)，
所以直线BC的方程为y＋7＝－(x－7)，即2x＋3y＋7＝0.
设点M(－3，4)的对称点N的坐标为(a，b)，
则
解得即点N(1，0)，
所以点N到直线BC的距离为d＝＝.

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