资源简介

2．4.2　圆的一般方程
一、 单项选择题
1 若方程x2＋y2＋4mx－2y＋4m2－m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－∞，1)
C. (－1，＋∞) D. [－1，＋∞)
2 圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A. B. 2 C. 3 D. 3
3 “m≥0”是“圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不经过第三象限”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 已知点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q在圆C：x2＋y2＋mx＋4＝0上，则m的值为(　　)
A. 4 B.
C. －4 D. －
5已知过A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)三点的圆与y轴交于M，N两点，则MN等于(　　)
A. 3 B. 4 C. 8 D. 6
6 在平面内，若两定点A，B之间的距离为4，动点M满足MA＝3MB，则点M的轨迹长度为(　　)
A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π
7 设P，Q分别是直线l：4x－3y－11＝0和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0上的动点，则PQ的最小值是(　　)
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
8 已知圆C1：(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y－5)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为y轴上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　)
A. 3 B. 1
C. 3－3 D. 5
二、 多项选择题
9 已知圆C：x2＋y2＋4y－5＝0的圆心C到直线x＋2y＋m＝0的距离为2，则实数m的值为(　　)
A. －6 B. －2 C. 14 D. 2
10 已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，点Q(－2，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆心C的坐标为(2，7)
B. 若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为
C. 点Q在圆C外
D. 若M是圆C上任一点，则MQ的取值范围为[2，6]
三、填空题
11 已知圆C与圆D：x2＋y2－4x－2y＋3＝0关于x轴对称，则圆C的方程为________.
12 已知直线l1：x＋ty－5＝0，直线l2：tx－y－3t＋2＝0，l1与l2相交于点A，则点A的轨迹方程为________.
13 已知实数x，y满足关系：x2＋y2－6x＋4y－20＝0，则的最小值为________.
四、解答题
14 已知直线l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)过定点P.
(1) 求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2) 设Q为圆C：x2＋y2－2y－3＝0上的一个动点，求PQ的中点M的轨迹方程．
15 已知直线l：ax－y＋3＋a＝0(a∈R)，圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0.
(1) 若直线l不经过第三象限，求a的取值范围；
(2) 当圆心C到直线l的距离最大时，求此时直线l的方程．
16 已知△ABC的三个顶点分别是A(4，0)，B(0，2)，C(3，1).
(1) 求△ABC的外接圆G(G为圆心)的标准方程；
(2) 若点P的坐标是(6，0)，Q是圆G上的一个动点，点M满足＝，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
2．4.2　圆的一般方程
1. C　由D2＋E2－4F>0，得(4m)2＋(－2)2－4(4m2－m)>0，即4m＋4>0，解得m>－1.
2. D　由题意，得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3.
3. B　因为圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0可整理为圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝13－m，所以圆心为C(2，3)，半径r＝，且m<13.若圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不经过第三象限，等价于原点O(0，0)不在圆C内，则m≥0，可得0≤m<13.又{m|0≤m<13}是{m|m≥0}的真子集，所以“m≥0”是“圆C：x2＋y2－4x－6y＋m＝0不经过第三象限”的必要不充分条件．
4. B　设Q(a，b)，则解得a＝－2，b＝1.因为点Q在圆C上，所以4＋1－2m＋4＝0，解得m＝，经检验，符合题意．
5. D　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，代入点A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)，得解得D＝－8，E＝0，F＝－9，则圆的方程为x2＋y2－8x－9＝0，令x＝0，可得y2－9＝0，解得y＝±3，所以MN＝6.
6. A　以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A(－2，0)，B(2，0).设点M(x，y)，由MA＝3MB，得＝3，整理，得x2＋y2－5x＋4＝0，化为标准方程，得＋y2＝，所以点M的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，所以点M的轨迹长度为2π×＝3π.
7. B　圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，易知圆心C(－2，2)，半径r＝2，所以圆心C到直线l：4x－3y－11＝0的距离d＝＝5，所以PQ的最小值为d－r＝3.
8. C　由题意，得圆C1的圆心C1(3，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(6，5)，半径r2＝2，作圆C1关于y轴对称的圆C0：(x＋3)2＋(y－2)2＝1，其圆心C0(－3，2)，则PM＋PN≥PC1－1＋PC2－2＝PC0＋PC2－3≥C0C2－3＝3－3，当且仅当P是线段C0C2与y轴的交点时，取等号，所以PM＋PN的最小值为3－3.
9. AC　因为圆C的方程为x2＋y2＋4y－5＝0，所以圆心C为(0，－2).又因为点C到直线x＋2y＋m＝0的距离为＝2，所以|m－4|＝10，解得m＝－6或m＝14.故选AC.
10. ACD　将圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y－7)2＝8，则点C(2，7)，r＝2.对于A，圆心C的坐标为(2，7)，故A正确；对于B，若点P(m，m＋1)在圆C上，则有(m－2)2＋(m＋1－7)2＝8，化简，得m2－8m＋16＝0，解得m＝4，则P(4，5)，所以直线PQ的斜率为＝，故B错误；对于C，因为(－2－2)2＋(3－7)2>8，所以点Q在圆C外，故C正确；对于D，因为CQ＝＝4， r＝2，所以4－2≤MQ≤4＋2，即2≤MQ≤6，故D正确．故选ACD.
11. (x－2)2＋(y＋1)2＝2　圆D：x2＋y2－4x－2y＋3＝0化成标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2，则圆心D(2，1)，半径r＝.因为圆C与圆D关于x轴对称，即圆心D(2，1)与圆心C关于x轴对称，两圆半径相等，则圆心C(2，－1)，半径r＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
12. (x－4)2＋(y－1)2＝2　由题意，得直线l1：x＋ty－5＝0恒过点C(5，0)，直线l2：t(x－3)－y＋2＝0恒过点B(3，2).因为1·t＋t·(－1)＝0，所以l1⊥l2.设A(x，y)，所以·＝0.又＝(5－x，－y)，＝(3－x，2－y)，则(5－x)(3－x)－y(2－y)＝0，化简，得(x－4)2＋(y－1)2＝2.
13. －　把圆的方程化为标准方程，得(x－3)2＋(y＋2)2＝33，则圆心A的坐标为(3，－2)，圆的半径r＝，设圆上一点的坐标为(x，y)，则为圆上的点(x，y)到原点的距离．又圆心A到原点的距离为＝，所以圆上的点(x，y)到原点的距离的最小值为－.
14. (1) 由题意，得直线l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)恒过定点P(2，－1).
若截距为0，即直线经过原点，设直线方程为y＝mx，
则－1＝2m，解得m＝－，此时直线的方程为x＋2y＝0；
若截距不为0，不妨设直线方程为＋＝1(a≠0)，代入点P(2，－1)，
得a＝1，此时直线方程为x＋y－1＝0.
故过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x＋2y＝0或x＋y－1＝0.
(2) 设M(x，y)，Q(a，b)，则
得
所以Q(2x－2，2y＋1).
又点Q在圆C上，
所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－2(2y＋1)－3＝0，
整理，得x2－2x＋y2＝0.
故点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
15. (1) 由题意，得直线l：ax－y＋3＋a＝0可化为y＝ax＋3＋a.
因为直线l不经过第三象限，所以
解得－3≤a≤0，
所以a的取值范围是[－3，0].
(2) 易得圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0的圆心C(1，1)，
直线l：a(x＋1)－(y－3)＝0恒过定点A(－1，3).
当且仅当AC⊥l时，点C到直线l的距离最大，
此时直线AC的斜率kAC＝＝－1，
则直线l的斜率a＝1，
所以直线l的方程为x－y＋4＝0.
16. (1) 设圆G的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0).
因为A，B，C三点都在圆G上，
所以
解得D＝0，E＝6，F＝－16，
所以所求圆G的方程为x2＋y2＋6y－16＝0，
即x2＋(y＋3)2＝25.
(2) 设M(x，y)，Q(x0，y0).
因为点P的坐标是(6，0)，且＝，
所以(x－6，y)＝(x0－6，y0)，
解得x0＝3x－12，y0＝3y.
又因为点Q在圆G上运动，
所以x＋(y0＋3)2＝25，
代入，得(3x－12)2＋(3y＋3)2＝25，
整理，得(x－4)2＋(y＋1)2＝，
故点M的轨迹方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝，是以点(4，－1)为圆心，为半径的圆．

展开更多......

收起↑